数字滤波器的设计

1、 数字滤波器的参数指标 从模拟滤波器设计IIR数字滤波器 冲激响应不变法 双线性变换变法 数字滤波器的频率变换 FIR 滤波器: DT滤波器的直接设计 加窗法 频率采样法 FIR数字滤波器的优化设计 最佳等波纹近似法 ( FIR 的CAD设计)第七章第七章 数字滤波器的设计数字滤波器的设计主要内容：主要内容：7.1 7.1 引言引言l滤波器定义：滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。滤波器也可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。l滤波器分类：模拟滤波器、采样滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可以是由RLC构成的无源滤波器，也可以是加上运放的有源滤波

2、器，是连续时间系统；采样滤波器由电阻、电容、电荷转移器件、运放等组成，属于离散时间系统，幅度连续；数字滤波器由加法器、乘法器、存储延迟单元、时钟脉冲发生器和逻辑单元等数字电路构成，精度高，稳定性好，不存在阻抗匹配问题，可以时分复用。 引言引言(1)(1)l数字滤波器性能指标一般滤波器的性能指标是以频率响应的幅度响应特性的允许误差来表征： (a) 来自于待设计DT滤波器对应的连续时间滤波器ws(b)直接来自于待设计的DT滤波器。理想低通滤波器的参数指标：（1) 通带截止频率（2) 阻带起始频率 （3) 最大通带波纹 或通带最大衰减（4) 最大阻带波纹 或阻带最小衰减pw12ps 引言引言(2)(

3、2)理想低通滤波器的幅频特性)(wjeHcw11121()1 () jpjsH eH ewwwwww )1lg(20)(lg20)()(lg2010ppjwjwjpeHeHeHsjwjwjssseHeHeHlg20)(lg20)()(lg200这是数字指标，若给定模拟指标需要转换成数字指标对数形式的幅度响应（in dB) 引言引言(3)(3) 引言引言(4)(4)数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程，一般要经如下步骤： 1、根据任务，确定性能指标。 2、用因果稳定的线性移不变离散系统函数去逼近。 3、用有限精度算法实现这个系统函数。 4、利用适当的软、硬件技术实现。l数字滤波器设计步骤

4、： 引言引言(5)(5)l数字滤波器设计方法1.直接设计； 累试； 极点，峰值；零点，谷值 时域、频域（FIR滤波器的设计）； 最优化；要求设计的滤波器初始逼近误差计算重新调整滤波器参数是否符合要求输出参数否是最最优优化化过过程程示示意意图图误误差差计计算算方方法法有有最最优优化化原原则则所所决决定定；参参数数的的调调整整方方法法也也与与此此有有关关； 引言引言(6)(6)2. 间接设计； IIR滤波器的设计模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程数数字字滤滤波波器器的的性性能能指指标标模模拟拟低低通通原原型型（归归一一化化的的模模拟拟低低通通滤滤波波器器）模模拟拟频频

5、率率变变换换（低低通通原原型型低低通通、带带通通、带带阻阻、高高通通）数数字字化化数数字字化化（数数字字低低通通原原型型）数数字字频频率率变变换换（低低通通原原型型低低通通、带带通通、带带阻阻、高高通通）H H( (z z) )H Ha a( (s s) )H Hp p( (s s) )H Hp p( (s s) )H Hp p( (z z) ) 7.2 7.2 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(1) DT specs(2) CT specs(3)(4) 转换法IIR 滤波器设计的基本步骤： 典型模拟滤波器（典型模拟滤波器（1)1)一、幅度平方函数模拟滤波器的传递函数；性能指标 |Ha(j)|2

6、Ha(s) 频率响应的奇偶性质:频率响应： )()()(jejHjH)(arg)(jH)( jH 是 的偶函数:在因果系统中，)()()sin()cos()()()(00jQPdttjtthdtethjHtj)(p)(Q式中 是的偶函数， 是 的奇函数。 )()()(22QpjH(2p)(2Q)( jH）和都是的偶函数，故是的偶函数 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(2)(2)()()()( )( )()HjpjQpjQHj 2()()()()()HjH jH jHjH j 22()( )( )( )|sjsjH jH sHsH s )()(argjH 是是 的奇函数。的奇函数。)()()(arg

7、)()()()()()(1)(arg22pQtgjHeQpjQpjHjHj 因为 )(),( Qp分别为奇偶函数。 所以， )()(pQ是奇函数， 而奇函数的反正切函 数也是奇函数。因此， )(argjH是奇函数。 222()( ). . ( )( )()ajsaaHjA sieA sHs Hs A2(s)零、极点的分布规律： 1）象限对称； 2）共轭对称；A2(s)的零、极点关于j 轴对称分布 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(3)(3)零、极点的分配零、极点的分配 H Ha a(s)(s) 的构造的构造1. 稳定且因果； 将左半平面的极点作为Ha(s) 极点；2. 最小相位； 将左半平面的零点

8、作为Ha(s) 零点； 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(4)(4)二、模拟低通原型滤波器巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为：221()1 ()aNcHj特点：(1) 1)(02jHa707. 0)(2cjHa即通带最大衰减为dB31(2)对所有N，所有曲线都经过该点，称为3dB不变性2(3) ()aHj是的 单 调 减 函 数2,()aNHj (4) 为趋于理想的低通滤波器2 ()aHj(5) 在 0处各阶导数存在且为0，这点是的最大值（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）巴特沃思低通滤波器的平方幅度响应 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(5)(5)（一）巴特沃思低通滤波器（ But

9、terworth） 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(6)(6)（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）2)( jHaNc2)(11)(sHa2/21()( )()1 ()aaas jNcHjHs Hssj)()(sHsHaa的极点：221/2121()221 ()0()1 ( 1),1,2,2NNNkccckjNcsssjjjekN 例如：1 , 0,2 , 1,) 1(2)12(2)12(2322/1kekeeejkjkjjj或者或由由求求 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(7)(7)（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）极点特点：C(1) 2N极点分布在半径为的圆上，从

10、w=开始，2N 共个极点，每个极点间隔为 w= /N(2)rad极点间的角度间隔为，但第一个极点不是从0开始N( )aHs(3)为稳定系统，极点不能落在虚轴上,极点在S左半平面121()?22kmmN(4)判断在实轴上有无极点只需看：与是否相等为整数N为奇数，N+2K-1存在2N的整数倍，实轴上有极点N为偶数，N+2K-1为奇数，实轴上没有极点极点分布图 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(8)(8)（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth） 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(9)(9)（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）由极点求Ha(s)传递函数：( )()( )aaaHs

11、HsHsN 的左半平面的极点即为的极点，个数为 ：极点分别是：121()22,1,2,kjNkcSekN 200011()1()1( )|1,0)( )()aaasjNNNkCNCaNkkHjHjHsssHsss kk又时,(s-s 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(10)(10)（一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth）设计过程：1）将已知的数字指标转换成模拟性能指标得 ，2）对 进行归一化求得：3) 计算滤波器阶数N，4) 计算极点或查表得Ha(P) 5）计算或反归一化 H(s) ；sp ,p不变sp,spsp, 1cPSPN 的计算221( )10lg10lg 1()NcH j 2

12、2 10lg 1 , 10lg 1NNpspscc0.110.11101 ) 101lgN=lg()pspNspskk（c 的计算cpswith N, to compute based on or 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(11)(11)(二）切比雪夫滤波器AminAmax通带内等波纹波动阻带内幅度特性单调下降sc0H(j)特点：(1)通带内等波纹波动；(2)阻带内幅值单调下降 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(12)(12)2 表示 |H(j)|的波动范围1( )coscos, 1NCxNxx1( ),1NCxch Nch x x2221()1()NcH jC幅度平方函数切比雪夫多项式：对应

13、通带对应阻带 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(13)(13)1101( )2( )( ) ( )1, ( )NNNCxxCxCxxCxC xx1) N 阶多项式；2) 连续；3) xN 项系数为2N-1另外：1）N为偶数时， 为偶函数；2）N为奇数时， 为奇函数；第一类Chebyshev多项式切比雪夫多项式：( )NCx( )NCx 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(14)(14)|H(j)|的特点：1）无论N为何值，经过21(, )1c2）通带内等波纹，均方误差最小；通带外单调下降，下降速度高于同阶的 Butterworth滤波器；3）2, ( 0)1;1, ( 0)1NoddH jNevenH

14、j 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(15)(15)Ha2 2(s)(s) H Ha a(s)(s) , sjsj 令或2221( )( )() 1()NcA sH s HssCj11cc, 1,.,221sin()11112 a=(), ()21cos()2kkkkkSjkNkaNshshbchshkNNbN cc, 1,.,221sin()221cos()2kkkkkSjkNkNkN 1）2N个极点分布在椭圆上；2）对称性；3）两者关系； 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(16)(16)H Ha a(s)(s)，归一化及制表21coefficient of 11112( ) ( )()()NNcN

15、saaNNkkkkAHsHsssss 1111111122( ) ( )()()cNsucNNaNNkkkkcHsH usssu ( )akcHsNs求解的条件：， ， ， 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(17)(17)1）性能指标 N , ；2）计算极点或查表 H(s) ；3）计算或反归一化 Ha(s) ；sspp,性能指标： 0.12210.111110lg 1()()1011(101)()sNssssccscCch NchchNch210lg 1p0.12101p 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(18)(18)查表法：查表法：(1)归一化， sp,(2)查表法，确定滤波器的阶数 N sp,(

16、3)查表，得 (4)查表，得H（P）分母多项式的因式形式， nkkpp1)(，求得H（P） (5)求 psppHsH)()( 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(19)(19) 技术要求： dBkHzdBkHzsspp30),10(2,3),5(2例题： (1)归一化 2, 1sp(2)查图得 N=4；(3)查表得 9953623. 02(4)查表得H（P）的分母多项式)411239. 0195980. 0)(170341. 0903087. 0(125297. 0)(22pppppH(5)求H（S）24824817)10(2918. 1)10(9344. 1)10(5350. 0)10(9132.

17、 8)10(13969. 1)()(sssspHsHPspfT22 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(20)(20) 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(21)(21) 典型模拟滤波器典型模拟滤波器(22)(22)7.3 7.3 模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化1. 冲击响应不变法（时域）2. 双线性变换（频域）注意：性能指标的转换方法必须与数字化方法相对应（一）冲击响应不变法（时域）数字性能指标 模拟滤波器的性能指标； （w = T）0ha(t)h(n)取样取样x(t)ha(t)y(t)x(t)y(t)x(nT)y(nT)x(n)=x(nT)h(n)=Th(nT)y(n)=y(nT)0

18、TTT0ttt模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（1)1)在任一个离散时间点 nT，两个系统是否具有相同的输出？00( )( )( )()( )()()aaky tx th tx thdax tkT h kT T模拟系统0( )() ()aat nTky tTh kT x nTkT数字系统 ( )( )|() 0,1,.,at nTalet h nTh tTh nTn00( )( )* ( )( ) ()() ()akky nh nx nh k x nkTh kT x nTkT时域瞬态特征相近 频率特征相近？模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（2)2)频域分析xa(t) 取样 xa(nT) nsa

19、anXTX)(1)(Ts2而 ( )()()j TjaXX eX ew njnjenxeXww)()(nTjnTjenxeX)()(2sfwTf ha(t) Ha() 取样 Tha(nT) 00()()( )jn TjnasannnHnTh nT eh n ew ()()TjwasnTH eHnww 模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（3)3)步骤： 1）对已知的Ha(s) 进行拉氏反变换，求得ha(t)； 2）对ha(t) 进行取样，得ha(nT)；3）令h(n)=T ha(nT)，以求得h(n)； 4）对h(n) 进行Z 变换，得H（Z）。即： 1( ) ( )()anH ZZ T LHst

20、nT( )()( )( )ah nThnTaHsH z 模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（4)4)单阶极点：单阶极点： 模拟滤波器的系统函数可表示为： NipiMiqiNiiiMiiiaSSSSASbSaSH1100)()()(而且，一般M0时，r1，即S平面右半平面映射到Z平面的单位圆之外；3）当0时，r1，即S平面左半平面映射到Z平面的单位圆之内；S S平面与平面与Z Z平面之间的映射关系：平面之间的映射关系： STZeTerTw,S平面上 TT映射为 Z 平面上 - 在S平面上，任何一个宽度为（2/T）的水平带，映射为一Z平面； H(ej)为周期函数；模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（8

21、)8)模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（9)9)小结：小结：1）根据 h(n) =T ha(nT) 从时域完成数字化设计，DF和AF之间具有相近似时域瞬态特征；2）数字频率 和模拟滤波器频率之间的关系为 =T，即两者间呈线性关系；5）当Ha()不严格限带，或ha(t) 变化不太平稳（在阻带内存在振荡，例如Chebyshev II 滤波器），而设计性能要求又高时，则不宜采用此法。另外，此方法不能直接设计高通、带阻滤波器。3）延拓相加与混叠；4)用该方法设计出的数字滤波器在 附近的频率响应会不同程度的偏离模拟滤波器在 附近的频率响应。因此要求模拟滤波器是一个带限滤波器，而实际的频响不可能真正带限。

22、只要在折叠频率 以上频响衰减加快，用该方法设计出的DF可以较好地满足要求。TwT模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（10)10)(二）、双线性变换法原理原理: :冲激响应不变法存在混迭问题;双线性变换主要目的: 从根本上解决混叠问题.具体方法:S平面Z平面S1 平面/T-/TIm(z)Re(z)j1j011) 从S平面到S1平面的映射;2) 从S1平面到Z平面的映射;1()2TAtg 1Tw AF的Ha(s) 表示为：00( )MiiiaNiiia sHsbs令 M = N，则：00( )Ni NiiaNi Niia sHsbs时域分析时域分析: :再令j = N-i，则：000001( )1j

23、NNjjjNjjj NjjaNNjjjNjjjj Njjasc sc sHsAbsd sd s因此，AF的基本单元是积分器 s-1，而利用某种数字网络代替此单元，就可把AF转变为相应的DF. 模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（11)11)模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（12)12)设： ssHI1)(则： 0, 00, 1)()(1t t sHLthII设输入信号为Xa(t) 则输出为：tIaadthxty0)()()(设有0t10，右半平面r1，单位圆外=0，虚轴r=1，单位圆0，左半平面r1，单位圆内令=0，得: 122Ttgw当 由 由 - 到 变化模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（1

24、5)15)利用双线性变换，把 651)(2ssssHa转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 1例题:121121112111122 . 0105. 01 . 015. 04202361125111112| )()(11211zzzzzzzzzzsHzHzzzzTsa模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（16)16)频率失真22wtgT数字频率 和模拟频率 间的非线性关系:1) 当很小时，=（2/T）tg(/2) 的非线性不很突出，可作为线性看待 2) 当较大时，非线性非常突出; 性能指标的转化（预畸变）1）转化方法；22wtgT2）转化方法与数字化方法相对应；模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（

25、17)17)1). DF的性能指标： s、p、Rp 和 Rs；22wtgT2).根据转换性能指标，求得相应的s、p（预畸变）；3).根据s、p、Rp、Rs 设计模拟低通滤波器原型 得到 AF 的系统函数Ha(s)4).利用双线性变换得到数字滤波器的传输函数，即：11112| )()(zzTsasHzH双线性变化的应用：模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（18)18)设有一数字系统，它的取样频率fs=2000Hz，设计一个一阶低通数字滤波器， 使其通带中允许的最大衰减为p = 3db，通带的上限频率fp=400Hz。例题：例题：解： 1）指标转化（预畸变）22pppsTf Tffw )(4 . 0

26、400200022radffpspw)/(290822sradtgTppwHzfTs2000112）一阶巴特沃思低通AF的归一化的系统函数G(p)为：ppG11)(psp所以： 2908290811)(sssGp3）数字化1583. 0) 1(421. 0| )()(11112zzsGzHzzTs模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化（19)19)缺点：非线性的频率变换将导致幅频特性和相频特性的失真；优点：1）无混叠；在窄带内能近似保持原幅频特性；2) 因S与Z之间有简单的代数关系，故数字化过程较冲激响应不变法简单；3) 较冲激响应不变法而言，适用范围更广； 总结：7.4 7.4 从模拟滤波器设计从

27、模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器（数字滤波器（1)1)各种数字滤波器的设计各种数字滤波器的设计1. 数字低通滤波器设计2. 数字高通滤波器设计3. 数字带通滤波器设计4. 数字带阻滤波器设计从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器（数字滤波器（2)2)低通高通带通带阻从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器（数字滤波器（3)3)(一）数字低通滤波器设计 设计理论参见前面的模拟滤波器设计、冲击响应不变法、双线性变换法例题：巴特沃思滤波器阶次的计算公式：由N=2，可求得系统函数：从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器（数字滤波器（4)4)spslg110110lg1010N=22223249. 04595. 03249. 0| )()(121)(sspGsGpppGpsp从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器（数字滤波器（5)5)响应特性曲线实线：数字滤波器虚线：中间模拟滤波器数字滤波器的性能比中间模拟滤波器性能更好。两条曲线不完全相同，原因是它们之间的非线性变换引起。2)2tan(sTw2121114128. 0143. 1106745. 01349. 006745. 0| )()()()3(zzzzsGzHzHsGzzs求（由从模拟滤波器设计从模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波