高等数学课件：2-1导数的概念

1、第一节 第二二章 一、实例分析一、实例分析二、导数的概念二、导数的概念三、导数的几何意义三、导数的几何意义导数的概念 一、一、 实例分析实例分析1. 变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题变速直线运动中某时刻的瞬时速度问题设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)()(0tftf 0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv )()(0tftf 0tt 2. 曲线的切线问题曲线的切线问题曲线曲线)(xfy 在在 M 点处的点处的切线切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时) 割线割

2、线 M N 的斜率的斜率 tan)()(0 xfxf 0 xx 切线切线 MT 的斜率的斜率 tan k tanlim lim0 xx )()(0 xfxf 0 xx 两个问题的两个问题的共性共性 :瞬时速度瞬时速度 lim0ttv )()(0tftf 0tt 切线斜率切线斜率 lim0 xxk )()(0 xfxf 0 xx 所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之

3、比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题二、导数的概念二、导数的概念1. 定义定义2.1 设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的某邻域的某邻域 U(x0)内内有定义有定义.)(00 xUxx )()(00 xfxxfy 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若若(1)存在存在,)(xf则称函数则称函数在点在点 x0 处处可导可导, 并称此极限并称此极限值为值为 y = f (x)在在点点 x0 处的处的导数，导数，记作记作)(0 xf xxfxxfx )()(

4、lim000也可记作也可记作:;0 xxy ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 注注 1 若极限若极限(1)不存在，不存在，时时，当当 xxfxxfx)()(lim000)(xf则则称称此时，导数不存在；此时，导数不存在；则称则称 f (x)在点在点 x0 处处不可导不可导. 特别地，特别地，在点在点 x0 处的导数为处的导数为无穷大无穷大 .,0快快慢慢程程度度而而变变化化的的因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化它它反反映映了了处处的的变变化化率率在在点点在在一一点点的的导导数数是是因因变变量量x2运动质点的运动质点的位置函数位置函数)(tfs 在在 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度0

5、t lim0ttv )()(0tftf 0tt 曲线曲线)(:xfyC 在在 M 点处的点处的 lim0 xxk )()(0 xfxf 0 xx )(0tf )(0 xf 此外在经济学中此外在经济学中, 边际成本率边际成本率, 边际劳动生产率边际劳动生产率和边际税率等，从数学角度看就是和边际税率等，从数学角度看就是导数导数.导数的几何意义：切线斜率导数的几何意义：切线斜率三三. 区间上可导区间上可导若函数若函数 f (x) 在开区间在开区间 I 内每点都可导内每点都可导, 则称则称函数函数 f (x)在在 I 内可导内可导. 此时，对于任此时，对于任 一一 x I ,都对应着都对应着 f (x

6、)的的 一个确定的导数值，一个确定的导数值，所构成的所构成的新函数称为新函数称为导函数导函数.记作记作;y ;)(xf ;ddxy.d)(dxxf即即xxfxxfx )()(lim0)(xf 四、利用定义求导数举例四、利用定义求导数举例Cxf )(C 为常数为常数) 的导数的导数. 解解 y0lim0 xCCxxxfxxf )()(0lim x例例1 求函数求函数例例2 求函数求函数)N()( nxxfn.处处的的导导数数在在ax 解解axafxf )()(ax lim)(af axaxnnax lim(limax 1 nx2 nxa32 nxa )1 na1 nan内容小结内容小结1. 导数

7、的实质导数的实质:2. 导数的几何意义导数的几何意义:增量之比的极限增量之比的极限;切线的斜率切线的斜率;Axf )(0Ahhxfhxfh 2)()(lim000？)(RA 思考题思考题1.解解 ()hhxfhxfIh2)()(lim000 0lim hhhxf2)(0 )(0 xf)( 2 )(0hhxf )(0 xf)(210 xf )(210 xf Axf )(0A 下述方法是否正确？下述方法是否正确？则则令令,0hxt htfhtfIh2)()2(lim0 )(lim0tfh )(0 xf 反例反例见见例例2:hhfhfh2)0()0(lim0 虽虽然然.)(点不可导点不可导在在但但0

8、 xxxf()xxf )(02lim0 hhhhxy xyO处处连连续续是是否否一一定定可可导导？在在0)(xxxf 答：答：不一定不一定. 反例反例见见例例2.2.3. 函数函数 f (x) 在某点在某点 x0 处的导数处的导数 f (x)(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系: 0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数若若),( x时时, 恒有恒有,)(2xxf 问问)(xf是否在点是否在点0 x处可导处可导?解解由题设由题设 )0(f00)0()( xfxfx 0由夹逼准

9、则由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0 故故)(xf在点在点0 x处可导处可导, 且且. 0)0( f4.时时当当0 x0备用题备用题例例1-1 ,lim000Axxfxxfx 若若解解Ahx hxfhxfh 00lim 0 xf 表表示示什什么么？问问A hxfhxfh00lim 解解 因为因为设设)(xf 存在存在, 且且, 12)1()1(lim0 xxffx求求).1(f xxffx2)1()1(lim0 所以所以. 2)1( fxfxfx2)1()1(lim0 )()1()(1lim210 xfxfx 1)1(21 f例例1-21111例例8-1 问曲线问曲线3xy 上哪一点处的切线