边坡工程第4章-边坡稳定性极限平衡条分法(冶金出版社)

1、边坡工程Slope Engineering第四章 边坡稳定性极限平衡条分法吴顺川北京科技大学2017.10特别感谢本教材及PPT中引用文献及图片的作者！本章主要介绍工程中常用的极限平衡条分法，包括瑞典条分(Fellenius)法、简化Bishop法、Janbu法、Corps of Engineers法(#1、#2)、Lowe-Karafiath法、Spencer法、Morgenstern-Price法、通用条分法(General Limit Equilibrium，简称GLE)及Sarma法，详细讲述各类条分法的基本假设及公式推导过程等。理解各种常用极限平衡条分法的基本原理、公式推导过程，熟悉

2、各种方法的优缺点及各类方法之间的共性和差异，掌握各种方法的基本假设、平衡条件及其计算公式的区别。 本章主要内容 学习要点4.14.44.5概述目 录CONTENTSJanbu法Corps of Engineers法(#1、#2)l 提出背景l 计算分析4.2瑞典条分法4.3简化Bishop法4.6Lowe-Karafiath法l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析(Corps of Engineers法#2)l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计

3、算方法评析l 计算分析(Corps of Engineers法#1)4.74.104.11Spencer法目 录CONTENTSSarma法二维极限平衡条分法总结l 提出背景l 计算分析4.8Morgenstern-Price法4.9通用条分法(GLE法)4.12三维极限平衡条分法l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计算方法评析l 提出背景l 计算分析l 基本假设l 计算方法评析4.1概述 4.1 概念 极限平衡条分法(下文简称条分法)起源于20世纪初期，由瑞典学者Petersson提出，后经过Felleniu

4、s等人修正后在世界各国得到普遍推广，发展到70年代，条分法的工程实践案例已经有很多，其理论体系较为完备。源方法：瑞典圆弧法(整体圆弧法)ORCBAdW 平衡条件(各力对圆心O的力矩平衡)(1) 滑动力矩：滑动力矩：(3) 安全系数：安全系数：uRccMCA c R 当当 =0(饱和饱和粘土不排水粘土不排水强度强度)时时， 注注：(其中其中 是未知是未知函数函数) nnl(2) 抗滑力矩：抗滑力矩：sMWd000d(tan )dtan dLLRfnLnMl Rcl RCA c Rl R RssMCA c RFMWd 抗滑力矩滑动力矩思路：思路：离散化离散化分条分条条分法条分法 4.1 概念条分法

5、两个基本假设： 极限平衡假设：当坡体的强度指标降低F倍以后，坡体内存在达到极限平衡状态的滑面，滑体处于临界失稳状态。此时，F为坡体的安全系数。 条块刚性假设：对滑体进行条分后，各条块为刚性块体，只发生整体运动而不产生条块内部的变形。ORdCBAW AORC ibiB-2-101234567安全系数定义安全系数定义tani iiiisclNTFtanfii iiisiiTclNFTT对于有n个条块的滑体来说，在极限平衡状态下，滑体的未知量有：(1) 安全系数Fs，1个； (2) 条块底面上的法向力Ni，切向力Ti及合力作用点，共3n个；(3) 条分面上的法向力Ei，切向力Xi及合力作用点，共3n

6、-3个；因此，整个滑体就有6n-2个未知量。 EiXiTiNi ihi+1WiEi+1Xi+1hi 4.1 概念未知数：未知数：条块间力作用点位置条块间力作用点位置2(n-1)+(n-1) 3n-3滑动面上的力作用点位置滑动面上的力作用点位置3n安全系数安全系数 F 16n-2平衡方程： 摩尔库仑准则：(o)000iiiXYMtani iiiisclNTF4n可建立方程：可建立方程：已知量：已知量：4n4n个个未知量：未知量：6n-26n-2个个相相 差：差： 超静定问题，为求解此种超静定问题，解决办法有三种：(1) 引入变形协调条件，增加方程数；(2) 引入未知量之间的关系式，增加方程数；(

7、3) 对边坡模型进行一定的简化，忽略部分考察因素，减少变量数。 条分法主要通过上述办法(2)和(3)，不同的极限平衡条分法采用不同的假设条件，增加了方程数或(和)减少了未知量。 4.1 概念方法对多余变量的假设条件未知量减少个数瑞典条分法(Fellenius法) 条块间无作用力，力矩平衡4n-3简化Bishop法条块间只有水平力，力矩平衡2n-1简化Janbu法条块间只有水平力，水平力平衡2n-1通用Janbu法条间合力作用在推力线与条块的交点上，并与推力线方向一致2n-1Corps of Engineers法#1条间力比值(X/E)是滑面顶部到底部连线的斜率2n-2Corps of Engi

8、neers法#2条间力比值(X/E)是条块顶面的斜率2n-2Lowe-Karafiath法条间合力方向为条块顶部倾角和底部倾角的均值2n-2Spencer法条间力比值(X/E)为常数，力矩及力平衡2n-2Morgenstern-Price法条间力比值(X/E)与水平方向坐标之间存在函数关系X/E=f(x)2n-2通用条分法(GLE法)假定条间力函数f(x)2n-2Sarma法条间力满足强度准则2n-2不平衡推力法条间力的方向等于条块底面倾角2n-1各条分法假设条件及未知量减少个数一览表 条分法以极限平衡理论为基础，并采用“化整为零”的思想，将滑动土体划分成若干条块，对条块进行受力分析和计算，以

9、下假设是各个条分法均要遵循的基本条件：(1) 所有条块无变形，具有刚体性质；(2) 滑动面上所有点的安全系数相同；(3) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态；(4) 滑面抗剪性质符合摩尔-库伦准则。 基于上述假设发展的分析方法，都以边坡达到极限平衡状态时，土体强度参数的降低程度为标准评价边坡的稳定性。4.2瑞典条分法4.2.1 提出背景4.2.2 基本假设4.2.3 计算分析4.2.4 计算方法评析 4.2 瑞典条分法提出背景瑞典条分法，又称Fellenius法，是条分法中最原始、最简单的分析方法 。 瑞 典 条 分 法 首 先 由 Pe t e r s s o n ( 1 9 1 6 年

10、 ) 提 出 ， 并 由Fellenius(1936年)和Taylor (1936年)进一步发展完善。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 不考虑条间力，条块受到滑面提供的切向力与法向力合力作用点位于条块底部中心；(6) 滑动面为圆弧滑动面；(7) 边坡稳定性系数定义为滑动面所能提供的最大抗滑力矩与滑体所受到的最大下滑力矩之比，力矩的矩心均为滑动圆弧对应的圆心。计算分析TiNii

11、Wi忽略所有条间作用力：忽略所有条间作用力：2(n-1)+(n-1) 3n-34n-3假定滑动面上作用点位置：假定滑动面上作用点位置：n未知数未知数: : 2n+1 2n+1 方程数方程数: : 4n 4n 4.2 瑞典条分法计算分析TiNiiWi滑面法向力平衡：cosiiiNW整体对圆心的力矩平衡：滑动力矩=抗滑力矩sRMM(costan)sini iiiiiiisclWWRTRRF(costan)sini iiiisiiclWFW显式显式表达表达考虑地下水影响：(costan)sin(costan)=sini iiiisiii iiiiiiiiiiclWFWclbHbH平衡条件：tanco

12、stani iiii iiiiissclNclWTFF 4.2 瑞典条分法TiNiiWicosiiiNWtani iiiisclNTF(1) (1) 一些平衡条件不能满足一些平衡条件不能满足siniiW对对0#0#土条：土条：T0N0W00 0000tansc lNTF 0(2) (2) 假设圆弧滑裂面，与实际滑裂面有差别假设圆弧滑裂面，与实际滑裂面有差别 忽略条间力，使得计算安全系数忽略条间力，使得计算安全系数 Fs 偏小偏小 假设圆弧滑裂面，使假设圆弧滑裂面，使 Fs 偏大偏大最终结果是最终结果是 Fs 偏小偏小， 越大越大 Fs 越偏小越偏小一般情况下，一般情况下，F Fs s偏小偏小

13、10% 10% 左右左右偏于安全AORC ibiB0(3)(3)在在边坡比较平缓或存在较高孔隙水压力条件下，根据公式计算出的安全系数误差较大，甚至超出允许的误差范围，边坡比较平缓或存在较高孔隙水压力条件下，根据公式计算出的安全系数误差较大，甚至超出允许的误差范围，此情况下应选此情况下应选择其它方法择其它方法进行计算。进行计算。计算方法评析4.3简化 Bishop法4.3.1 提出背景4.3.2 基本假设4.3.3 计算分析4.3.4 计算方法评析 4.3 简化Bishop法提出背景简化Bishop法由英国著名土力学专家Bishop于1955年提出，该法计算简单且精度较高。方法提出初期，Bish

14、op曾试图考虑条间剪力作用，但发现条间剪力分布及有无条间剪力对安全系数影响均不是很大，所以最终选择不考虑条间剪力的简化模式。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 考虑条块间法向力作用，不考虑切向力，条块受到滑面提供的切向力与法向力合力作用点位于条块底部中心；(6) 滑动面为圆弧滑动面；(7) 边坡稳定系数定义为滑动面所能提供的最大抗滑力矩与滑体受到的下滑力矩之比，力矩的矩心均为滑

15、动圆弧对应的圆心。计算分析Eihi+1TiNiiWiEi+1hi不考虑切向力：不考虑切向力：n-12n-1假定滑动面上作用点位置：假定滑动面上作用点位置：n未知数未知数: : 4n-1 4n-1 方程数方程数: : 4n 4n 4.3 简化Bishop法垂直方向力平衡：极限平衡条件：整体力矩平衡：cossiniiiiiWNTtani iiiiclNTF11sinSiiiiiiiRMWRExT RE xM 联立上式可求：1tan()siniiiiimiicbWmF FW11tan()siniiiiiiimiicbWXXmF FWBishop法考虑条间切向力，其公式为：下滑抗滑满足要求？ 4.3

16、简化Bishop法考虑地下水影响：1-costan()siniiiiiiimiicbW UmF FW计算方法评析Slice 1 - Bishop Method74.21256.38496.32490.228 方法计算过程较为简单；方法计算过程较为简单； 只考虑条间法向力，满足垂直方向力的平衡及整体力矩平衡，只考虑条间法向力，满足垂直方向力的平衡及整体力矩平衡，力多边形基本闭合；力多边形基本闭合； 虽然是一种非严格条分法，但国内外大量的边坡稳定性计算工虽然是一种非严格条分法，但国内外大量的边坡稳定性计算工程实例表明：通过该方法算出的边坡安全系数与程实例表明：通过该方法算出的边坡安全系数与Morg

17、enstern-Morgenstern-PricePrice法、法、Spencer Spencer 法等严格条分法的计算结果较为接近，一般法等严格条分法的计算结果较为接近，一般只相差只相差3%3%4%4%。4.4Janbu法4.4.1 提出背景4.4.2 基本假设4.4.3 计算分析4.4.4 计算方法评析 4.4 Janbu法提出背景简布法(Janbu法)，又称通用Janbu法，1954年由挪威土力学家Janbu提出。该法为基于任意形状滑动面且考虑所有平衡条件的边坡安全系数计算方法。在国际上应用广泛，但存在较严重的不收敛问题。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；

18、(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 条块底部法向力作用点位置为条块上所有竖直荷载合力作用线和滑动面的交点，均为条块底部中点，且条块受到的所有荷载对该点的力矩平衡；(6) 假设条间法向力作用点位置，一般取条块底部以上1/3高度处；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。计算分析条块底部法向力作用点：条块底部法向力作用点：n2n-1条间法向力作用点：条间法向力作用点：n-1未知数未知数: : 4n-1 4n-1 方

19、程数方程数: : 4n 4n EiXiTiNiiWiEi+EiXi+Xi 4.4 Janbu法水平方向力平衡：垂直方向力平衡：条块间法向力之和为零：sincosiiiiiiiNEETE cossiniiiiiiiiWXNTXX 0iE 极限平衡条件：tani iiiiclNTF联立上式可求：tancos()taniiiiiiifiiicbWXmF FWX tan1tancosi iiiiiiiiiicbWXEWXFmEiXiTiNiiWiEi+EiXi+XiAbiBCDE推力作用线 4.4 Janbu法滑面底部中点取矩，力矩之和为零：22iiiiiiiiiiibbEhXXXEEhhhi+hih

20、iEiXiTiNiiWiEi+EiXi+Xi使用Janbu法进行计算时，首先要用到简化Janbu法的思想，具体步骤如下：首先令Xi=0，由公式(4-40)计算出安全系数F 由公式(4-41)计算出Ei由公式(4-46)计算出Ei由公式(4-45)计算出Xi计算Xi=Xi+1-Xi再将第(5)步得到的Xi代入式(4-39)计算F 考虑地下水影响：costancos()taniiiiiiiiifiiicbWUXmF FWX 4.4 Janbu法考虑地下水costancos()taniiiiiiiifiicbWUmF FW 简化Janbu法在Janbu法的基础上，假设Xi=0， Xi=0 ，对应计算

21、公式为：tancos()taniiiiiifiic bWmF FW计算方法评析Slice 1 - Janbu Method45.08436.99654.39647.963 第一种基于任意形状滑面且考虑滑体所有平衡条件的边坡安全系数计算第一种基于任意形状滑面且考虑滑体所有平衡条件的边坡安全系数计算方法，力多边形闭合；方法，力多边形闭合； 直接假设推力线的位置，根据一般工程条件易于判断；直接假设推力线的位置，根据一般工程条件易于判断； 不易收敛，故在工程上较少使用；不易收敛，故在工程上较少使用； 该方法将力矩平衡条件隐含于条块切向力与法向力的关系中，仅根据力该方法将力矩平衡条件隐含于条块切向力与法

22、向力的关系中，仅根据力的平衡条件即可得到满足严格平衡条件的安全系数表达式，计算较为方的平衡条件即可得到满足严格平衡条件的安全系数表达式，计算较为方便，在地形比较复杂的工程中，可以考虑采用此方法。便，在地形比较复杂的工程中，可以考虑采用此方法。 简化简化JanbuJanbu法不考虑条间切向力，使得计算过程较为简化。法不考虑条间切向力，使得计算过程较为简化。4.5Corps of Engineers法(#1、#2)4.5.1 提出背景4.5.2 基本假设4.5.3 计算分析(Corps of Engineers法#1)4.5.4 计算分析(Corps of Engineers法#2)4.5.5 计

23、算方法评析 4.5 Corps of Engineers法(#1、#2)提出背景美国陆军工程师团法(U.S. Army, Corps of Engineers法#1、#2)于20世纪60年代被提出，两种方法的不同主要在于选择了不同条间力比值(X/E)，适用于任意形状滑面。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 同时考虑条间法向力E和切向力X，条间合力作用方向平行于滑面进出口连线(#

24、1)或条块顶面倾角(#2)； (6) 条块满足力平衡，不考虑整体力矩平衡；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。计算分析(Corps of Engineers法#1)EiXiTiNiiWiEi+1Xi+1AbiBECD斜率k 4.5 Corps of Engineers法(#1、#2)水平方向力平衡：垂直方向力平衡：条块间法向力之和为零：0iE 极限平衡条件：tani iiiiclNTF1sincosiiiiiiNETE1cossiniiiiiiiWXNTXtaniiXE条间力假设：EiXiTiNiiWiEi+1Xi+1联立可求得：tancos()taniii

25、iiiifiiicbWXmF FWXtan1tancosi iiiiiiiiiicbWXEWXFm联立循环联立循环迭代求解迭代求解 4.5 Corps of Engineers法(#1、#2)计算分析(Corps of Engineers法#2)EiXiTiNiiWiEi+1Xi+1iitaniiiXE条间力假设：tancos()taniiiiiiifiiicbWXmF FWXtan1tancosi iiiiiiiiiicbWXEWXFm前推导过程同Corps of Engineers法#1：联立上述三式循环迭代即可求解，Corps of Engineers法#2仅在条间力假设方面与Corps

26、 of Engineers法#1有所不用。CD斜率kAbiBE 4.5 Corps of Engineers法(#1、#2)计算方法评析 Corps of Engineers Corps of Engineers法法(#(#1 1、# #2)2)均均考虑条间法向力和切向力，并分别对合力的倾角作出不同考虑条间法向力和切向力，并分别对合力的倾角作出不同假设假设( (分别分别假假设条间合力作用方向平行于滑面进出口连线、条块顶面设条间合力作用方向平行于滑面进出口连线、条块顶面倾角倾角) )，条块满足条间力平衡条件，不满足整体力矩平条块满足条间力平衡条件，不满足整体力矩平衡，力多边形闭合。衡，力多边形闭

27、合。Corps of EngineersCorps of Engineers法的主要特点是：法的主要特点是：所定义的条间力函数与滑面或边坡的几何形状有所定义的条间力函数与滑面或边坡的几何形状有关，适用于各种滑动面。关，适用于各种滑动面。 由于实际工程边坡几何形态复杂，因此该方法会产生一定的计算误差，但大量的工程案例表明，采用该由于实际工程边坡几何形态复杂，因此该方法会产生一定的计算误差，但大量的工程案例表明，采用该方法能基本满足规范要求，故其应用也较为广泛。方法能基本满足规范要求，故其应用也较为广泛。Slice 1 - Corps of Engineers #1 Method39.97934.

28、42462.63742.69417.308Slice 1 - Corps of Engineers #2 Method38.93934.00964.34241.55620.778Corps of Engineers法#1力多边形Corps of Engineers法#2力多边形4.6Lowe-Karafiath法4.6.1 提出背景4.6.2 基本假设4.6.3 计算分析4.6.4 计算方法评析 4.6 Lowe-Karafiath法提出背景罗厄法(Lowe-Karafiath法)于20世纪60年代提出，略早于Corps of Engineers法(#1、#2)。这三种方法原理基本相同，区别在

29、于Lowe-Karafiath法假定条间合力方向为条块顶部倾角和底部倾角的均值。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 同时考虑条间法向力E和切向力X，条间合力方向为条块顶部倾角和底部倾角的均值； (6) 条块满足力平衡，不考虑整体力矩平衡；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力 之比。计算分析EiXiTiNiiWiEi+1Xi+1 ii斜率斜率k 4.

30、6 Lowe-Karafiath法EiXiTiNiiWiEi+1Xi+1 ii斜率斜率ktaniiiXE条间力假设：tancos()taniiiiiiifiiicbWXmF FWXtan1tancosi iiiiiiiiiicbWXEWXFm前推导过程同Corps of Engineers法#1：联立上述三式循环迭代即可求解，Lowe-Karafiath法仅在条间力假设方面与Corps of Engineers法#1有所不用。2iii亦即：biBECD 4.6 Lowe-Karafiath法计算方法评析 Lowe- Lowe-KarafiathKarafiath法作为一种早期较为常用的边坡稳定

31、性分析方法，考虑条间法向力和切向力，该法假设法作为一种早期较为常用的边坡稳定性分析方法，考虑条间法向力和切向力，该法假设条间合力方向为条块顶部倾角和底部倾角的均值，条间合力方向为条块顶部倾角和底部倾角的均值，条块满足条间力平衡条件，不满足整体力矩平衡，力多边条块满足条间力平衡条件，不满足整体力矩平衡，力多边形闭合。形闭合。Lowe-Lowe-KarafiathKarafiath法的主要特点是：法的主要特点是：将条块条间力函数定义为与条块顶部和滑动底部斜率相关的变量将条块条间力函数定义为与条块顶部和滑动底部斜率相关的变量函数，适用于各种滑动面。函数，适用于各种滑动面。 该方法考虑每个条块顶底面的

32、不同几何形状，物理意义较为明确，因此在一定程度上得到应用。该方法考虑每个条块顶底面的不同几何形状，物理意义较为明确，因此在一定程度上得到应用。Lowe-Karafiath法力多边形Slice 1 - Lowe-Karafiath Method42.01635.04363.80245.4814.8854.7Spencer法4.7.1 提出背景4.7.2 基本假设4.7.3 计算分析4.7.4 计算方法评析 4.7 Spencer法提出背景斯宾塞法(Spencer法)于1967年被提出，在1973年被改进，该方法假定所有条块间作用合力相互平行，并利用整体力平衡和力矩平衡求解安全系数，适用于任意滑动

33、面，是一种公认比较精确的方法，可推广至三维边坡稳定性分析的问题中。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 同时考虑条间法向力E和切向力X，且二者满足X=f(x)E，f(x)为一常数，即各条块间的作用合力相互平行； (6) 条块满足力平衡，整体满足力矩平衡；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。计算分析EiPiTiNiiWiEi+1Pi+1 4.7

34、Spencer法条块底面法向力平衡：条块底面切向力平衡：条间力之和为零：极限平衡条件：1()sin()cos0iiiiiiNPPW1()cos()sin0iiiiiiTPPWtani iiiiclNTF1()0iiPPEiPiTiNiiWiEi+1Pi+1力矩平衡条件：1()cos()0iiiiPPRSpencer法同时考虑力平衡及力矩平衡，分别将两式代入pi的求解公式中，可求得Ff(满足整体力平衡的安全系数)及Fm(满足整体力矩平衡的安全系数)联立可得：1tancossintancos()1tan()i iiiiiiiiiiiiclWWFFPPPF 4.7 Spencer法Spencer法的

35、迭代计算过程中可借助图表进行，图中两曲线分别为Ff 及Fm的关系曲线，交点即为Spencer法求解的安全系数。Spencer法还需在条块分界面上满足强度准则，不发生破坏，亦即由切向条间力求得的平均剪应力应小于分界面土体的平均抗剪强度，或每一条分面上的抗剪安全系数Fv必须大于1(作为平衡设计， Fv应不小于F)。tanEchFFX 4.7 Spencer法考虑孔隙水压力时，仅需改变Pi的求解形式：1tan(cossec)sintancos()1tan()i iiiiiiiiiiiiclWu bWFFPPF计算方法评析 Spencer Spencer法同时考虑条间法向力和切向力，并假定了一个条块间

36、的法同时考虑条间法向力和切向力，并假定了一个条块间的定常力函数，定常力函数，同时满足整体力平衡和力矩平衡，力多边形闭合。同时满足整体力平衡和力矩平衡，力多边形闭合。该方该方法作为一种严格条分法，可看作法作为一种严格条分法，可看作Morgenstern-PriceMorgenstern-Price法法( (后后文文介绍介绍) )的的特特例，计算结果一般比较准确，例，计算结果一般比较准确，总体上总体上SpencerSpencer法在工程中应用较法在工程中应用较为广泛。为广泛。Slice 1 - Spencer Method45.08437.09772.16851.73617.3634.8Morge

37、nstern-Price法4.8.1 提出背景4.8.2 基本假设4.8.3 计算分析4.8.4 计算方法评析 4.8 Morgenstern-Price法提出背景摩根斯坦-普莱斯法(Morgenstern-Price法，下文简称M-P法)于1965年提出，是一种在滑动面形状、静力平衡要求等多方面均不作任何假定的严格条分法，主要是假定两相邻条块切向力和法向力之比与水平坐标间存在一个函数关系进而求解安全系数。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动

38、面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 条间切向力X和法向力E存在函数关系式X=f(x)E，为介于01之间的任意常数；(6) 条块满足力平衡，整体满足力矩平衡；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。计算分析y-yty-h(y+dy)-(h+dh)dWgcE+dE(y+dy)-(yt+dyt)UU+dUX+dXabddyXdTEdNdUsO 4.8 Morgenstern-Price法Axy侧推力作用线y=yt(x)滑裂线y=y(x)侧向孔隙水压力推力线y=h(x)dx边坡表面线y=z(x)By-yty-h(y+dy)-(h+dh)dW

39、gcE+dE(y+dy)-(yt+dyt)UU+dUX+dXabddyXdTEdNdUsO条块底部法向力平衡：条块底部切向力平衡：条块底部中点取力矩平衡：极限平衡条件：联立计算，略去高阶微量，可求得：cossinsincossdNdUdXdEdUdWsincoscossindTdXdEdUdW1sectandTcdxdNF()() ()()222()()() ()()0222tttsdydydxEyyEdEydyydyXdxdydyXdXUyhUdUydyhdhgdU22tantan1tantantan1 ()11 ()udEdydXdydxFdxdxFdxcdydUdydWdydyrFdxd

40、xFdxdxFdxdxF 4.8 Morgenstern-Price法已知量： yz x yy xdW dxdU dxdy dx yh x待求量：EXF tyyx条间力假设：Xf(x)E(为介于01之间的任意常数)针对每一微分条块，条块内边坡表面线、侧向孔隙水压力推力线、滑裂线及函数f均可视为直线，即：yAxBdWpxqdxfkxm条块两侧边界条件：10EEx()nnxEEx0nE0()0nxnxdyMXEdxdx0()()xtxdyME yyXEdxdxy-yty-h(y+dy)-(h+dh)dWgcE+dE(y+dy)-(yt+dyt)UU+dUX+dXabddyXdTEdNdUsO三式均

41、满足，即可求得安全系数 4.8 Morgenstern-Price法计算方法评析 M-P M-P法同时考虑条间法向力和切向力，并假定两者比值与水法同时考虑条间法向力和切向力，并假定两者比值与水平坐标之间存在一个函数关系，平坐标之间存在一个函数关系，同时满足整体力平衡和力矩平衡同时满足整体力平衡和力矩平衡，力多边形闭合。，力多边形闭合。条块间法向力条块间法向力E E在简化计算条件时，涉及在简化计算条件时，涉及公式公式(4-87)(4-87)中中函数函数f(x)f(x)的的确定问题，可以利用弹性理论或直观假设确定问题，可以利用弹性理论或直观假设得出。根据得出。根据MorgensternMorgen

42、stern等人的研究，对于近似圆弧形滑动面，等人的研究，对于近似圆弧形滑动面，安全系数对内力分布的响应并不敏感，取不同的安全系数对内力分布的响应并不敏感，取不同的f(x)f(x)得到得到的边的边坡安全系数往往较为接近。坡安全系数往往较为接近。 当然，用当然，用M-PM-P法求出的条间力也必须满足合理性控制条件，法求出的条间力也必须满足合理性控制条件，即：即：条块分界面上抗剪安全系数条块分界面上抗剪安全系数FvFFvF且不存在拉力，如果这两且不存在拉力，如果这两个条件无法满足，可以通过修改个条件无法满足，可以通过修改f(x)f(x)进行进行调整。调整。如果取如果取f(x)f(x)为为常数，常数，

43、M-PM-P法相当于法相当于SpencerSpencer法，更特殊一些如果取法，更特殊一些如果取f(x)=f(x)=0 0，则，则M-PM-P法相当于法相当于BishopBishop法。法。Slice 1 - Morgenstern-Price Method45.08435.4562.7148.0098.48324.9通用条分法(GLE法)4.9.1 提出背景4.9.2 基本假设4.9.3 计算分析4.9.4 计算方法评析 4.9 通用条分法(GLE法)提出背景通用条分法(General Limit Equilibrium，简称GLE法)，是由非饱和土力学之父、萨斯克彻温大学的Fredlund

44、教授于1970年提出。该法的条间力方程采用的是Morgenstern和Price在1965年提出的X=f(x)E。某种程度上讲，GLE法是 Morgenstern-Price法的扩展，而扩展后的GLE法通过定义函数f(x)的不同形式，可以将其转化为基于力矩平衡或力与力矩均平衡的方法，如瑞典条分法、简化Bishop法、Janbu法、Spencer法、Morgenstern-Price法，以及各种仅基于力平衡的方法，如Corps of Engineers法、Lowe-Karafiath法等，这些条分法可看作是GLE法的特殊情况。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2

45、) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 条块为刚体，即不考虑滑动土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 条间切向力X和法向力E存在函数关系式X=f(x)E，为介于01之间的任意常数，f(x)为待定函数；(6) 条块满足力平衡，整体满足力矩平衡；(7) 边坡安全系数定义为沿整个滑动面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比。 4.9 通用条分法(GLE法)计算分析ihiDi张裂隙带di静水面KcWilifiRieixiWi基岩分界面通用条分法计算模型示意图圆弧滑动面指定滑动面复合滑动面块体滑动面 4.9 通用条分法(GLE

46、法)计算分析整体力矩平衡：单条块水平力平衡：极限平衡条件：0iiiiiiciiiiW xT RN fK W eD d tanii iii iiTclNulF 1sincoscos0iiiiiiciiiEENTK WD整体水平力平衡：sincoscos0iiiiciiiNTK WD 联立可求得：tani iiii iiiiiici iiiimKcl RNulRFW xN fdeDWcostan(sincos)ifi iii iiiiciiicbNuWFNDKl满足整体力矩平衡的安全系数满足整体力平衡的安全系数 4.9 通用条分法(GLE法)计算分析 iiXf x EXi与Ei满足： Spence

47、r法的条间力函数为常量，即假设所有条块切向力和法向力之比为一个常数。而M-P法和GLE法可以指定任何形式的条间力函数，如常量、半正弦函数、削顶正弦函数、梯形函数等等，其中常量和半正弦函数较为常用。基于常量条间力函数的M-P法、GLE法与Spencer法的分析结果是一致的。 半正弦函数的特点主要是剪切力集中于坡体中间部位的条块，并向坡顶和坡底逐渐减小。 满足所有静力平衡条件也是采用条间力函数假定的一个特点，但计算过程均比较复杂，所以一般采用软件进行计算，所得结果较为接近工程实际。 4.9 通用条分法(GLE法)计算分析一二三令Ei和Xi均为0，直接求解Ni此类方法只有在力矩平衡条件下求解安全系数

48、的瑞典条分法，由于该方法无法考虑f(x)，所以在左图中无法体现。只考虑Ei，令=0，通过迭代求解Ni此类方法考虑力平衡的有简化Janbu法，其求解结果在左图中表现为力平衡关系曲线在=0时对应的安全系数值。考虑力矩平衡的有简化Bishop法，其求解结果在左图中表现为力矩平衡关系曲线在=0时对应的安全系数值。考虑Ei、 Xi ，同时0，通过迭代求解Ni此类方法考虑力平衡的有Corps of Engineers法(#1、#2)以及Lowe-Karafiath法，此时令f(x)分别等于条间力假设对应的数值，三种方法均对应于=1时力平衡曲线的安全系数值。假设力和力矩都平衡的方法包括Spencer法、Mo

49、rgenstern-Price法以及GLE法，Morgenstern-Price法在左图中表现为两条曲线交点对应的安全系数值。 针对针对GLEGLE法与其它条分法的关系，法与其它条分法的关系，可分为三类：可分为三类： 4.9 通用条分法(GLE法)计算分析边坡滑动面几何形状与对应-F关系曲线形态圆弧滑动面平面滑动面复合滑动面块体滑动面深埋滑动面 4.9 通用条分法(GLE法) GLEGLE法假定了一个条间切向力和法向力之间的可变函数，法假定了一个条间切向力和法向力之间的可变函数，同时满足力平衡和力矩平衡，同时满足力平衡和力矩平衡，力多边形闭合。力多边形闭合。该法涵盖了其它大多数极限平衡法，适用

50、于任意滑动面。因此，工程应用该法涵盖了其它大多数极限平衡法，适用于任意滑动面。因此，工程应用中应尽可能采用中应尽可能采用GLEGLE法。法。计算方法评析Slice 6 - Ordinary Method216.763.127171.55Slice 6 - Bishop Method216.768.533220.83114.3640.527Slice 6 - Janbu Method216.773.946216.43114.3640.527Slice 6 - Corps of Engineers #1 Method204.2959.407180.8586.63535.12233.22413.46

51、9Slice 6 - Corps of Engineers #2 Method186.6955.438159.9371.85135.92521.64810.824Slice 6 - Lowe-Karafiath Method201.5159.921175.2983.94640.46526.42615.094Slice 6 - Spencer Method216.764.235195.07105.835.50937.212.485Slice 6 - Morgenstern-Price Method216.763.292189.64105.8636.25740.0048.3631GLE法瑞典条分法

52、简化Bishop法简化Janbu法Corps of Engineers #1Corps of Engineers #2Lowe-Karafiath法Spencer法Morgenstern-Price法 4.9 通用条分法(GLE法) GLEGLE法与其它条分法的法与其它条分法的-F-F关系曲线形态对比：关系曲线形态对比：计算方法评析简化Bishop法简化Janbu法Corps of Engineers #1Corps of Engineers #2Lowe-Karafiath法Spencer法Morgenstern-Price法GLE法4.10Sarma法4.10.1 提出背景4.10.2 基

53、本假设4.10.3 计算分析4.10.4 计算方法评析 4.10 Sarma法提出背景Sarma法于1973年由英国学者提出，该方法的提出者Sarma认为，一般边坡工程中，除非滑体是沿着一个理想的平面或者弧形面滑动，否则滑体必然会先破裂成多个可以相对滑动的块体，此类滑动为工程中常见的情况，据此进行假设的边界条件才更为合理。基本假设(1) 边坡问题为平面问题，即可取某一横剖面作为分析对象；(2) 边坡整体为均质材料，其抗剪强度服从摩尔-库伦准则；(3) 滑体为刚体，即不考虑滑动岩土体的变形；(4) 所有条块在滑动面上同时达到极限平衡状态，且滑动面上所有点的安全系数相同；(5) 同时考虑条间切向力

54、和法向力，并且两者之间满足类似强度准则的函数关系X=Etan+ch(h为条分面斜长)；(6) 各条块均承受假想的水平作用力KcWi，其中Kc为水平地震加速度系数；(7) 边坡安全系数F定义为条块之间及滑面岩土体强度同步折减的系数。 4.10 Sarma法计算分析第i个条块潜在滑面xy0abcdilibibiKcWiWiii+1SicXi+1ZiTiNidEiXiEi+1JiSi+1a条块竖直方向力平衡：条块底部水平方向力平衡：计算并循环迭代可得：极限平衡条件：1111cossincossincossinsiniiiiiiiiiiiiiiiNTXEWXEJ1111coscossincossinc

55、ossiniiiiiiiiciiiiiiiTEXJK WXENtanili iiiliTc lNUtanjjiisisiiXEc S1121121112()(nnnnnn ncnnnnn nnnEAA eAe enK pp epe enEe en第 项第 项）第 项 4.10 Sarma法一般情况下，第1条块左侧面总的法向力E1、第n条块右侧面总的法向力En+1均为0，此时：*121113 2121113 2nnnnnnnncnnnnnnnnAAeAe eAe ee eKppepe ep e ee e计算方法评析 SarmaSarma法同时考虑条间切向力和法向力，两者之间不仅法同时考虑条间切向

56、力和法向力，两者之间不仅满足类似强度准则的函数关系满足类似强度准则的函数关系X=EtanX=Etan+ +chch，还满足整体力，还满足整体力平衡和力矩平衡，力多边形闭合，该方法适用于任意形状的平衡和力矩平衡，力多边形闭合，该方法适用于任意形状的滑面。滑面。 SarmaSarma法可适用于非竖直条块和普遍意义上的块体稳定法可适用于非竖直条块和普遍意义上的块体稳定分析。当黏聚力为分析。当黏聚力为0 0或者是很小时，与其它方法一样，条间或者是很小时，与其它方法一样，条间切向力和法向力近似成正比关系；当黏聚力较大时，条间切切向力和法向力近似成正比关系；当黏聚力较大时，条间切向力和法向力非线性相关，可

57、能导致迭代计算收敛困难。向力和法向力非线性相关，可能导致迭代计算收敛困难。82.870751.7388284.573180.80370.408471.2895222.9864.11二维极限平衡条分法总结 4.11 二维极限平衡条分法总结 根据条间力的假设不同，以及满足的力或力矩平衡方程的不同，条分法主要分为两大类： (1) 非严格条分法：此类方法的求解方程只满足力平衡或者力矩平衡，主要包括瑞典条分法(Fellenius法)、简化Bishop法、简化Janbu法、Corps of Engineers法(#1、#2)、Lowe-Karafiath法及不平衡推力法。 (2) 严格条分法：此类方法的求解方程同时满足力平衡和力矩平衡，主要包括Spencer法、Morgenstern-Price法、通用条分法(GLE法)及Sarma法等。方法方法平衡条件平衡条件是否考虑条间法向力是否考虑条间法向力是否考虑条间切向力是否考虑条间切向力X/E的结果或的结果或X-E的关系的关系滑动面假定滑动面假定力矩平衡力矩平衡静力平衡静力平衡