第4章电路定理

1、第4章电路定理主要内容i .叠加定理，齐性定理；2 .替代定理；3 .戴维南定理、诺顿定理；4 .特勒根定理、互易定理。§ 4-1叠加定理1 .线性电路线性元件+独立电源= 线性电路独立电源是非线性单口元件，因其伏安特性曲线不是过原点的直线。独立电源是电路的输入，起着激励的作用，可使线性元件中出现电压和电 流（响应），并且响应与激励之间存在线性关系。a.齐次性：电路中只有一个激励；ijkj us, j 1,2,扩大a倍时，ij也将随之扩大a倍;齐次性Uj kj Us, j 1,2,当us扩大a倍时，Uj也将随之扩大a倍。b.相加性：电路中存在多个激励;ijuj"u'

2、 kj uS1S1k2j uS2'k2j uS2%j' hjiS1i S1h2h2i2us单独作用：21R R2Us, U1is2is2R1R1R2 小j 1,2,j 1,2,Ri ."RR .ii Q , Ui Qis单独作用：R1 R2Ri R2.' ." . .i 2 i2 i2 k11US k12iS '".Ui Ui Ui k2iUs k22ls1）每个支路电流或支路电压都是多个激励共同作用产生的结果；2）每一项只与一个激励成比例，其比例系数为该激励单独作用，其余激励 全部置零求出的比例系数；3）电流源置零时相当于开路，电

3、压源置零时相当于短路。2 .叠加定理miikiji j第k个电源单独作用，其余 电源置零k i线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。 叠加定理仅适用于线性电路，不适用于非线性电路； 叠加定理在线性电路分析中起着重要作用，线性电路中很多定理都与叠加定理有关； 运用叠加定理计算时，如果有多个电源，可分组置零，不必单个置零;例4-i :试用叠加定理求下图中Ix两个电源共同作序1。厂电压源年独作用F* 2A对耳沆源单独作用=-0.6-4II解：电路中含有受控源时，受控源要始终保留，单独作用只能是独立电源例4-2:电路如下图所示，求电压U3皎单湿作

4、用4月里鹿作用解：应用叠加定理，作i0V、4A单独作用的等效电路，则有.1 il106 41A,u310i114i216V. 2 il-21.6A ,i224 i1_222_2.4A,u310i1 4i225.6V(1)(2)U3 U3 U319.6V例4-3:电路如下图所示，试求电压+()1。/+ Oioru3 040八4H4A单独作用皿产 + _10匕6V共同作用解：根据叠加定理，分为电压源作用和电流源作用，则有i1(1)i1(2)U310 610 41.6A,u(1)u3 u0.4A,u31)10i1(1) 466)6 3.6 V(2) 3(2) 325.6 V3.6 25.6 29.2

5、 V元件的功率不等于各电源单独作用时在该元件上所产生的功率之和， 直 接用叠加定理计算功率将失去“交叉乘积”项，因功率 p不是电压 u或电 流i的线性函数； 电路中存在受控源时，应用叠加定理计算各分电路时，要始终把受控源 保留在各分电路中。 叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取得与原电路中的相同。取和时，应注意各分量前的“ +”§ 4-2替代定理1 .替代定理（置换定理）已知端口电压和电流值分别为和B ,则N1 （或N2）可以用一个电压为的电压源或用一个电流为 B的电流源置换，不影响N2 （或Ni）内部各支路电压、电流原有数值。a. P点：直线和直线的交点，电压为uR ,电流

6、为iR;b.直线 与直线 的交点仍为P点（电阻R用电压源uR替代）c.直线 与直线 的交点也是P点（电阻R用电流源iR替代）2 .替代定理的证明三个电路都具有唯一解（假设） 三个电路都满足相同的网络方程（KCL, KVL以及VAR）a.网络的有向图相同，按 KCL列写的电流方程和按 KVL列写的电压方 程必然相同；b.方框内（指Ni）的元件相同，特性方程相同，对 N2而言，原端口提供 了 u和i的一个约束（u A Bi ）,而电压源或电流源却提供了一个解答 u或 i （且电压源的电流或电流源的电压可为任意值）。因此，三个电路都满足相同的 网络方程。c.替代定理可推广到非线性电路，只要知道端口电

7、压或端口电流，就可以 用电压源和电流源进行置换。d.替代定理是非常有用的定理，在以后的定理证明中多次用到。当我们把 网络N分解为Ni和N2后，且求出了 Ni和N2的端口电压和端口电流后， 通过将Ni （或N2）用电压源或电流源置换，进而可求出 Ni和N2中各支路 电压和电流。例4-4:求下图所示电路中 Ui和 ,已知u 3V 01A解： 根据替代定理，可将3Q电阻连同左边网络用3的电流源置换，则U1(2/2) 1 1V再回到原电路中，可得2I U Ui 8 0, I (8 U Ui)/2 2A§4-3戴维南定理和诺顿定理一、戴维南定理1.戴维南定理线性含源单口网络 N,可等效为一个电

8、压源串联电阻支路，电压源电压等 于该网络 N的开路电压uoc,串联电阻Req等于该网络中所有独立源置为 零值时所得网络 No的等效电阻曲。若线性含源单口网络的端口电压U和电流i为非关联参考方向，则其VAR可表示为uUoc Reqi证明：根据替代定理，将M用电流源is i替代，再据叠加定理，端口处电压u和电流i可叠加得到(1)(2)u u u UocRab i(1)(2)i i i 0 is is因此，从网络N的两个端钮a, b来看，含源单口网络可等效为一个电压源 用联电阻的支路，其电压源电压为 uoc,串联电阻为Req。例4-5:试求下图中12k电阻的电流I。30,0112/|6k h 112

9、 12flI 4 1 训S1：求 UocmA24 VUocReq 121.5 mA4k 12k例4-6:求下图所示单口网络的VAR解：据戴维南定理，除12k电阻以外的部分可等效为电压源 Uoc与电阻Req的串联组合,'30 12 dI 18 10Uoc 12 12I又 Rab 6/12 4k, ReqRab4k解：该网络的VAR可表示为U U oc Req i»»»uocuoc uocuocsi -Z-R1(R2R3)RRisi(RiR2)R3is2RiR2RiR2s2 R3 U s3 (Ri R2)R3RiR2R3(Ri R2)Us3S2:ReqRab(

10、RiR2)/ R3(Ri R2)R3Ri R2 R3例4-7:试用戴维南定理求下图Rl的电流I解：S1.求uoc （断开Rl）uocuabuac ucbUsUsR4SUs(RR4R2R3)(R R2)(R3 R4)S2.求Req （将电压源置零）ReqRi / R2R3 / R4uoc例4-8:试说明：若含源单口网络的开路电压为uoc,短路电流为isc,则戴维南电路的等效电阻为UocD0cReqisc解：单口网络与等效电路的 VAR应一致'.' uocu oc U oc, isci scReqRequoci sc例4-9 :求下图所示电路的戴维南等效电路刍1X7IkA一 &am

11、p; _Lt5o,Oiorb解：Uoc(i 0.5i)R2Ri 1010b(R1 0.5R2)i 10i sc10R10.5R21500Uoc 10 工 1/150 scUoc和短路电流,通常采用先只要得到线性含源单口网络的两个数据，开路电压isc,即可确定戴维南等效电路；求含受控源的戴维南等效电路时，为了计及受控源的作用 算开路电压Uoc,再算短路电流isc的方法获得Req；求含受控源电路的等效电阻 Req时，也可采用§ 2-7中外加电压源求电流 和外加电流源求电压的一般方法来解决；对电路的某一元件感兴趣时（求其电压，电流，功率等）应用戴维南定 理会带来很大方便。求戴维南等效电路二

12、、诺顿定理诺顿定理：线性含源单口网络 N,可以等效为一个电流源并联电阻的组合， 电流源的电流等于该网络 N的短路电流iSC,并联电阻 Req等于该网络中所 有独立源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab。根据诺顿定理，线性含源单口网络的端口电压U和i为非关联参考方向时，则其VAR可表示为. ui isc Req 诺顿定理可由戴维南定理和等效电源定理推导出来； 只能等效为一个电流源的单口网络 (Req= 00或Geq= 0),只能用诺顿 定理等效，不能用戴维南定理等效；同理，只能等效为一个电压源的单口网络(Req= 0或Geq=),只能用戴维南定理等效，不能用诺顿定理等效。3Q电阻的电流I6G-I

13、 +V例4-10：用诺顿定理求下图所示电路中匕b22412S1 : isc 10 A解：63/652: Rab 3/6 2Req253: Iisc 10 4A3 Req3 211例4-11:求下图所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路，一端口内部有电1,解：S1 ：求 uoci2 ii ic 1.75ii,又 5k ii 20k i240(5k 1.75 20k) ii 40ii 1 mA, Uoc 35 VS2:求 iscii 40/5k 8mA, isc ii ic 1.75 ii 14mA uocReoc 35V/14mA 2.5keqS3:isc、最大功率传递定理最大功率匹配I _*

14、r '1uoc 、2ReqR )p i2Rdp 2ReqR CUoc 2 0令dRL(ReqRl)RlReqd2p dR2, pmax 或2U oc4Reqi2 R1 sc eq2Uoc8R3qf(RL)p有极值p取得极大值用戴维南等效电路用诺顿等效电路最大功率传递定理：由线性单口网络传递给可变负载Rl的功率为最大的条件是：负载Rl应与戴维南(或诺顿)等效电阻相等。单口网络和它的等效电路，就其内部功率而言是不等效的，由等效电阻Req算得的功率一般不等于网络内部消耗的功率，因此，实际上当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是50% 例4-12:求下图中R为何值时能从电路中获得最大功率？

15、Uoc=4V, Req=20k,解：可求出:p max故0.2mW§ 4-4 特勒根定理(Tellegen ' Theorem )一、特勒根定理1对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和电压取关 联参考方向，并令(i1, i2，ib)、( U1 , U2 ,，Ub )分别为 b条支路的电 流和电压，则对任何时间 t,有bUk ik 0k 16Ukik u3 U2i2 U3i3 U4i4 /is 见16 k 1Uni il(Uni Un2)i2(4263*3(/143*4 Un2 isUn3 ieUn1 (i1i2i4 ) Un2 (i 2 i3i5 )Un3 (

16、 i3 i 4 i 6)0说明过程中，只根据电路的拓扑结构和KCL、KVL,并不涉及元件的性质，适用于线性、非线性和时变元件的集总电路。定理实际上是功率守恒的数学表达式，表明任何一个电路的全部支路吸 收的功率之和恒等于零。二、特勒根定理2两个不同网络(具有n个结点和 b条支路)，其拓扑结构相同(图完 全相同)，支路和结点编号、参考方向相同，并分别用(ii, i2,，ib )、( Ui,U2,，Ub )和(i1, i2,流和电压，则对任何时间说明：上图中可有t,有bU?k ik和 k 1? ? i? 0?3?50i?4?60ib ）、心，u?2, Ub）表示两者的b条支路的电6Uki?Uni(i

17、? i2 心 Un2(i?2i?3?5) Un3( i?3i44)0同理可得k 1 定理2说明了两个拓扑结构相同的电路，一个电路的支路电压和另一个 电路的支路电流之间必然遵循的数学关系； 定理2也说明了同一电路不同时刻的相应支路电压和电流应满足的数学 关系；定理2不能用功率守恒来解释，有时又称为“拟功率定理”。§ 4-5互易定理对一个仅含线性电阻的电路（不含任何独立电源和受控源），在单一激励的 情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。一、互易定理第一形式响应：短路电流22+蕈u (N激励：电压源 usU1 ?U2 i?U? i1U2 i2bUk ?k 3b1 i

18、 kk 3UkU?kR«U1 I?U2 i?2U?1 i1U?2 i2又因 U1 US, U20, I? 0,U?2U?SUs ii u?s i 2i2 i?Us若U?sUs ,则 i2?例4-13:试求下图所示电路中电流i。口 夕解：根据互易定理第一形式，则有Usr r1 / r2七）本题若不利用互易定理，很难直接从原图中得出结果!二、互易定理第二形式1 nAL.l激励：电流源is响应bUii? U2 i2u/20, Uk Rk ikk 3bU?1 ii1?2 i2u?k ik 0,u?kRk i?k 3Ui ? U2 12& ii U?2 i2八I e：开路电压又因 ii is, i20, ii0,修 iS1(iS)&( is) U2 iSU?i isisU2is若?sis, 则 u2 a三、互易定理第三形式bUi ? U2 Uki?0,k 3 bU1 i1u2 i2uk i k 0,k 3UkRk ikUkRk ikUi i? U2 ?U? iiU?2 i2又因 ii is, U20, i? 0, U?2USUi ( is) Us i2i2%s若数值上有isU?s,则有i2U?i例4-i4:由线性电阻元件构成的二端口网络，当输入端口接 us= i0V电压