第五节多元函数微分学自测题提示与答案

1、第五节多元函数微分学自测题 提示与答案八、自测练习题提示与解答z1.2.f(-) xf'd)(斗)fd) /f'd),二 xf'd)1x x x x x x x y x xxf (Y) x*("(>"".fx'(x, y,z)xe yz2exyz - ,所给方程两边对 x1 yzz xy x0,即有1 yz1 xy所以fx'(x, y, z)exyz2f'(-), xx求导数得:2exyz-, fx'(0,1, 1 xy1)1.3.y 1 yx2fx yy 1 y 1 y 1(yx ) x yx In

2、x. y应填：xy1y 1yx In x.4.所给函数取对数得：, In x In yIn u -z，两边微分duu(dx dy)z (In x In y)dzx y2zdu(dx x udy)z (In x In y)dz y,du l(1,1,1) dxdy.应填:dx dy.5.方程两边对x求导数得:'(方程两边对y求导数得:(1则m二n二一1.应填1 x y n ' m n ' m186.u Iy z，一 |(1,2,3) x5. yx z， |(1,2,3)4.yu 1y x，一 |(1,2,3)z3.国P向径的方向余弦为c0s看c0s*,c0s看所求方向导数

3、为-5 r12一14 4 -14金应埴42 .14. 口八 14.7 . 一|(1,1) 4x|x1 4,一|(1,1)2y|xy1 2, gradz|(1,1)4i2j.应填 4i 2j.8 .切平面的法向量为n 18i 2j 2k,在点(3,1,1)处的切平面方程为18(x 3) 2(y 1) 2(z 1) 0,即为 9x y z 27 0.应填 9x y z 27 0.9.曲线的切线的方向向量为s t3i t2j tk,平面的法向量为n i 3j 2k.依题意s n,则有t3t22t0,解得t 1,t 2,t 0 (舍去)曲线的切线方程为111号 (答案有误)10.应选(C).由于 fx

4、'(0,0) lim0f(x,0)f(0,0)30,同理x 0 xfy'(0,0)0,.上 x ylim .x 0, y 022(x) ( y)由于 lim f(0,0) fx(0,0) x fy'(0,0) y一蚪旦 场0,所以f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不可微, 故选项（C）正确.11 .应选（C）.因为偏导数连续是f（x，y）在点（Xo，yo）处 可微的充分条件而不是必要条件，在点（）处f（x,y） 的偏导数不连续在该点处f（x，y）也可能可微，故选项（C）正确.12 .应选（C）.因为4'= "，显然在（0，O）x y x y点处偏

5、导数不存在.因而在（0,0）点处z &F不可微.故选项（B） （D） 均不正确.为验证z &F在（0,0）的连续性，作极坐标变换，令 x r cos , y r sin ，则有（加0,0） f （X，y） r 10m 0 而 8s ）2 （rsin ）2 网 r 0 f（0,0）故z WF在（0,0）处连续，选项（A）不正确，由排除 法应选（C）.13 .应选（D）.二元函数在原点的两个偏导数存在， 它在原点未必连续，未必可微，未必沿任意方向的 方向导数都存在，故选项（A） （B） （C）都不正确， 由排除法应选（D）.14 .应选（B ）.向量l i j的方向余弦为cos,s

6、in又 fx'(2,1) 2xy3g)4, fy'(2,1) 3。2|卬)12,所以：|(2,1) 4cosf- cos4美12爰12.故选项(B)正确.15 .由于 z(x,1) x3, 又由于 z(1, y) cos(1 所以 zy'(1,y) sin(1 y)16 .由于 Zy|(1,1,3)所以 Zx'(x,1) 3x2,Zx'(1,1)3.y) (y 1)sin ,ry,sin y (y 1)(sin7V7)',贝U有 z:(1,1) sin1.J卷即有tan x y .3J,所以曲线在点（1,1，的处的切线与轴的夹角为-617. 证f

7、(x,0) fx'(0,0)lim x 0f(0,0)2x sinlimx 0 x1c lim xsin - 0. x 0x2同理 fy'(0,0)0.fx'(x, y)2xsin则有 fx'(x,y)2xsin x2x-2 x12y同理 fy'(x, y)2ysin 2 1 2x y1- cos2y x y2x1-22 cos-22x y x y02y1-2 2 cos-2 2 x y x y0(x,y) (x,y)(x, y)(0,0)(0,0)(0,0)(x,y) (0,0)11cos由于(* fx'(x,y)U 叭2xsin27 12其中

8、第二项分子 2x x极限不存在，故所求极限不存在，即fx'(x,y)在原点不连续.同理fy'(x,y)在原点也不连续.f(0,0)fx'(0,0) xfy'(0,0) y又由于lim0221(x) ( y) sin 22limx 0, y 0( x)2 ( y)2(x) ( y)lim n( x)2 ( y)2 sinJ2 0,x 0, y 0( x)2( y)2所以f (x, y)在(0,0)处可微.证毕(注意：本题是函数在一点处偏导数不连续但在该 点处函数可微的例子)18.(1)fx'(0,0)1Mox 0f(x,0) f (0,0)limx 0li

9、mx 0xg(x,0)xxg(x,0)xg(0,0)，要使fx'(0,0)存在, g(0,0)则有 g(0,0)g(0,0),同理，fy,(0,0)lim°gy 0g(0,0)0.f (0,0) lim | y|g(0,y) yy 0 ylimy 0yim0yg01)g(0,0)y、，要使fy'(0,0)存在,ygM g(0,0)'y有 g(0,0)g(0,0),g(0,0)0.、之)要使 fx'Q。，fy'(0,0B存在)则有 g(0,0) 0.(2)由于lim f(0,0)fx'(0,0) xfy'(0,0) y0lim |

10、 x y|g( x, y) 0, x 0, y 0, ( x)2 ( y)2当 g(0,0) 0时,f (x, y)在点(0,0)的全微分存在.19.-222yfy'(xy2y2),T 2f'(x2 y222 -222y z ) 4y f”(x y z ).20.22 f；yf2',x y一(2f；yf2')y2 fl1" (2x y) f12" + xyf22" + f2'.21.-fy'(xy) f (x yy) yfy' (x y),(注意：本题先对 y求导数,计算简单！)n -fy'(xy)

11、f(x y) yfy'(x y)yfxy" (xy) fx'(x y) yfxy" (x y)22. F(i)fi, f(i,i) f(i,i) i.F'(x)fi'(x, f (x, x)f2'(x, f (x,x)(fi'(x,x)f2'(x,x),F'(1)fi'(1,f(1,1)f2'(1,f(1,1)(fi'(1,1)f2'(1,1)f；(1,1) f2(1,1)(f；(11) f2'(1,1) a b(a b) a ab b2.23.方程两边对x求导数得:x+

12、yx yz、e sin(x z) e cos(x z)(1 ) 0, x即有1 tan(x z).x方程两边对y求导数得:x+y esin(x z) ex ycos(x zL 0,即有xtan(x z).24.方程两边对X求导数得:2x2z 4, x x2z2 xx2 z x( )2 zx (2 z)22 x2 z (2 z)24z(2 z)25.2zdx2xdz2 yzdx2xzdy 2xydzyzdx xzdyxydz0,xyz有:(2x 2xyi)dz (2 yz 2z z1)dx (2xz x-)dy, y即有:2z - x2yzdz - 2xy 12xzdxy7dy.2x 2xy -

13、 z26.方程组的两个方程两边分别微分得:udxxduudyyduvdyvdxydvxdv，即有 xdu ydv ydu xdvudxvdxvdyudy，利用行列式法解得:udxduvdxvdyudyxudx xvdy yvdx yudyxuyv ,xvyu,-2 dx-2dy,xyxyxu yv22 ,x yxv yu22 .x ydvxudx vdyyvdx udyx yy xxvdx xudy yudx yvdyyu xv . xu yv .22 dx22 dy,xy xy有:v yu xv v-22，一xu yv-22 .x y27.证方程两边对求导数得：F；(1z x z F1 0,

14、-xxzFF；z、一一 ，. y z方程两边对y求导数得：fi；当FF2(1 1二)0,二-y下x y yFiF2y x型 xF1 组 yF2' z zxyy x y y 旦旦y x一 2 一一yzF2' x yF； xzF；xF1 yF2；2 xy28.U| xz(xF1 yF)xz(xF1 yF，)xFi yF/z xy.证毕.(1,3, 3)|y |相.y|(1,3,3) & y2z2|(1,3,3)而.U 1( 1,3, 3) z_3_.19为：gradu梯 度_1_i _3_ j _3_k19 1.19 J 19 .切线的方向向量为T 2ti 6tj 6tk,

15、方向余弦为cos得,cos3，cos19_3_,19 .u ,uuu,|( 13 3) cos cos cos 1.Txyz29.曲面的切平面的法向量为：n （2x 1）i 2yj 2zk ,平面x yz 0和x y (2的法向量分别为in1 (1, 1, 1),n2(1, 1,-).2依题意有nn1,2x 1 2y 2z0. n n2,2x 1 2y z 0.解以上两方程得z 0, yx 2.代入曲面方程得:x2 (x 2)2 x,解得 x 1 泰.切点坐标为（2 212,表,0）.法向量为n （3,0）.故所求曲面的切平面方程为：x y昔0和x y容0.30用公式F(x, y,z) x2

16、y2 z2/切线方程为:4, G(x,y,z) xx 1法解此y2 2x,则在点2y 2z2y 0(1,1, 2)y 12z 2x0 2x 2(1,1, 2)题.专P(1,1，扬处曲线z .22x 2y2x 22y (1,1<2)即为：xL U4 20法平面方程为:.2x z 0.31.证:方程fF）0可决定z z（x,y）,曲面F的法向量为 n （二一，1）. x y方程两边对x求导数zFu'-/、zc (x a)x(z c)2(y b)-Fv'-7(z c)0,则有二zu.x (x a)Fu' (y b)FV(x a) z c (y b)z 方程两边对y求导数

17、Fu'# f' ,、2y 0，(z c)(z c)则有二(Wh若(XY,Z)是切平面上的任意 y (x a)Fu' (y b)FV一点，则有：(z c)FU(u,v)(x X) (z c)FV(u,v)(y Y) (x a)F： (y b)F；)(z Z) 0 显然切平面方程满足x a,y b,z c,即切平面过定点(a,b, c).32. -3ay 3x2,-3ax 3y2.令上0,=0,解得 x10, x2a.xyx yy10y2a?z ?z?z26x, 3a,-26y.xx y y由于AC B2 |x 0,y1 09a2 0,所以(0,0)不是极值点.由于 AC

18、B2 |x2 a,y2 a 27a2 0. a 6a 0,所以 z(a,a) a3 为极 大值.33. - 3x2 3y,，3y2 3x,令二。/ 0,解得 x1 0, x2 ； xyx yy1 0 y2 1则有 z(0,0) 0,z(1,1)1.在边界 x 2 上 z(2,y) y3 6y 8,也 3y2 6dyadz 0,解得y My夜(舍去) 则有Z(2,&)4& 8, dy此外有 z(2,2) 4,z(2, 1) 13.在边界 x。上,z(0,y) y3,令生 0, dy解得y 0.则有z(0,0) 0.此外有z(0,2) 8,z(0, 1)1.在边界y 1上)z(x,

19、 1) x3 3x 1,令 dz 0,解得 x 1,x1 (舍去).则有 z(1, 1) 3.dx此外有z(0, 1)1.在边界y 2上) z(x,2)x3 6x 8, 0,dx8.1.解得x72,x金(舍去).则有z(T2,2)此夕卜有 z(1,2) 3,z(0,2) 8.比较上述函数值可知zmax(2, 1) 13,zm.(1,1)34.设内接长方体在第一卦限的坐标点为由于对称性有V 8xyz.(目标函数)，且有M (x, y, z),222xyz 22a b c1.(条件方程).设 F(x, y, z) xyz22(上匕(2.2ab2 z -2 c1).F x 解方程组工 y Fz0。，得22 x2a2 y2b22 z22cz21c23,即有x方,y g岩.所以Vmax鬻.35.设 F(x, y,z) lnx In y 3ln z (x2 y2 z2 5R2),