实例说明利用Excel进行主成分分析分解

1、方法 :1 利用 Excel2000 进行主成分分析第一步，录入数据，并对进行标准化。【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。图 1 原始数据和标准化数据及其均值、方差（取自张超、杨秉庚计量地理学基础 ）计算的详细过程如下： 将原始数据绘成散点图 （图 2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势 如果数据之间不相关（即正交） ，则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对1数据进行线性转换，否则效果不佳。从图 2 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数 R2=0.4979，相应地，相关系数

2、R=0.7056。 对数据进行标准化 。标准化的数学公式为xij*xijxjj这里假定按列标准化，式中1nnxijxij，2Var(xij )ij(x x j )n i 1 i 1ij分别为第 j 列数据的均值和标准差，xij为第 i 行（即第 i个样本）、第 j 列（即第 j 个变量）的数据， xij* 为相应于 xij的标准化数据，n 25为样本数目。252015度宽 10500度宽-2.000000原始数据的散点图y = 0.7686x + 2.3174 R2 = 0.4979510长度152025图 2 原始数据的散点图标准化数据的散点图y = 0.7056x + 2E-16 R2 =

3、 0.49793.0000002.0000001.0000000.0000001.0000002.000000-1.000000.3.0000000 -1.000000 0-2.000000长度图 3 标准化数据的散点图2对数据标准化的具体步骤如下：求出各列数据的均值，命令为average，语法为：average(起始单元格 :终止单元格 )。如图 1 所示，在单元格B27 中输入“=AVERAGE(B1 :B26)”，确定或回车，即得第一列数据的均值x110.88；然后抓住单元格 B27 的右下角（ 光标的十字变细 ）右拖至 C27，便可自动生成第二列数据的均值 x2 10.68。求各列数据

4、的方差。命令为varp，语法同均值。如图 1 所示，在单元格 B28 中输入“=VARP(B2:B26) ”，确定或回车，可得第一列数据的方差Var(x1 )19.4656，右拖至C28 生成第二列数据的方差 Var(x2 ) 23.0976。 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令stdevp 直接生成标准差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。 标准化计算。如 图 1 所示，在单元格 D2中输入“ =(B2-$B$27)/$B$29 ”，回车可得第一列第一个数据“ 3”的标准化数值 -1.786045，然后按住单元格D2 的右下角下拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化

5、数值；按照单元格D2 的右下角右拖至 E2，就能生成第二列第一个数据“ 2”的标准化数据 -1.806077 ，抓住单元格E2 的右下角下拖至E26 便会生成第二列数据的全部标准化数值。 作标准化数据的散点图（图 3）。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为0，即有 a0 ，斜率等于相关系数，即有bR 。 求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵 。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具（T）” “数据分析（ D）”的路径打开“分析工具（ A）”选项框（ 图 4），确定，弹出“相关系数”对话框（ 图 5），在“输入区域”的空白栏中输入标准化数

6、据范围，并以单元格 G1 为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关图 4 分析工具选项框3图 5 相关系数对话框系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给出（图 6），可以通过“拷贝 转置 粘帖”的方式补充空白部分。图 6标准化数据的相关系数和协方差求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图 7），弹出“协方差”选项框（ 图 8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见图 6，可以看出，对于标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。图 7 在分析工具选项框中选择“协方差”4图 8

7、协方差选项框 计算特征根。我们已经得到相关系数矩阵为C10.7056 ，0.70561而二阶单位矩阵为I10，01于是根据公式 det( IC)0 ，我们有1010.705610.70560010.705610.70561按照行列式化为代数式的规则可得(1)20.70562220.50210根据一元二次方程的求根公式，当b 24ac0 时，我们有bb 24ac2a据此解得11.7056， 20.2944（对于本例，显然11R ， 21 R ）。这便是相关系数矩阵的两个特征根。 求标准正交向量 。将1 代入矩阵方程 ( IC)0，得到0.70560.7056100.70560.705620在系数

8、矩阵IC 中，用第一行加第二行，化为0.70560.7056001200由此得 12，令11，则有21，于是得基础解系11，单位化为 e1 0.707110.70715单位化的公式为 eii（ i1,2 ）。1 222完全类似，将2 代入矩阵方程 ( IC)0 ，得到0.70560.70560.70560.7056用系数矩阵的第二行减去第一行，化为12000.70560.7056100020于是得到 12，取11，则有 21，因此得基础解系为21，单位化为 e20.707110.7071这里 e1 、 e2 便是标准正交向量。 求对角阵 。首先建立标准正交矩阵P，即有Pe1e2 0.70710

9、.70710.70710.7071该矩阵的一个特殊性质便是PTP1 ，即矩阵的 转置等于矩阵的 逆。根据 DPT CP ，可知D0.70560.70710.70711.7056000.70710.70710.705610.70710.707100.2934.70710.70711下面说明一下利用Excel 进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为mmult ，语法是mmult (矩阵 1 的单元格范围，矩阵 2 的单元格范围 )。例如，用矩阵 PT 与矩阵 C 相乘，首先选择一个输出区域如 G1:H2，然后输入“ =mmult(A1:B2,C1:D2) ”，然后按下“Ctrl+Shift+En

10、ter ”键（ 图 9），即可给出1.206044 1.2060440.20817 -0.20817再用乘得的结果与P 阵相乘，便得对角矩阵1.705603000.294397如果希望一步到位也不难，选定输出区域如C3:D4，然后输入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2) ” （图 10），同时按下“ Ctrl+Shift+Enter ”键，立即得到结果（ 图 11）。显然，对角矩阵对角线的数值恰是相关系数矩阵的特征值。图 9 矩阵乘法示例6图 10 矩阵连乘的命令与语法至此，标准化的原始变量x 与主成分之间z 之间可以表作1 x210.7056x1z1 z2 1.

11、70560z1x0.70561x00.2944z22显然 z1 与 z2 之间正交。图 11 乘法结果：对角矩阵根据特征根计算累计方差贡献率 。现已求得第一特征根为11.7056，第二特征根为20.2944，二者之和刚好就是矩阵的维数，即有 12m2 ，这里 m=2 为变量数目（注意前面的 n=25 为样本数目）。比较 图 6 或图 10 中给出的相关系数矩阵 C 与图 11 中给出的对角矩阵 D 可以看出， Tr.(C)=1+1=2 ，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2 ，即有 Tr.(C)=Tr.(D)，可见将相关系数亦即协方差矩阵转换为对角矩阵以后，矩阵的 迹（trace，即对

12、角线元素之和）没有改变，这意味着将原始变量化为主成分以后，系统的信息量没有减少。现在问题是，如果我们只取一个主成分代表原来的两个变量，能反映原始变量的多少信息？这个问题可以借助相关系数矩阵的特征根来判断。利用 Excel 容易算出，第一特征根占特征根总和即矩阵维数的 85.28%（见下表 ），即有特征根累计值百分比累计百分比1.7056031.70560385.28%85.28%70.294397214.72%100.00%也就是说：1 ： 1.7056， 1/ m1.7056/ 285.28%2 ：0.2944， 2/ m0.2944/ m14.72%12：2，( 12 ) / m2/ 21

13、00%这表明，如果仅取第一个主成分，可以反映原来数据 85.28%的信息换言之，舍弃第二个主成分，原来数据的信息仅仅损失 14.72%，但分析变量的自由度却减少一个，整个分析将会显得更加简明。 计算主成分载荷 。根据公式jj ej ，容易算出11.70560.70710.92350.70710.923520.29440.70710.38370.70710.3837 计算公因子方差和方差贡献 。根据上述计算结果可以比较公因子方差和方差贡献。再考虑全部的两个主成分的时候，对应于1 和 2 的公因子方差分别为V1ij 22210.92350.3837j22V2ij 20.9235( 0.3837)1

14、j对应于第一主成分z1 和第二主成分 z2 的方差贡献分别为CV122ij0.92350.9235 1.7056i22CV2ij0.3837( 0.3837) 0.2944i可以看出（ 图 12）： 第一，方差贡献等于对应主成分的特征根，即有CV jj第二，公因子方差相等或彼此接近，即有V1V2第一，公因子方差之和等于方差贡献之和，即有ViCV jm2ij第一个规律是我们决定提取主成分数目的判据与之一，第二个规律是我们判断提取主成分数目是否合适的判据之一，第三个规律是我们判断提取主成分后是否损失信息的判据之一。去掉次要的主成分以后，上述规律理当仍然满足。这时如果第二个规律不满足，就意味着主成分

15、的提取是不合适的。此外，上述规律也是我们检验计算结果是否正确的判据之一。8图 12 公因子方差、方差贡献的计算结果及其与特征根的贡献 计算主成分得分。根据主成分与原始变量的关系，应有ZPT X或者XPZ对于本例而言，式中Xx1， Zz1 ， Pe1e2e11e120.70710.7071x2z2e21e220.70710.7071这里 e1 e11e12T ， e2e21e22T 为前面计算的标准化特征向量。于是有z10.70710.7071x1z0.70710.7071 x22化为代数形式便是z10.7071x10.7071x2z20.7071x10.7071x2式中的 x 均为标准化数据。

16、对 ZPT X 进行转置，可得Z TX T P图 13 计算特征向量的公式及语法9图 14 计算主成分得分根据这个式子，利用Excel 计算主成分得分的步骤如下： 将特征向量复制到标准化数据的附近； 选中一个与标准化数据占据范围一样大小的数值区域（如G2:H26）；输入如下计算公式“ =mmult( 标准化数据的范围，特征向量的范围) ”，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)”（ 图 13）； 同时按下“ Ctrl+Shift+Enter ”键。计算主成分得分的均值和方差，可以发现，均值为0（由于误差之故，约等于0），方差等于特征根。最后，可以对主成分得分进行标准化。已知主成

17、分得分的均值为0, 我们不按总体方差进行标准化，而按样本方差进行标准化。10图 15 主成分得分的标准化结果样本方差的计算公式为1n2Var(xj )(xijx jn 1)i 1相应地，标准差为1n(xij2jVar(x j )x j )ni11标准化公式同前面给出的一样。结果见表 15。注意，这里之所以按样本方差进行标准化，主要目的是为了与SPSS的计算结果进行比较。分别以1、 2 为坐标轴，将主成分得分（包括标准化的得分）点列标绘于坐标图中，z z可以发现，点列分布没有任何趋势：回归结果表明，回归系数和相关系数均为零，即有a 0 ， b0 ， R0 （图 16，图 17）。这从几何图形上显

18、示：主成分之间是正交的，即有 cos0（试将图 16、图 17 与图 2、图 3 对比）。11主成分得分的空间分布1.5000001.000000y = -7E-17x - 2E-162分R = 2E-320.500000得分0.000000成00001.000000 2.000000 3.000000 4.000000-3.000000 -2.000000 -1.000000 0.主二0-0.500000第-1.000000-1.500000第一主成分得分图 16 主成分得分的相关系数为零主成分得分的空间分布（标准化）2.52y = -2E-16x- 4E-171.52= 3E-32分R1得0.5分成0主 -3-2-10123二-0.5-1第-1.5-2第一主成分得分图 17 主成分得分的相关系数为零（标准化）最后可以验证因子载荷即为（标准化）原始数据与主成分得分之间的相关系数，容易算出(x1, z1 )Correl(x1, z1 )0.9235，(x2 , z1