chapter4算符

1、第三章第三章 算符算符3.1 3.1 算符算符(1) 算符定义算符定义：对一个函数施行某种运算（或动作）：对一个函数施行某种运算（或动作）得到另一个函数的符号。如：得到另一个函数的符号。如：dxdlg,令令 ，将其作用于一个函数，将其作用于一个函数f1(6x2-2x)，得到的，得到的将是另一个函数将是另一个函数f2，即：，即：d dx xd dD D 221f212x2x6xdxdfD(2) 算符的运算规则：算符的运算规则：算符的和、差：算符的和、差：令令 是将一函数乘以是将一函数乘以3的算符，则：的算符，则：3 36x18x2x6x3f3221 xfBxfAxfBA如：如： x2x2xx21

2、2e3x2x9e3x3e2x3ex3D算符的积：算符的积：即：先用算符积右边的算符作用于函数，再用算符积即：先用算符积右边的算符作用于函数，再用算符积左边的算符作用于所得函数。左边的算符作用于所得函数。 xfBAxfBA如：如： xfDx1xfxxfxxfdxdxfxD xfxxfdxdxxfDx由上可见，算符的乘法不一定满足乘法交换律。一般由上可见，算符的乘法不一定满足乘法交换律。一般来说，来说，ABBA算符的相等：算符的相等：若对于任意函数若对于任意函数f来说，都有来说，都有 则，算符则，算符 。由上例可知：。由上例可知：其中，其中， 称为单位算符。另外还有零算符称为单位算符。另外还有零算

3、符 。 xfBxfAB BA ADxDx1xD1 10 0 xxxxee1,eedxd1dxd算符满足乘法结合律：算符满足乘法结合律： CBACBA如：令如：令3C, xB,dxdA则有则有f3x3f3fDx13fxDfCBAf3x3f3xfDfCBA(3) 算符的对易：算符的对易： 定义算符定义算符 与与 的对易子的对易子 为算符为算符 ，即：即：ABB,AAB-BAAB-BAB,A若若 ，则算符，则算符 与与 是可对易的，否则是不可是可对易的，否则是不可对易的。对易的。ABBAAB如：如：03dxddxd3dxd, 3-1xdxddxdxdxd, x所以，算符所以，算符 与与 是是可对易可

4、对易的，而算符的，而算符 与与 是是不不可对易可对易的。的。3dxdx dxd(4)线性算符：线性算符：当算符当算符 满足下列两个条件时，我们称满足下列两个条件时，我们称算符算符 为线性算符：为线性算符：AA xfAcxcfAxgAxfAxgxfA式中，式中，f和和g为任意函数，为任意函数，c为任意常数。为任意常数。如：算符如：算符 为线性算符；为线性算符； 而平方根算符而平方根算符SQRT为非线性算符。为非线性算符。22dxd,dxd, x 注意：下列两个等式成立的条件：注意：下列两个等式成立的条件：CBCACBA对于任意算符都成立对于任意算符都成立 xfxfxfxfxfxfxfCBCACB

5、CACBCACBACBA算符的和算符的和算符的积算符的积算符的和算符的和算符的积算符的积CABACBA只有在算符只有在算符A为线性为线性算符时等式才成立算符时等式才成立 xfxfxfxfxfxfxfxfxfCABACABACABACBAACBCBA算符的和算符的和算符的积算符的积为线性算符为线性算符A A算符的和算符的和算符的算符的积3.2 3.2 本征函数、本征值和本征方程本征函数、本征值和本征方程 如果一个算符作用于某一函数的效果只简单地为如果一个算符作用于某一函数的效果只简单地为某一常数乘以原函数本身，即：某一常数乘以原函数本身，即： xkfxfA则，我们称函数则，我们称函数f(x)为算

6、符为算符A的具有本征值的具有本征值k的本征函数。的本征函数。上式称为上式称为本征方程本征方程。 例如：例如：2x2x2eedxd我们说：我们说：e2x是算符是算符 d/dx具有本征值具有本征值2的本征函数。的本征函数。求算符求算符d/dx所有的本征函数和本征值。其本征方程为：所有的本征函数和本征值。其本征方程为： xkfdxxdf kdxxfxdf等式两端积分，得：等式两端积分，得：为常数为常数其中其中AA,kxf，lnAkxeef。为另一常数为另一常数CCefkx,本征值本征值k可以是任意数。可以是任意数。但是，若我们要求函数但是，若我们要求函数f(x)是品优波函数的话是品优波函数的话,本征

7、值本征值k就有了限制。就有了限制。设：设：k为复数，那么为复数，那么ka+ib，其中，其中a，b为实数。这样，为实数。这样，f(x)=Ceaxeibx。若。若a为正，则当为正，则当x趋向无穷大时，趋向无穷大时，eax趋于趋于无穷大；若无穷大；若a为负，则当为负，则当x趋向负无穷大时，趋向负无穷大时，eax趋于无趋于无穷大。因此，边界条件要求穷大。因此，边界条件要求a0，而有纯虚数的本征，而有纯虚数的本征值，值，kib。3.3 3.3 算符与量子力学算符与量子力学 xExxVdxd2m222前面已经学过，一维单粒子的薛定谔方程为：前面已经学过，一维单粒子的薛定谔方程为：其中，中括号里的整体实际是

8、一个算符，这个算符我其中，中括号里的整体实际是一个算符，这个算符我们叫做体系的哈密顿算符，用们叫做体系的哈密顿算符，用 来表示。它作用与体来表示。它作用与体系的状态函数等于一个常数系的状态函数等于一个常数E(体系的能量体系的能量)乘以原函数乘以原函数本身，所以该方程实际是本身，所以该方程实际是哈密顿算符的本征方程。本哈密顿算符的本征方程。本征值为体系的总能量征值为体系的总能量E，因此哈密顿算符为能量算符。，因此哈密顿算符为能量算符。H H量子力学的一个基本假设量子力学的一个基本假设：经典力学中的物理量都有：经典力学中的物理量都有一个与之相对应的量子力学算符。同时假定：一个与之相对应的量子力学算

9、符。同时假定：;zz,yy,xxzip,yip,xipzyx根据假定，对应于物理量根据假定，对应于物理量F的算符可以这样得到的算符可以这样得到:写出写出物理量物理量F做为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经典力学做为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经典力学表达式，然后将表达式，然后将笛卡儿坐标和对应动量用其相应的算笛卡儿坐标和对应动量用其相应的算符所代替。符所代替。如：写出一维单粒子的动能算符。如：写出一维单粒子的动能算符。第一步：写出其用笛卡儿坐标和对应动量的经典力学第一步：写出其用笛卡儿坐标和对应动量的经典力学表达式：表达式：2mpm21T2x2x第二步：将第二步：将笛卡儿坐标和对应动量用相应的算符

10、代替，笛卡儿坐标和对应动量用相应的算符代替，就得到动能的算符为：就得到动能的算符为：2222xdxd2m2mpT一般来说，体系的势能函数所对应的算符为：一般来说，体系的势能函数所对应的算符为： xVxV这样，体系的总能量算符为：这样，体系的总能量算符为： xVdxd2mVT222此即体系的哈密顿算符，所以此即体系的哈密顿算符，所以哈密顿算符为体系的总哈密顿算符为体系的总的能量算符。的能量算符。量子力学算符与体系性质的关系：量子力学算符与体系性质的关系：每个量子力学算符每个量子力学算符有其自己的一套本征函数和本征值。若有其自己的一套本征函数和本征值。若 是是 的具有的具有本征值本征值ai的本征函

11、数，则有：的本征函数，则有：iFiiiaF量子力学又一个基本的假设：量子力学又一个基本的假设：对体系性质对体系性质F的每一次测的每一次测量只能得到其本征值量只能得到其本征值ai之一。之一。若体系所处的状态为若体系所处的状态为F的的具有本征值具有本征值ai的的本征函数，那么对性质本征函数，那么对性质F的每一次测量的每一次测量肯定得到确定值肯定得到确定值ai。若体系所处的状态不是若体系所处的状态不是F的本征函的本征函数，对性质数，对性质F的每一次测量得到是其本征值之一，但不的每一次测量得到是其本征值之一，但不能确定是哪一个本征值能确定是哪一个本征值。考虑动量：考虑动量：kpxkdxdi - 求解可

12、得，其本征函数为：求解可得，其本征函数为：ikx/Ae为了使其本征函数为品优波函数，本征值为了使其本征函数为品优波函数，本征值k必须是实数。必须是实数。这很显然是合理的，因为对动量的测量不可能得到虚这很显然是合理的，因为对动量的测量不可能得到虚数。可见在动量算符中包含虚数数。可见在动量算符中包含虚数i是为了保证其本征值是为了保证其本征值为实的。为实的。考虑一维势箱中一粒子的动量考虑一维势箱中一粒子的动量：在一维势箱中，粒子：在一维势箱中，粒子的态函数及对应的能量为：的态函数及对应的能量为： lxnsinl22228mlhnE px常数常数此时此时这样，当粒子处在量子数为这样，当粒子处在量子数为

13、n的定态时，对其动量的测的定态时，对其动量的测量就不能给出确定值。量就不能给出确定值。4lhnp2222x但是，由于但是，由于这样，动量平方的测量仅有的可能值这样，动量平方的测量仅有的可能值 。2224lhn3.4 3.4 平均值平均值当体系所处的状态函数不是算符当体系所处的状态函数不是算符F的本征函数时，对性的本征函数时，对性质质F的每一次测量得到是其本征值之一。那么对一个态的每一次测量得到是其本征值之一。那么对一个态函数为函数为的体系其性质的体系其性质F的平均值如何得到呢？的平均值如何得到呢？实验上实验上，我们可以取大量独立的体系，每个都处于同，我们可以取大量独立的体系，每个都处于同样的态

14、样的态，在每个体系中做性质，在每个体系中做性质F的测量。的测量。F的平均值的平均值就定义为观测到的值的算术平均。量子力学中如何得就定义为观测到的值的算术平均。量子力学中如何得到到F的平均值呢？的平均值呢？假设：假设：性质性质F的平均值可通过下式得到：的平均值可通过下式得到：dFF注意：注意： 和和 与与 是不一样的。是不一样的。FFF如果如果为算符为算符F的本征函数，即：的本征函数，即：那么：那么：kFkdkkdFFd很显然，这是合理的，因为对性质很显然，这是合理的，因为对性质F每次的测量总是得每次的测量总是得到到k，所以其平均值必是，所以其平均值必是k。ddFF若若是归一化的，则是归一化的，则例如：三维势箱中例如：三维势箱中x坐标的平均值为：坐标的平均值为： a0dxxxfxfdxxxfxfdzzhzhdyygygdxxxfxfdxdydzzhygxxfzhygxfxxd对于体系的基态来说：对于体系的基态来说： 2adxaxxsina2dxxxfxfxa02a03.5 3.5 简并性简并性定理：定理：简并能级的简并能级的n个波函数的任意线性组合仍是哈密个波函数的任意线性组合仍是哈密顿算符的具有