高等数学课件：5洛必达法则和导数应用

1、第五节第五节洛必达法则导数的应用罗比达法则的注意点首先确认可以用罗比达法则首先确认可以用罗比达法则(用前、用后用前、用后)尽量在用之前，使用等价代换尽量在用之前，使用等价代换利用四则运算，适当分离非零因子，可以简化计算利用四则运算，适当分离非零因子，可以简化计算罗比达法则并不是万能的罗比达法则并不是万能的)cos(tantanlimxxxxxx 122220)1cos(tanlim4220 xxxxx )1cos(1limtanlim04220 xxxxxx 4220tanlim1cos1xxxx 32042sectan2lim1cos1xxxxx 3202cos1cossinlim1cos1

2、xxxxxx 一一. 洛必达法则洛必达法则例例1xxxxxx3330cos2cossinlim1cos1 xxxxxxx30330cos1lim2cossinlim1cos1 22306sincos3coscoslim1cos1xxxxxxx 2206sincos3sincoslim1cos1xxxxxxx 6sincos36sincoslim1cos122220 xxxxxxxx 1cos32 )1cos(tantanlim22220 xxxxxx )1cos(tanlim4220 xxxxx )1cos(1limtanlim04220 xxxxxx 4220tanlim1cos1xxxx

3、xxxxxxxx tanlimtanlim1cos103022031seclim1cos2xxx 2203tanlim1cos2xxx 1cos32 解法二解法二)(limxxxxxx26422 xt1 令令)(limtttttt26141220 原式原式tttt261410 lim161621414210ttt lim5 例例2例3在在 x = 0= 0点处的可导性点处的可导性 0210111xxxxfx,e)(讨论函数讨论函数000 xfxfx)()(lim:解解0211110 xexxxlim)()()(lim12121220 xxxxexexxe30222xxexexxx lim 型型

4、0020612xxeeexxxx lim2061xxeexxx lim 型型00 xxeeexxxx120 lim121.)(,)(12100 fxxf且且处可导处可导在点在点)ln()eln(limxxx2112 12211 )ln()eln(limxxx xxxxxx212211222122 )()ln(eelim122221 )()ln(limxxxx例例412222 )(limxxxx4 )ln()eln(limxxx2112 xxx212)eln(lim 原原式式xxxe22122elim 4 解法二解法二例5xxeexxxcossec22lim0 计算计算xxeexxxcossec

5、22lim0 xxeexxxcoscos12022lim xxeexxxcos2022lim teettttx lim02)(lim0tttee 2 解法二xxeexxxcosseclim 220)cos(sec)(limxxeexxx2201122 xxxexxx220022sinlimseclim . 2例6.)(lim,)(,)(,)(,)(,)( 2120302010000 xxxxxfffffxxf 计算极限计算极限且且处连续处连续在点在点设设3232000 xfxfxffxf!)(!)()()()(: 解法一解法一),()(之间之间在在xxfxx06132 xxxfx 20)(li

6、m 型型00120 xxfx)(lim1 型12120 xxxxxf )(lim xxxfxx2201)(lnlimexp )()(limexp1320 xxxxxfx 60)(limexpfx 21exp21e 22011xxxxfx)(limexp :解解法法二二 )()(limexp1320 xxxxxfx2120 xxxxxf )(lim型1 320 xxxxfx)(limexp型00 20312xxxfx)(limexp xxfx620)(limexp 60)(limexpxfx21e 例73cossin0cossinlimxxxexexxxx 计算计算ueufu )(令令ueuuf

7、)1()( 30)cos(sin)1(limxxxxex 原式原式之间之间和和介于介于xxxcossin 300cossin)1(limlimxxxxexx 203sinlimxxxx 31 xex 1时，时，当当0 xxx )ln(1xx sinnxxn 11)(exx )(11二二.不等式的证明不等式的证明常见不等式常见不等式中中值值定定理理泰泰勒勒公公式式单调性单调性凹凸性凹凸性不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法exxx 110)(,证证明明设设11 xx)ln(证证明明：原原不不等等式式等等价价于于xx )ln(1即即应应用用中中值值定定理理：上上对对，在在)ln(xx 10)(

8、)ln()ln()ln()ln(010111 xxdxxdxxx 11x .x 0这里这里例例 8.,abbaabeab 证明证明设设证明证明ababablnlnlnlnlnln 原原不不等等式式等等价价于于axaxaxxflnlnlnlnlnln)( 设设xaxxaxf lnln)( 1).(ln)(lnaxxxxaa 01单单调调递递增增，所所以以，)(xf0 )()(afbf所所以以结结论论成成立立。例例9 9证明：证明： bfxfbxffx 00,时时即即证证当当 bfxfbxffxF 0令令 00 F则则 0 xfbxfxF且且 .单调递增单调递增xF 000 FxFx,时时当当 .

9、,00 aFa bfafbaff 0即即注注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明本题可以用拉格朗日中值定理来证明 例例10)()()()()(),baffbfafxfba 0000单单调调增增加加，证证明明上上，在在若若三. 函数的极值,最值 ，则则，可可导导，且且其其中中函函数数若若1)0(, 0)(0)()(), 3 , 2 , 1)(, 011 fxfxfxfnafaann)( 单调递增；单调递增；)(na A例例11单调递减；单调递减；)B(na ;,)(122单调递减单调递减单调递增单调递增 nnaa C.,)(122单调递增单调递增单调递减单调递减 nnaa DD，则则，可可导导，且

10、且其其中中函函数数若若1)0(, 0)(0)()(), 3 , 2 , 1)(, 011 fxfxfxfnafaann)()(2221212 nnnnafafaa),()()(22211222 nnnnaafaa ),()()()(32122123212 nnnnaaffaa )()()(13212 fafafnn 同号同号与与32121212, nnnnaaaa单调单调数列数列12 na0)1()(213 fafaa1)0()(12 fafa单调增单调增12 na)()(1212222 nnnnafafaa),()()(1212111212 nnnnaafaa 0 单调减。单调减。2naD选

11、选例例的的极极值值。求求函函数数xnenxxxxxf )!()(32132解解xnxnenxxxxenxxxxxf )!()!(!()( 321132132132xnenx !为为唯唯一一的的驻驻点点。所所以以0 x为为偶偶数数时时，当当n.)( ,00 xfx都有都有.不不是是极极值值点点0 x为为奇奇数数时时，当当n;)( ,00 xfx;)( ,00 xfx.是是极极大大值值点点所所以以0 x例例12处处在在则则函函数数若若1)(,10)1()1()(lim381 xxfxfxfx)( 连续，但不一定可导；连续，但不一定可导； A)(；必必可可导导，但但0)1( )( f B()(1)0

12、,(1)( )C fff x但不是极值；()(1)0,(1)( )D fff x且是极小值。解解 10)1()1()(,10)1()1()(lim38381xfxfxfxfx则则由由为为无无穷穷小小。其其中中， 例例1338)1)(10()1()( xfxf 所以，所以，3511)1)(10(lim1)1()(lim xxfxfxx 0 , 1| 而当而当0)1)(10()1()(38 xfxf 为为极极小小值值。所所以以)1(, f.D选选.)(,()(,)()(,),()(原原点点点点处处的的切切线线必必通通过过坐坐标标在在证证明明曲曲线线点点处处取取得得极极值值在在且且函函数数内内可可微

13、微在在设设函函数数111fxfyxxxfxxf 例142xxfxfxx)()()(: 证证).()(,)(1101ff 得得由由处的切线处的切线在点在点曲线曲线)(,()(11 fxfy ),)()(111 xffy),(1fxy 即即.显然原点在此切线上显然原点在此切线上 ?)(,)()(;)(,)()().(:,)()(),()(是极大值还是极小值是极大值还是极小值有极值有极值在在若若为极小值为极小值则则有极值有极值处处在在若若证明证明内连续且满足内连续且满足在在若若00201132fxxfcfccxxfexfxxfxxfx 例15,)().( :01 cf解解,)(01 cecfc.)(

14、是极小值是极小值cf ,)()(.2231xfxexfx ）（,)(00 f)(lim)(xffx 00 2031)(limxfxexx, 01 .)(是极小值是极小值0f四.凹凸性和拐点例16 .,)(的拐点的拐点是曲线是曲线试证点试证点连续连续在点在点若若xfyxfxxfxfxfxfxxf 000504000500由局部保号性由局部保号性证证 : .)(,)(0050 xfxNx有有)()(!)()(!)()()()()()(之间之间与与介于介于0305200400032xxxxfxxxfxxxfxfxf ,!30531xxfxf ,)()(05 f ;,00 xfxx时时当当 .,00

15、xfxx时时当当 .,的拐点的拐点是曲线是曲线点点xfyxfx 000000 )( ,)()(xfxfxf具具有有三三阶阶导导数数，且且设设的的拐拐点点。为为曲曲线线点点证证明明)()(),(:xfxxyx2000 分析：分析：只只要要证证明明证明：证明：)( )()()(xfxxxfxxy2002 )( )()( )()( xfxxxfxxxfy20042 00 )( xy)( )()( )()( xfxxxfxxxfy20066 0600 )( )( xfxy!)( 的的左左右右邻邻域域异异号号在在00 xxy例例17000000 xxxyxxxyxyxyxx )( lim)( )( li

16、m)( 00 )( xy不不妨妨设设有有局局部部保保号号性性定定理理知知，, 0 ,|xx 00当当00 xxy 有有000 , yxxx所所以以，当当000 , yxxx当当为为拐拐点点。从从而而，),(00 x五五. 曲率曲率.)(2321yyk 问题：问题：？计计算算曲曲率率时时，是是否否一一样样和和当当我我们们分分别别以以)()(xfxxfy1 .dsdK ,),(),(二二阶阶可可导导设设 tytx.)()()()()()(2322ttttttk 点处的曲率。点处的曲率。在在计算曲线计算曲线),(lneePyxy1 解解yyxln 21yyxln 3412112yyyyyyx)ln(

17、)ln( ,)( 0 ex31eex )( .3311eeK 例例18,52dd,51dd222xxyxxy34215(1)5( )2xR xx 1/442251( )(1) (1)25R xxxx解解: 例例19向一个半径为向一个半径为100cm 100cm 的球状容器内注水，每秒钟注入水的的球状容器内注水，每秒钟注入水的体积为体积为1000cm1000cm3 3，求液面升高速率的最小值，求液面升高速率的最小值. . h解：解：)3(32hRhV 球球缺缺的的体体积积:由条件由条件100,1000 RdtdVdtdhhRhdtdV)2(2 )2(10002hRhdtdh )(100022hR

18、R 时时，取取最最小小值值所所以以hR )/(101scm 六六. 相关变化率相关变化率 例例20另解另解向一个半径为向一个半径为100cm 100cm 的球状容器内注水，每秒钟注入水的的球状容器内注水，每秒钟注入水的体积为体积为1000cm1000cm3 3，求液面升高速率的最小值，求液面升高速率的最小值. . hhd内，内，设在时间段设在时间段d,ttt ,dhhh 升高到升高到液面高度由液面高度由为：为：则注入水的体积改变量则注入水的体积改变量,d)(d22hhRRV cm.100 R其中其中thhRhtVdd)2(dd2 得得代入代入,1000dd,100 tVR)200(1000dd

19、2hhth )cm/s(101dddd100min hthth上上必必恒恒为为零零。在在试试证证：数数。上上有有定定义义的的某某个个已已知知函函为为其其中中连连续续函函数数）上上满满足足：（在在设设函函数数,)(,)(,)()()()()2(;0)()(1,)(baxfbaxgxfxgxfxfbfafbaxf0 七七. 应用应用 例例21反反证证法法证明证明 00000 )(.)(),(xfxfbax不不失失一一般般性性，设设，设设值值。上上的的最最大大值值，且且为为极极大大为为，则则),()(),(bafba 0 )(f)()()()( gfff 0)( f#)(矛矛盾盾为为极极小小值值。f

20、反反证证法法证明证明 00000 )(.)(),(xfxfbax不不失失一一般般性性，设设，设设值值。上上的的最最大大值值，且且为为极极大大为为，则则),()(),(bafba 0 )(f,)()()()(0 xfxgxfxf.)(,)()()()()(lim000000210 fffxxfxfxfxxx连连续续导导数数，且且点点的的某某个个邻邻域域内内有有三三阶阶在在。其其中中求求极极限限例例22)()(limxfxfxx20 解解 )()()(limxfxfxxfx 20)()()()(limxfxfxxfxfx 201 xxxfxfxe102)()(lnlim )()(lnlimxfxf

21、xxxe210 )()(lim1210 xfxfxxxexxxfxfx102)()(lim )()()(limxxfxfxfxxe220 )()()()()(limxfxxfxfxfxxfxe 2210)()()()(limxfxxfxfxfxxe 021)()()()()()(limxfxxfxfxfxfxxfxe 021)()()()()()(limxfxxfxfxfxfxxfxe 021)()()(limxfxxfxfxxe 2210)()()()(limxfxfxfxfxe 02210)()()(002021fffe )()(060ffe 地地方方吗吗？以以下下解解法法有有可可以以改改

22、进进的的备例备例1 xxx1110)ln(lim)ln()ln(limxxxxx 110 xxxxx 111110)ln(lim220111111)()(limxxxx 21 二二阶阶可可导导，证证明明设设函函数数)(xf202)()()()(lim)( xxfxxfxxfxfx 证明：证明：20)()(2)()(limxxfxxfxxfx xxxfxxfx 2)( )( lim0 xxxfxfxfxxfx )( )()( )( lim210)( )( )( )( lim210 xxfxxfxxfxxfx ).( xf 备例备例2备备例3xxx220sin11limxxxxx22220sins

23、inlim420)2cos1 (21limxxxx424420)()2(! 41)2(! 2112121limxxxoxxx4440)(31limxxoxx31解法二xxx220sin11limxxxxx22220sinsinlim420)2cos1 (21limxxxx30422xxxx sinlim312012222xxx coslimxxx24240sinlim 备备例4xxnxxxnaaa1210 lim计算计算原式原式xxnxxnaaaxe121ln0lim xnaaaxnxxxeln)ln(210lim xnxxnxnxxxaaaaaaaaae 2122110lnlnlnlimna

24、aanelnlnln21 nnaaa21 .)ln()ln(lim,121310 xbxabax使使与与求常数求常数备备例5)ln()ln()ln()ln(lim:xxxbxax213131210 左式左式解解2063121xxbxax)ln()ln(lim xxbxax123132120 lim)()()(limxxxxbxax3121122133120 ),(0321 ba应有应有上述极限等于上述极限等于xxbxax122133120)()(lim 12660bax lim2ba 12032baba 46ba解得解得 .sinsinsinarctansinarctanlimxxxxx343

25、4330 计算极限计算极限 , sin ,sin,arctan :西中值定理西中值定理构成的闭区间上利用柯构成的闭区间上利用柯在在对函数对函数解解xxyygyyf334 xxxxsinsinsinarctansinarctan343433 备例备例6 42111220142 lim)sin,sin( 之间之间在在xx33. 4 备备例7 11121010limxxxx理，理，上利用拉格朗日中值定上利用拉格朗日中值定在在对对解法一解法一 xxyfy1,1110)(: xxxxfxfxf111,111)(111 )1(110ln10lim2 xxxx 原式原式.10ln )111(10ln1010

26、10111 xxxx 解法二)1010(1112lim xxxx计算计算 原式原式)110(10111112lim xxxxx10ln)111(10112lim xxxxx10ln exxx ln0:时时证明证明证：证： exxxf ln令令 xexeexxf 11则则 exxf 得驻点得驻点令令0 0 ef又又 00 efxfxfxe 000 efxfxfex exxxfx ln00即即时时当当备例8xxxxln , 11时时证明：当证明：当证：证： ,ln xxxxf 1令令 ,lnxxxxf1211 234lnxxxf 0 1 xfx时，当 01 1 fxfx时，当 01 1 fxfx时

27、，当xxxxln1 1时， xf xf备例9 01 f 则则 01 f).(,:2121xeexx 时时当当证明证明备例10),()(:212xeexfx 令令证法一证法一,)(01 f则则,)(exexfx ,)(01 f.)(eexfx ,)(,)(, xfxfx01时时当当,)(,)()( xffxf01.)()(01 fxf).(,2121xeexx 时时当当2111222ln)ln()( xxxeex2112ln)ln()( xxxf设设011121222 xxxxxf)()( 单单调调递递增增，)(xf01 )()(fxf结结论论成成立立。解法二解法二.)(勒勒公公式式带带拉拉格格

28、朗朗日日型型余余项项的的泰泰展展开开成成二二阶阶在在点点将将1 xexfx3213121111)(!)()(!)()()()( xfxfxffexfx),(之间之间在在 1x3216121)()()( xexexeeex,时时当当1 x2121)()( xexeeex)(212xe 解法三解法三证明：证明： nnnbxbxxf111 设设 00 f则则 .单调递增单调递增xf .00 faf 0111 nnnbaba即即 nnnbaba111 备例备例11nnnbabanba 证明证明若若,200 111111 nnbxnxnxf nnbxxn11111110 备备例12.cossin22qp

29、qpqpxx :证证，设设xxxfqpcossin)( ,20 x xxqxxpxfqpqp1111 cossincossin)(sincoscossinxqxpxxqp2211 时，有时，有，证明：当，证明：当之和为之和为若正数若正数,1,20 xqp ,)(0 xf令令).,(arctan200qpx 得驻点得驻点,)()(020 ff00000 xxxxxfpqpsectancossin)( .)(为最大值为最大值经比较得经比较得0 xf.)(cossin)(,22020qpqpqpxfxxxfx 时时当当,)(0 xf令令).,(arctan200qpx 得驻点得驻点22qppqpqq

30、p .sinln,:2110 xxxx 时时当当证明证明备备例13,ln)(:1 xxxf令令证证,)(01 f则则,)(xxxxf111 ,)(,010 xfx时时当当,)( xf,)()(01 fxf.lnxx 1即即,cos)(221xxg ,)(0 xg令令.arccosx220 得驻点得驻点,)(,)(, xgxgxx000时时当当;)()(00 gxg,)(,)(, xgxgxx010时时当当.)()(01 gxg.sin2xx 故故,sin)(2xxxg 令令,)()(010 gg则则).(sin10212 xxxex证明不等式：证明不等式：解一：解一：xexxfxsin)( 2

31、12设设xexxfxcos)( xexxf sin)( 1010 )( ,xfx当当递递增增。所所以以，)( xf,)( )( 00 fxf递递增增。所所以以，)(xf，00 )()(fxf所以，结论成立。所以，结论成立。备例备例14xexfxsin)( 设设xexfxexfxxsin)( ,cos)( 则则110 xxexexfxsin)( ,显显然然，当当)( )( )()(fxxffxf2002 .)( 212122xfx 解法二解法二备例15.)(,),()(cos)(在该区间内的极大值在该区间内的极大值求求取得极小值取得极小值内内在区间在区间设设xfaxxaxf0201 ,sin)(

32、:1 xaxf解解,arcsin,arcsin,)( axaxxxxf2120102121其中其中得驻点得驻点令令,cos)(xaxf ,)( ,)(0021 xfxf,)( ,)(0021 xfxf.,是极小值点是极小值点是极大值点是极大值点故故21xx,cos)(0222 xxaxf)()cos()(221xxaxf 22xxa cos .)(),()(xfxf 120内的极大值内的极大值在在.,:2323 xxx时时当当证明证明备例16,)(:33xxxf 令令证证).)()(xxxxf 113332则则.,)(10 xxf得驻点得驻点令令.,)(2222最大值最大值上最小值上最小值在在

33、 xf.)(,2323 xxxfx时时当当21212222 )(,)(,)(,)(ffff三.凹凸性和拐点.)(,ppppbabapba 121000证明证明设设证证明明pppppppbabababa)()(2221 pxxf )(设设).()()( ,)( 00121 xxppxfpxxfpp为为凹凹函函数数，所所以以)(xf)()()(22bafbfaf 例例17.)( ,)( )( )(002 fxxfxfxf且且满满足足设设函函数数的的拐拐点点。是是证证明明)()(,(:xfyf 00证明：证明：有有二二阶阶导导数数，由由于于 f且且原原等等式式化化为为2)( )( xfxxf 存存在

34、在右右边边有有一一阶阶导导数数，所所以以)( xf)( )( )( xfxfxf21 010 )( f例例17)(012222 babyax求椭圆求椭圆上曲率半径的最大值和最小值上曲率半径的最大值和最小值. . 解解求导得求导得两边对两边对方程方程xbyax12222 12222 byyax解得解得yaxby22 222yyxyaby 得得并利用并利用代入代入,222222bayaxby 324yaby 例例18yaxby22 324yaby R曲率半径曲率半径324232221yabyaxb)( 232424441)(xbyaba 23222441)(xbaaba 显然有显然有;maxbaR

35、2 时时，0 x时，时，ax .minabR2 五.相关变化率.,)(,常数常数证明其半径减少速率为证明其半径减少速率为成正比成正比半球面面积半球面面积与其表面积与其表面积即即已知其融化速度已知其融化速度始终保持半球体形状始终保持半球体形状有一雪堆在融化过程中有一雪堆在融化过程中dtdV例19,:23232rSrV 证证?),( dtdrkkSdtdV02222rkdtdrrdtdV kdtdr 正正比比。料料与与火火车车速速度度的的立立方方成成若若火火车车每每小小时时所所耗耗费费燃燃元元，每每小小时时的的燃燃料料费费用用为为已已知知速速度度为为40,/20hkm度度。元元，求求最最经经济济的的行行驶驶速速其其他他费费用用每每小小时时200