第一次习题课讨论题目

1、第一次习题课讨论题目作者:日期:第一次习题课讨论题本次习题课有两个主要内容：介绍五个常用的不等式，以及关于实数性质和序列极限的例子。第一部分：五个常见不等式说明：不等式的用处在数学各个领域无处不在。我们已经看到，在研究序列极限时，常常需要利用不等式，对序列的项做适当的放大或缩小，从而对序列的收敛或发散做出判断。以下五个不等式是常见的，应用较多的不等式。希望同学们记住这五个不等式，并掌握它们的初等证明。关于不等式方面的参考书，当首推名著不等式 ，作者Hardy, Littlewood andPolya,越民义译，人民邮电出版社， 2008。市面上也可以买到英文版Inequalities ,世界图

2、书出版公司，2004。希望这本书成为同学们案头上常用的工具书。1. Bernoulli不等式。对任意正整数n和任意实数a 1 ,我们有（1 a）n 1 na。2. Bernoulli不等式的推广。对任意n个具有相同符号的实数a，an且他们都大于1,3.ai 1 , i 1,2, ,n,则有(1a1)(1an) 1 (a1an)。Cauchy不等式：对任意实数a1，an和b1，, bn ,我们有6 / 5nakbkk 14 .分数不等式:对于任意 n个分数ab1a一也，不妨设分母均大于零: bnbk 0,k 1,2,我们有不等式minab1a nbn电b1an bnmaxa1bianobn特别当

3、m.M时，k bk1,2, ,n,我们有a1b15 .算术平均和几何平均不等式。对于任意n个正数a1，anan,我们有不等式n2.2akbkk 1k 1 a1 n aan 一包，（1）并且等号成立当且仅当这 n个正数彼此相等。证明提示：（1）证明结论对于n 2k （k 0,1,2,）成立；（2）证明，若结论对于任意正整数n成立，则结论对于正整数 n 1成立。注：不等式左边的表达式称为这n个正数的几何平均（geometric mean）,不等式右边的表达式称为这n个正数的算术平均（arithmetic mean ）。进一步，我们还有不等式a11-n-1vaan。an不等式（2）的左边称为这n个正

4、数的调和平均（harmonic mean ）。将上述两个不等式联系起来，我们就得到粗略的说我们有：调和平均1a1ann, a1ana a nn几何平均 算术平均。,an分别用注意不等式（2）可由不等式（1）得到。这只要在不等式（1）中将a1 ,11 _，一, 代替即可得到不等式（2）。不等式（1）常称为Cauchy不等式。aan第二部分：关于实数与序列极限的若干习题题1：设A R是有下界的实数集合。记B为集合A的所有下界的全体，即B b R, b是数集A的下界.证明supB inf A。 、一 n k题2：证明lim；1 1n k 1n20严格，并且 a题3:证明Stolz定理（0/0型）：考虑极限lim 。假设bnn bnnanaaa0 。进一步假设lim=nbnbn 1limnanbn设序列Xn满足Xn (Q 1),且(1Xn)XnlimnXn1，一 一-O (这是课本第一章总复习题题25, page 24)题5:假设序列an满足极限lim nnak存在。证明k 1(i) limna12a2nnan0；(ii) limn这里假设an 0 , n1.题6:证明lim sin n不存在。n题7：假设序列X由如下递推关系生成，证明它们收敛，并求它们的极限。(1)X n X n 1X n 1