2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题考后仿真系列卷三(解析版)

1、2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题考后仿真系列卷三注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知集合4 = 1,2,集合3 = 0,2,设集合。=卜二外,工£4），£

2、8,则下列结论中正确的是（）A. AcC =(pB. AJC = CC. BCC = BD. AJB = C【答案】C【解析】由题设，C = 0,2,4,则故8nC = 8,故选:C.【点暗】本题考查了集合的运算,属于基础题.2 .某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105,/）（b>0）,试卷满分 150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的;，则此次数学考试成绩在90分到 105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C/z 、1、23【解析】V P(X < 90) = P(X >

3、 120) = -, P(90<X<120) = l- = -,3所以尸（90WX«105） =历3所以此 收学考试成绩在90分到105分之间的/ J为lOOOx = 300.故选:C10【点睛】本题考查了正态分布，属于基础题.3 ,给出关于双曲线的三个命题:v2 r22双曲线2_ 一 L = 1的渐近线方程是），=±-x ：943）2若点（2,3）在焦距为4的双曲线三1 = 1上，则此双曲线的离心率e = 2；若点尸、4分别是双曲线:-二=1的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段用的中点一定不在此双曲 a b线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（）A. 0B. 1

4、C. 2D. 3【答案】C22分【解析】对于：双曲线工一上=1的渐近线方程是y = ±" 故错误：942对于：双曲线的焦点为(-2,0),(2,0), 2<7 = (2 + 2/ +(3-0)2 -(2-2)2 +(3-0)2 = 2,« = 1,从而离心率6 = £ = 2,所以正曲: a对于：尸仕,0）1（0,功），所的中点坐标c b±5,均不满足渐近线方程，所以正确：故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率，属于基础题.4 .记（2-x）'=）+q（l + x） +n7（l + x）7, jjii6/0 + 6

5、/1 +a2+的值为（）A. 1B.2C. 129D.2188【答案】C【解析】(2-x)7=a0+q(l + x)2 + %(l + x)7中,令x = 0,省2'=4)+ a+ + % = 128v (2一x)7=3-(1 + x)7展开式中小 = C；3°(-1)7 = - 1'，%+"*= 128 4 = 129,故选：C.【点睛】本题考查了二项式通项与展开式的应用，利用二项展开式的通项求指定项的系数以及采用赋值法求 项的系数和，属于基础题.5 .已知平面向量m,7满足I蔡1=3, 7 = (4,-3),且正，7之间的夹角为60。，则I正- 2前=(

6、)A. V109B.晒C.5D. 39【答案】C【解析】依题意，/i=lw|.|7；|.cos60o = 3x5/42+(-3)2=则 I m- 2n 1= J?二 4?力 + 4/? = 9-4 x-! + 100 =，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的应用，属于基础题.【答案】A 【解析】/ )，= /(月=(产-67卜回2.其定义域为/?/=-<?v)sin|-2x| = (v -ex )sin|2x| = -/(x)根据/(.v) = /3j, v = (-')sin|2x| 是奇函数故排除B, C.根据指数函数增函 可得（7ryi J3二/ 七 = e

7、76; e ° x>0162故只有A符合题意,故选：A.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象问题，解题关犍是掌握函数奇偶性的定义和图象特征， 及其特殊值法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7 .我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，'堑堵"意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底 而的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC1BC，若A4=A8 = 2,当阳马8 4ACG体积最大时，则堑堵ABC 4与G的外接球体积为（）A. 2后【答案】B（解析】依题意可知BC1.平面ACGA.设AC =

8、 a,BC = ba2 + = AB2 = 4 -匕卜aacg= LxLxaCxAA1xBC = -xACxBC <-x- = -x- = -,当 3 23323 2 3“仅“iAC = 8C = J7时取得最大值,依题意可知&4/。,"氏4,41田片是以从用为斜边的宜角三角形，所以坐堵A8C-4画G外接球的直径为B ,故半径05 = ；AB = -xyAA2+AB2 = J5.所以外接球的若别说明：由于BCJ.平面ACGA. AA/CMAUMBq是以48为斜边的宜加三角形，所以空用ABC-BCX外接球的直径为为定值，即无论阳马B-A4CG体枳是否取得最大值，望堵A8C

9、-AB|G外接球保持不变，所以可以直接由直径AB的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的 体积.故选：B【点睛】本题考查了几何体外接球的体积的求法，以及四棱锥体枳最大值的十算，考查空间想象能力和逻 例推理能力，考查中国古代数学文化，属于中档题.|log2x|,0<x<2,若存在实数为，,与，工4，满足8 .已知函数/(x)=(n sin x .2<x< 10(4 )/（为）=/（）=/（玉）=/（14），其中内 占工3工4 ,则为工当儿的取值的范围是（A. (40,64)B. (40,48)C. (20,32)D. (20,36)【答案】C 【解析】函数f（x）象如图

10、所设/（%） = /（入2）= /（刍）=/（“4）=，则 0<f < 1 .X £（0,1）,毛 £（1,2）=>-2 =log2x2 =>XjX2 =1.点（七），（0/）,关于直线x = 6对称，所以七=12-当而占£（2,4），所以x3xA =工3（12 3）= 36-（6-/）£（20,32）,故再为两四 =西%4 £（20,32）,故选:C.【点睛】本题考查了分段函数的图象、对数函数、三角函数的性质的应用以及二次函数的性质，属于中档 题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

11、多项符合题 目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.29 .若复数？=，其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是（）1 + 1A. z的虚部为TB.岗=2C. z的共轨复数为-ITD. 2?为纯虚数【答案】ABC22（1-?）【解析】对于选项A,复数z 二一二.、八,、= 一'，1 + z （l + /）（l-z）可得Z的虚部为1，所以A错误； 对于选项B.由同= JTTT = J5.所以ZMh对于选项C,由共轴、的概念，lN = l+i,所以C错误:对于选项D,由不=(1一，=一2'可得22为纯虚数，所以。正确，故选：ABC【点睛】本题考查了复数的基本概念，

12、以及复数的四则运算的应用，考查了推理与计算能力，属于基础题.10.对于函数/(力=3疝(2工一上：的图象为°，叙述正确是()A.图象C关于直线x = ?兀对称12B.函数/(x)在区间内是增函数C.由)，= 3sin2x的图象向右平移2个单位长度可以得到图象CD.图象C关于点(弓,。对称【答案】AB【解析】对于选项A,将工=荔兀代入函数中得，= 3sin(2x= 3sin= -3 ,所以直线x = ?兀是图像C的一条对称轴，故A正确：普+攵乃(&eZ),所以函数/(“在12对于选项B,由一二+ 2QrW2x 2 W工+ 2Qr,得一二+攵乃忘工 23212f 江 5加、区间一

13、得'79内是增函数是，故B正确的:1 Z 乙)对于选项C,由于/(x) = 3sin12x-gj = 3sin2所以/(x)的图像是由y = 3sin2x的图像向右平移?个单位长度可以得到，故c错误： 6对于选项D,当工=:时，/( = 3sin2xN 乙1= 3sin2 = £EwO,所以图像C不关于点对 37 V3J 3 3J 32U ；称，故D错误：故选：AB【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质以及正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题.11.下列说法正确的是()A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数。后，方差也变为原来的。倍：B.若四条线段的长度分别是1,

14、3, 5, 7,从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为!；4C.线性相关系数，越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱：D.设两个独立事件4和4都不发生的概率为4发生且3不发生的概率与4发生且4不发生的概率相2同，则事件4发生的概率为歹【答案】BD【解析】对于选项A,设一组数据为X,则每个数据都乘以同一个非零常数。后，可得y = «x ,则。(y)= O(“X) = /o(x),所以方差也变为原来的“2倍，故A错误.对于选项B,从中任取3条有4中取法，其中能构成三角形的只有3, 5, 7 一种，故这3条线段能够成三角形的概率为:，故B正确.4对于选项却由Hi,两个

15、变量的线性相关性也强，Hfo,两个变展的线性相关性越弱，故c错误.对于选项 D,根据题意可得 P(A)-P(B)= 1, P(A)P(B) = P(A)P(B)设 P(A) = x,P(B) = y 则，,八)9 ，得 (l-x)y = (l-y)-x-x-y + xy = -)19,即Y2x + i = 92 42得予=_或± (舍)所以事件A发生的概率为工，故D正确. 故选:BD 3 33【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于中档题.12 .已知。0, 7(x) = "-2 -/T, /(x) = am(x) - sin nx,若/

16、(%)存在唯一零点,下列说法正确的有a. ”a)在r上递增B.，(幻图象关于点(2,0)中心对称c7此)+ 7(/)c,任取不相等的实数占，weR，均有' " 一<，乙【答案】ABD【解析】对于选项A,由“(x) = ei+e2T >0知Mx)在R上递增,故A正确:对于选项B, m(x) + m(4 -x) = ex-' L '>?二，故c错误； 2 )对于选项Dj(v) = "(e7_e27)_sinc,注意到/(2x) = /(2 + x),故/的图象关于点(2,0)中心时称，而"2) = 0,则/(x)在R上有唯一零

17、点等价于/(X)住(2,+8)无零点，f x) = a (gi + /-") 一 万cos nx,当时，因为d-2+/-了32，yii f '(x) > 2a-7r cos 7rx>2a-7T>0 ,于是/")在(2,+s)递增，于是当xe(2,+s)时，/(x)>/(2) = 0,满足题意；当av1时，f'(2) = 2a-7r<0,由连续函数的性质可知，一定存在%> 2 ,使得R£(2/o)时/(x)<0.则/(a)在(2, %)单调递减，于是x £ (2,与)时fW </(2) = 0

18、,I. ci < 一 > 2 < 9 2 + In > 2,2a 7t 4a - e2-x + e2-x - ex-2 =0,故小")佟|象关于点(2,0)中心对称，故B正确;对于选项C,由? "*) =，-2一/-当方>2时,M(x)>0,加(x)递增，二(幻图象下凸,此时一 冗.C>7T1 > 7T1 >0 >汽4由零点存公定理'在区间2,2+1*一一定还存在零点'与已知矛盾.故。之巳.故B正确，故选：ABD2【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项D的真假，需要利用导数分析函数的单调性，再结

19、合零点 存在性定理和函数图象的对称性得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为.【答案】2兀【解析】因为【员I锥的轴截而是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径r=1，用线长/ = 2,所以圆 锥的侧面积为乃 =2万"故答案为：2兀【点睛】本题考查了圆锥的轴截而、侧而枳，圆锥的轴截而是以圆锥母线为腰、圆锥底而圆直径为底的等 腰三角形.考查空间想象能力与运算能力,属于基础题.14 .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶 数可以表示为两个素数的和“，

20、如30=7 + 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是【答案】15【解析】不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，随机选取两个不同的数，共有=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3311种方法，故概率为一二一,故答案为：一45 1515【点睛】本题考查了古典概型以及数学文化背景，属于基础题.15 .如图，点4 m 为锐角。的终边与单位圆的交点，逆时针旋转£得°耳，逆时针旋转£得 。2,。勺逆时针旋转!得。勺，则c

21、os2a =，点网的横坐标为.7， 2536-410【解析】根据题意，点外为锐角a的终边与单位圆的交点，。与逆时针旋转彳得0,逆时针旋转?得。巴，。匕_】逆时针旋转?得。匕，43根据三角函数的定义.可得cos a = , sin a = ,故cos2a = 2cos2 a- = 2x()2 -1 = 一， 525点 4)2o 的横坐标为 cos(a + 2020 x。)= cos(cr + 6737r + ) = -cos(a + )= -(cosacos-sinasin) = -(l-2x) = 335 2 5 210故答案为：1,正T.2510【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义.二倍

22、角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综 合应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题.Vex16 .若关于%的方程1 +7 + 7=0有三个不相等的实数解为，4，与，且不。占X3，其中?七k， e x-ee = 2.718为自然对数的底数, 则修-1）修-1）（尹）的值为【答案】1X 。1- 111 = U【解析】由方程2+ + 7 = 0,有e* X X1设一=，即 f + m = 0 所以产 + (7 l)f +1 in = 0exr-1x,1 x令g(x) = ：，则g (x) =1，所以g(x)在(y0,D上单调递增，在(L+°o)上单调递减9 ee且g(0) =。，

23、g(l) = L，当x>0时，g(x)>0其大致图像如下. e要使关于上的方程£+J+机=0有三个不相等的实数解占，占，为，且不 。无占. ex x-ex结合图像可得关于，的方程产+ （m1" + 1，= 0 一定有两个不等的实数根6/2且八 V0Vf2,6+乙=1 一 2,一？则 3=4,土 = = =，.e e1 *所以皆1）停t）（5T=&t）2&t）2=I （1 T ）。2 1） F = 1“2 （6 +，2 ） +1 r= 1 7 （1一加）+1=1【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，属于偏难题.四、解答题：本

24、题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .己知数列qj的前项和S “满足3=。用-1,且4=1,数列勾中，4=1, 4=9,（1）求数列q和匕的通项公式;(2)若 =“，求1的前项的和【答案】(1) q = 2",，勾=2一1：(2) =(2n-3).2”+3.【解析】(1)由 5“ = ”“+1 -1 得S“_= 一 1 ( 2 ).两式相减得=4* -q,即/+ = 2a (/ >2 ). X ，=生一1得。2=2 = 2q,所以数列q是等比数列，公比为2,首项为1,故a“=2i.由 2bn =bn+ +t ( > 2),可知母是等差数列，

25、公差4 = 号L = 2 ,则以=2n-l.(2) %=4,，=(2 1)-2”t,1=12°+32,522+(2 1>2"t，27；,=1-2,+3-22+5-23+.+(2/2-3)-2,-,+(2/?-1)-2,.一得一7；=1+ 2.(2'+22+. + 2"-,)-(2H-l)-2n =1 + 2-2 2”1-2-(2n-l)-2w =-3-(2n-3)-2n故 1=（2-3）2+3.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法以及用错位相减法求数列和的方法,属于基础题.18.己知。，b,。分别为AABC内角A, B, C的对边，若

26、AA3C同时满足下列四个条件中的三个：b （I 25/66/ + 3cc a c 2 A 1 /-s rrLi =: cos 2A + 2 cos = 1 ；。=； =25/2 C3（4 + /?）2（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应A48C的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】（1），或，；（2） JJ【解析】 由"州二二尹：得,3a2 +c2 -b2) = -2y/6ac , c3(a + b)''所以d;嗔-亚, 2ac 3, A：2 cos 2A + 2 cos = 1 得,2 co

27、s A2 + cos A = 0 . 2解得cosA = "!或cosA = -l(舍)，所以A = 2, 23因为cos8 = Y0vL,且3e(0,;r),所以8>：江，所以A + 8>r,矛盾. 32J 3所以ABC不能同时满足，.故A48C满足，或，：(2)若A43C满足，因为。2 =.2+c? 2«ccosB，lr I'A 8 = 6 + c2+2x y/6 x c x » H|J c2 + 4c 2 = 0解得 C = y/6 2 -所以 AABC 的面积 S = 1 ac sin 8 =2i «2应（i b=若AA8C满

28、足，由正弦定理:一 =；，即JJ sinB，解得sinB = l,sin A sin B -2所以c = JJ，所以AABC的iff!积S = !csinA = JI2【点睛】本题考查了三角形能否成立的判断、利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形而枳的计算, 考查运算求解能力，属于基础题.19.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市.民仅有一次参加机会，通 过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.组别30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)频数2515020025(

29、)22510050（1）己知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（4,210）, 近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）:（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（ii ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元2040概率34£ 4现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.附：V2?0 «14.5.若则尸（4一bvX

30、<4+oj = 0.6827.P（- 2b v X < 4 + 2b） = 0.9545, P（- 3b < X W +3b） = 0.9973【答案】（1） 0.8186：（2）答案见解析.、.35x25 + 45x150 + 55x200 + 65x250 + 75x225 + 85x100 + 95x50 丁解析(1)由题意可得=二 65,1000易知b = 5/2IO x 14.5 ,36 = 65 29 = 65 2x 14.5 = 4-2b,79.5 = 65 +14.5 = + b ,. P(36<Z< 79.5) = P(/-2cr < Z

31、< /+cr) = P(/-2cr < Z < /) + P(/ < Z < /+cr)O9545 + O68272= 0.8186：尸(-2b v X < + 2b) + P(一b< X < / + cr)2(2)根据题意，可得出随机变量X的可能取值有20、40、60、80元,八人”,133八/" c、1113313P(X =20) = x= -, P(X =40) = x + -x-x =, '7 2 4 817 2 4 2 4 4 321133 z1111p(X =60)= 2x-x-x- = . P(X=80)= -x-

32、x- = .'72 4 4 16'7 2 4 4 32所以,随机变量X的川如下表所示，X2040608031331p83216323133175所以，随机变量X的数学期望为EX=20x二+ 40xt + 60x + 80x- = £.8321632 2【点睛】本题考查了概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列 及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考 查计算能力，属于中等题.20 .如图，在四棱锥PA3CO中，PA1.底而A8CD,底而A8CD是矩形，AP = AB = ,与底而A8

33、CD所成角的正切值为1,尸是P8的中点，£线段8C上的动点. 3（1）证明：4月L平面P8C：（2）若二面角POEA的余弦值为大叵，求8E的长.14【答案】（1）证明见解析：（2> BE = 1.【解析】（1）证明：平而ABC。，8。匚平而487。,BC1PA.又8C_L48, ABAP = A, AB, APu平面加，/. 3CL 平而 P8C,又AFu平面248,3c又 P4 = A8 = 1，F 是 PB 的中点、，, AF 上 PB，又.依03。= 3, PB, BCu平而PBC,A尸，平面面3c.以皿 AB，A尸分别为轴,y轴，z轴建立空间克用坐标系,如图所示./ P

34、D，底面A3CO所戌角的正切值为L AP = b3* AD = 3,则 P(o,o.l), 8(0,1,0),。(3,0,0).设 3E = x(04x43), I|ll E(aL0),设平面PQE的法向昂:为方= （%,%,号），由m - PD = 0一,得：6=(1,3 工3) ,丽PE = 0而平面AOE的一个法向量为通=（0。1）,依题意得：上 竺=评I机 MAPI 14"-0 + (3-幻23V1414 , 得 x = l 或 x = 5(含).故 BE = 1【点肪】本题考查了线面位置关系以及用空间向量的方法通过二面角大小求解,解答时设=W3）,可采用，先利用空间向量求解已知而的法向量，使法向量满足条件，然后求解出x的值,属于中档题.21 .已知椭圆E:± +二的离心率6 =立，其左、右顶点分别为点A8,且点A关于直线 cr b'2y = X对称的点在直线y