第一节微分方程的基本概念

1、第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出(探照灯反射镜探照灯反射镜)二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为d2 , (*)d(1)2 yxxy*2 dyx x由 得，,2Cxy 即即(1)21,yC又，求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出一、问题的提出解解, )(tss 设所求方程为设所求

2、方程为2dd ttv ttvd)2(0,0 vt时时其中其中,212Cttv 即即, 0 C求求得得,212ttv 例例2 已知质点从静止开始运动已知质点从静止开始运动, 在任一时刻在任一时刻 t , 质点的加速度为质点的加速度为 a(t)= t+2 , 求质点的运动方程求质点的运动方程.)()()(tatvts 则则即即.21dd2ttts .2161)(23ttts 所求运动方程为所求运动方程为 tttsd)21(2,2161123Ctt 得得代入上式代入上式将将,0,0 st, 01 C例例 3 3 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶

3、驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？ 解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 0dd22 ts,20dd, 0,0 tsvst时时14 . 0ddCttsv 2122 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0dd ttsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(500502

4、0502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需1 1、微分方程定义、微分方程定义例例,2xy , 0dd)(2 xxtxt2)( tts实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义注意注意: : 在一个微分方程中在一个微分方程中, ,自变量自变量, ,未知函数可以未知函数可以不出现不出现, ,但未知函数的导数但未知函数的导数( (或微分或微分) )一定要出现一定要出现. .凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知

5、函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .2 2、微分方程的阶、微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数最高阶导数的阶数称为称为微分方程的阶微分方程的阶. .例例: : 指出下列各微分方程的阶指出下列各微分方程的阶xyxyysin)1(43 12)2(53 yyyxy51)3(xyyy yy )4(分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( ( n 阶阶) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类

6、分类2: 2: 一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程. . 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解称为微分方程的解. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn 且且1 1、微分方程的解、微分方程的解 .0),()()(上的解上的解在区间在区间称为微分方程称为微分方程则则IyyyxFxyn 2、微分方程的解的分类、微分方程的解的分类1) 通解通解 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有独立的独立的任意常任意常数的个数数的个数与与微分方程的阶数微分方程的阶数相同相同, ,则称这解为微则

7、称这解为微分方程的通解分方程的通解. .,2xy 例.2cxy通解, 0 yy.cossin21xCxCy 通解通解的的通通解解可可表表示示为为阶阶0),()( nyyyxFn),(21nCCCxyy 也是方程的解。但是的通解是例1),sin(0122ycxyyy2) 特解特解: : 用用一些条件一些条件确定通解中任意常数确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解而得到的解称为微分方程的特解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .3) 初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.

8、 .,00yyxx *0000,yyyyxxxx 一阶一阶:二阶二阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.3 3、初值问题、初值问题 ( (Cauchy 问题问题) )求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分 方程方程0dd222 xktx的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0dd,00 tttxAx的特解的

9、特解. 解解,cossindd21ktkCktkCtx ,sincosdd221222ktCkktCktx . 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0dd,00 tttxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 得得的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将,dd22xtx思考题思考题1、函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解? (A) 通解通解 ； (B) 解，但不是通解解，但不是通解 ；(C) 特解特解 ； (D) 解，但不一定是通解解

10、，但不一定是通解 .2、函函数数221CxeCy (21,CC为为任任意意常常数数)是是微微分分方方程程02 yyy的的什什么么解解? (A) 通解通解 ； (B) 解，但不是通解解，但不是通解 ；(C) 特解特解 ； (D) 解，但不一定是通解解，但不一定是通解 .3 3、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba , 为为任任意意常常数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . . xyy 1补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或

11、积分表示出来)微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1