大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案

1、大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答奉第6章真空中的静电场习题及答案1 .电荷为“和-2g的两个点电荷分别置于x = lni和x =处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只 有试验电荷/位于点电荷+g的右侧，它受到的合力才可能为。，所以2qq。 _ qq。4 兀 4 （x +1）24兀4 （x -1）2故x=3+2后2 .电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问： 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平 衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）？这种平衡与三角 形的边长有无关

2、系?解：（1）以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，/为负电荷，所以122cos300 =4 兀 4 cr1 qq4兀与八回、2（）（2）与三角形边长无关。3.如图所示，半径为R、电荷线密度为4的一个均匀带电圆环，在其 轴线上放一长为/、电荷线密度为4的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 dq = %dl,囱在带电圆环轴线上X处产生的场强大小为dE =根据电荷分布的对称性知，E、=E.=4dEx = dEcosO =1 xdq4%（/+夫2）%式中：e为回到场点的连线与x轴负向的夹角。Ex= 4在0X4在o

3、 （x2 +斤）% 2%（ v2 +*）%下面求直线段受到的电场力。在直线段上取礴=4八，阳受到的电场力大 小为dF = Exdq =述-dx2引（/+r2）/方向沿戈轴正方向。直线段受到的电场力大小为（储+/）%dx42)R .一2题1 1万一 d+R2)”2方向沿戈轴正方向。4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为4。求:（1）圆心处。点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处。点场强。解：（1）在半圆环上取回=/1印=/&便，它在。点产生场强大小为dE =j，蹿，方向沿半径向外 4兀/ R- 4加近一根据电荷分布的对称性知，& =0dEv = dEsin

4、 (p =sin(pd(pv4-REv =sin(pcl(p ='J。4 兀2 兀故E = E,=，,方向沿x轴正向。2兀1R（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强度为零。5.如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为小试求 在直杆延长线上距杆的一端距离为4的P点的电场强度。解:建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取囱感在P点 产生的场强大小为dE =dq Adx4宓故尸点场强大小为J Jd4 在 0-方向沿X轴负方向。4 兀+ L）方向沿X轴负方向。3 / 99大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答奉6. 一半径为R的均匀带电半球而，其电荷

5、面密度为求球心处电场 强度的大小。解：建立图示坐标系。将均匀带电半球而看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。在半球面上取宽度为的细圆环，其带电量6 / 99dq = o , dS = b , 2m = b 2成？ sin OclO , dq 在 O 点、产 生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线 上的场强公式）dE =坐方向沿x轴负方向4 在o（Y利用几何关系，x = Rcos。，r = Rsin。统一积分 变量，得dE =xdq 4能o（+/）/1 RcqsO 八 c，.八，八 ；b2成-sm&ie 4底。炉= sing cos a/e 2%因为所有的细圆环在在。点产生的场

6、强方向均沿为x轴负方向，所以球心处 电场强度的大小为pb 卬2（7E = dE = sin 0 cos 3cl0 = J2% J。4%方向沿x轴负方向。7. 一 “无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电, 电荷面密度为0,如图所示。试求通过小孔中心。并与平而垂直的直线上各 点的场强。解：应用补偿法和场强叠加原理求解。若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的 带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为k = -b 的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，尸点的场强等效于“无限大” 带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。“无限大”带电平面

7、在尸点产生的场强大小为用=；-,方向沿x轴正方向半径为R、电荷面密度b = p的圆盘在尸点产生的场强大小为（参见教材 中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）之）'方向沿、轴负方向故P点的场强大小为£ = £,-£,=6= 1£R +X1 方向沿X轴正方向。8. （1）点电荷q位于一边长为。的立方体中心，试求在该点电荷电场中 穿过立方体的一个面的电场强度通量；（2）如果该场源点电荷移动到该立方 体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少？解:（1）由高斯定理1后75=£求解。立方体六个面，当乡在立方体中 心时，每个面上电通量相等，所

8、以加过各面电通量为（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2的正方形各面的电通量，=工6%对于边长。的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则我=如果 24%它包含q所在顶点，则我=0。9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为3和外，试求空间各处场强。一 6解：如图所示，电荷面密度为3的平面产生|、的场强大小为E =”，方向垂直于该平面指向外侧瓦电荷面密度为6的平面产生的场强大小为一一E = J 方向垂直于该平面指向外侧2%由场强叠加原理得两面之间，E=耳-七=/-（?-%）,方向垂直于平面向右CT1面左侧,E = E +石,=（C

9、F +6）,方向垂直于平面向左2%6面右侧，E = E+E, = L（b1 +b,）,方向垂直于平面向右'- 2%-10 .如图所示，一球壳体的内外半径分别为叫和心，电荷均匀地分布 在壳体内，电荷体密度为P（p>0）o试求各区域的电场强度分布。解：电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理博得E 4加二= %当r <4时，%j = 0 ,所以E = 0当凡</<&时，%=（，3，*）,所以 当r>用时，%=尾叫3，*）,所以E（R；-R-）3犷11 .有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为&和&（&>

10、&）, 若大球面的面电荷密度为。，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球 面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。解：（1）电场具有球对称分布，以，为半径作同心球面为高斯面。由高 斯定理拄，店= ,2%得%E-4m二=Zty.当厂>/?2时，石=0，%=cr4+/4成J =0,所以5 = 一（2）%叫（2）当rv与时，Yq, = 0 ,所以E = 0当与vrv&时，%=，-4成；=YmR；,月f以 负号表示场强方向沿径向指向球心。12 . 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密 度为P，求板内外的场强。解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面

11、为高斯面，圆柱面与 平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为一底面圆的面积为AS。由 高斯定理好加=工工/得*0r _1£eJS= EAS + EAS+0 = %当时（平板内部），必=p,2xS ,所以大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答奉E*%(平板外部)，= p d ,曲,所以e=m2%13.分布。半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为0,求其场强解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯而，圆柱面高 为/,底面圆半径为一 应用高斯定理求解。ES = E-2nrl=Yq,金4当YH时，£/=夕m2,所以E ="2%(2)当 时，Ejj = p

12、. *I ,所以E金2%r14 .一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为。，设无穷远处为电势 零点，求圆盘中心。点的电势。解：取半径为广、力的细圆环感=0?/5 = .2加4/，则”夕在。点产生的电 势为=迫4 宓 2%圆盘中心。点的电势为V = dV = , -dr = J J。2%2%15 .真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为/。两圆环均匀带电， 电荷线密度分别是十几和-X。取两环的轴线为工轴，坐标原点。离两环中心 的距离均为如图所示。求工轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。2解：在右边带电圆环上取阳，它在工轴上任一点P产生的的电势为dV =4您()J(x- 2)2+产dq匕力&q

13、uot;=4宏。而F获2R右边带电圆环在P产生的的电势为2G1/2)2 +R同理，左边带电圆环在P产生的电势为V = 一/._ 2q）yl（x + l/2）2+R2由电势叠加原理知，户的电势为V=V+V = （1_ .1）2。1（1/2）2+1 展 + 1/2）2 +R?16 .真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为p的正 电荷，该区域内4点离球心的距离为1r, 点离球心的距离为2r。求h 33两点间的电势差Ur,解：电场分布具有轴对称性，以。为球心、作半径为一的同心球面为高 斯面。由高斯定理卢.，店得当/</?时，E-4r2 = p'm ',所以 3E*3%

14、两点间的电势差为17 .细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为。和 3，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。 求：（1）内圆柱面上单位长度所带的电量;（2）在离轴线距离”加处的电场强度大小。解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱 面高为/,底面圆半径为，应用高斯定理求解。jE-dS = E2nrl =Y.qt£。内、外两圆柱面之间，川，所以E = -2在0r内、外两圆柱面之间的电势差为U = a E 'dr = I>。-dr = In 3Ja" 2庙02叫内圆柱面上单位长度所带的电量为22二（“

15、ln3（2）将几代人场强大小的表达式得，公总 在离轴线距离,=为处的电场强度大小为18 .如图所不，在A, 8两点处放有电量分别为+g,的点电荷，A3间 距离为27?,现将另一正试验点电荷劭从。点经过半圆弧移到C点，求移动 过程中电场力作的功。解：。点的电势为Vo=+ = 0 4兀£(/4兀%/?。点的电势为v _ q t - q _ q (4兀43/? 4tis0R6 兀4R电场力作的功为%。6兀R19 .如图所示，均匀带电的细圆环半径为A,所带电量为。（。）,圆环的圆心为。，一质量为?，带电量为q （夕 。）的粒子位于圆环轴线上 的尸点处，尸点离。点的距离为求：（1）粒子所受的电场力尸的大小和方向；（2）该带电粒子在电场力尸的作用下从P点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无穷远处时的速度为多大？解：（1）均