结构力学6位移法

1、河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 主编：文国治 副主编：陈名弟土木工程指导性专业规范系列教材 出版社河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 掌握位移法的基本原理和方法掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动作用下的内力；用典型方程法计算超静定结构在

2、支座移动作用下的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力。掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力。 位移法的基本未知量位移法的基本未知量；杆件的转角杆件的转角位移方程位移方程；用典型方程法和直接平衡法；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程建立位移法方程；用典型方程法用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定结构在荷载作用下的内力。对位移法方程的物理意义以及方程对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 本章小结本章小

3、结 6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程6-3 6-3 位移法的基本概念位移法的基本概念6-4 6-4 位移法的典型方程位移法的典型方程6-6 6-6 用位移法计算超静定结用位移法计算超静定结 构在支座移动时的内力构在支座移动时的内力6-7 6-7 直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程6-5 6-5 用用位移法计算位移法计算超静定结超静定结 构在荷载作用下的内力构在荷载作用下的内力河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形

4、之间对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移根据位移变变形形内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆件变形件变形，据此以，据此以寻求内力分布寻求内力分布。 位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述。位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述。关注的关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响。 位移法是计算超静定结构的另一种基本的方法。当结位移法是计算超静定结构的另一种基本的方法。当结构的

5、超静定次数较高时，用力法计算比较繁琐。而位移法构的超静定次数较高时，用力法计算比较繁琐。而位移法则是则是以独立的结点位移为基本未知量以独立的结点位移为基本未知量，未知量个数与超静，未知量个数与超静定次数无关，故对于一些高次超静定结构用位移法计算比定次数无关，故对于一些高次超静定结构用位移法计算比较简便。本章主要介绍位移法的原理、方法及其应用。较简便。本章主要介绍位移法的原理、方法及其应用。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 AAAqBDCABAAAAACAADqA 简化假定：简化假定：不考虑各杆件的轴向不考虑各杆件的轴向变形；不计弯曲

6、引起的杆端接近变形；不计弯曲引起的杆端接近。BAABABBMABFNABABQFAP3FBFP2P3FP1FABAMBANFFQBAABAFP3BBBABAlAB2BB1A1AA11BB2A11BB2分析刚架中分析刚架中ABAB杆：杆：位移法要解决的三个问题：位移法要解决的三个问题： 选取结构上哪些选取结构上哪些结点位结点位移作为基本未知量移作为基本未知量。确定杆件的确定杆件的杆端内力与杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间杆端位移及杆上荷载之间的函数关系的函数关系( (单元分析单元分析) )。建立求解基本未知量的建立求解基本未知量的位移法方程位移法方程( (整体分析整体分析) )。 对图示结构来说

7、，求解关键是如何对图示结构来说，求解关键是如何确定基本未知量确定基本未知量A A的值。的值。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程程，也就是位移法计算中单元分析的过程。可，也就是位移法计算中单元分析的过程。可查形载常数表查形载常数表确定。确定。1 1）杆端内力的正负号规定）杆端内力的正负号规定 杆端弯矩对杆端杆端弯矩对杆端

8、而言，以而言，以顺时针方向为正顺时针方向为正，反之为负，反之为负;对结点或支座而言，则以逆时针方向为正对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。，反之为负。 杆端剪力和杆端轴力正负号规定，仍与前面规定相同杆端剪力和杆端轴力正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI, l弦转角BABABABMMBAABEI, l弦转角BAB2 2）杆端位移的正负号规定）杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。角位移以顺时针为正，反之为负。 线位移对杆件顺时针方向转动为正，反之为负线位移对杆件顺时针方向转动为正，反之为负。例如，图中，例如，图中，AB为正。为正。 河南理工大学万方科技学

9、院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 2BB11A2BB11AAABBBBP3FAABBAQFFNBAMBAFP3AFQABABNFABM 位移法中内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移法中内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移的影响。在计算中一般利用一个位移的影响。在计算中一般利用一个来来描述体系中的一般杆件，描述体系中的一般杆件，杆端位移杆端位移即可即可以以根据该杆单元的根据该杆单元的支座位移来表达支座位移来表达。 由由，列入，列入表表6.16.1中。表中引入记号中。表中引入记号。 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力

10、学 第六章第六章 位移法位移法 BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1利用表利用表6.16.1中的形常数与载常数，可得中的形常数与载常数，可得FBABABAFABBAABFBABABAFABBAABFlililiFFlililiFMliiiMMliiiMQ2QQ2Q12661266642624 由由。其中的杆端。其中的杆端弯矩也常称为弯矩也常称为，用，用 和和 表示；杆端剪力也常称表示；杆端剪力也常称为为，用，用 和和 表示。常见荷载和温度作用下的表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表载常数列入表6.16.1中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ一般等截面

11、直杆杆单元的转角位移方程：一般等截面直杆杆单元的转角位移方程：（6.1） 集中力偶以顺时针为正，反之为负；集中力和分布荷载以向集中力偶以顺时针为正，反之为负；集中力和分布荷载以向下为正，反之为负。下为正，反之为负。 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 若结构中存在非刚性结点和非固定支座若结构中存在非刚性结点和非固定支座,即体系有即体系有(对应于支座位置，则为对应于支座位置，则为),在杆端力几个分量中出现某杆端力分量为已知的现象。在杆端力几个分量中出现某杆端力分量为已知的现象。ABCD 即在这样的单元中，式（即在这样的单元中，式（6.1

12、6.1）的三个函数关系将不再完全）的三个函数关系将不再完全独立，由于其中独立，由于其中，则杆端位移，则杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，剩余的另一个杆中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。 由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端约束模式，在

13、计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了的基础上衍生出了。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 1) 1) 一端固定另一端铰支杆单元一端固定另一端铰支杆单元AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1BFBAABAFABAABBAFABAABFliliFFliliFMMliiMQ2QQ2Q33330330QQQBAFABABFBABABAFABBAABFFFMiiMMiiM2) 2) 一

14、端固定另一端定向支承杆单元一端固定另一端定向支承杆单元ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 在在3 3种杆单元模型中，第一种即种杆单元模型中，第一种即，它完全可以取代后两种衍，它完全可以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用的计算

15、方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。 一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这两种衍生模型可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这两种衍生模型来进行计算。但应该来进行计算。但应该。杆端剪力转角位移方程杆端剪力转角位移方程可由平衡条件导出为：可由平衡条件导出为：0QQ0QQ)()(BABAABBAABBAABABFlMMFFlMMF河南理工大学万方科技学院河南理

16、工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移均已知则全部杆件内力即可确定。位移法中，基本未知量应是均已知则全部杆件内力即可确定。位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移之和。各结构的角位移和线位移之和。 lynnn1) 1) 结点角位移的确定结点角位移的确定 未知的未知的独立结点角位移对应体系中的刚结点独立结点角位移对应体系中的刚结点，若，若有阶形杆有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角，应一并计入；，应一并计入；C C

17、C CFGC4ZZ32ZBZ1EDABCCGGFBB11D12EDAPF 铰结点或铰支座铰结点或铰支座处转角不独立，引入处转角不独立，引入特殊杆端约束模式下特殊杆端约束模式下杆单元模型后，其杆单元模型后，其杆端转角不再计入。杆端转角不再计入。 结构固定支座处结构固定支座处转角已知，不应计入；转角已知，不应计入；河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 2) 2) 结点线位移的确定结点线位移的确定 确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定。即设确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定。即设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多

18、可定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移，然后筛选出其中的未知、独立分量。主能具有两个线位移，然后筛选出其中的未知、独立分量。主要考虑以下的筛选原则：要考虑以下的筛选原则： 因刚性支座的存在，因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值线位移为零或为已知值（对应于（对应于支座移动）的不计入未知量；支座移动）的不计入未知量； 因因轴向变形忽略轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只不计而多个结点线位移相同的，则只计其中一个；计其中一个； 定向支承杆端力已知定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计入，对应的线位移非独立，不计入独立的线位移内。独立的线位移内。Z4EA

19、6ZZ812ZZ102ZZ13ZZ57ZZ119Z5ZZ3EA河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 方法判断结构独立结点线位移数目。方法判断结构独立结点线位移数目。图图6.5 ABCD4321 把所有的结点和支座都改为铰结点和铰支座，而得到一铰把所有的结点和支座都改为铰结点和铰支座，而得到一铰结体系，然后用增加链杆的方法使该体系成为结体系，然后用增加链杆的方法使该体系成为，所，所就是就是 不不忽略杆的轴向变形，忽略杆的轴向变形，如图如图6.66.6所示结构，结构的所示结构，结构的独立结点线位移数目为二。独立结点线位移数目为二。图图6.6

20、 ABCDEA河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 432561123河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 : :角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆。角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆。 即在每个发生独立角位移的刚结点和组合结点上即在每个发生独立角位移的刚结点和组合结点上, ,人为加上一个能控制角位移人为加上一个能控制角位移( (但不阻止线位移但不阻止线位移) )的附加约束。的附加约束。 ，即在每个发生独立线位移的结点上沿线位移方向，即在每个发生独立线位移的结点上沿线位移

21、方向, ,人为加上一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。人为加上一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。 位移法计算时通过在体系中增设附加约束来控制结点位移发生。位移法计算时通过在体系中增设附加约束来控制结点位移发生。2ZZ41Z5Z6ZZ3ACFGDHEBFCADGHEBa)a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)b)基本结构基本结构 通过控制基本通过控制基本结构的附加约束，结构的附加约束，令其发生与原结构令其发生与原结构相同的结点位移，相同的结点位移，从而形成在荷载与从而形成在荷载与结点位移共同作用结点位移共同作用下与原结构变形完下与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位移法

22、计算中的全相同的受力模型。该受力模型即为位移法计算中的，基，基本体系与原结构完全静力等效。本体系与原结构完全静力等效。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 位移法计算超静定结构时，是位移法计算超静定结构时，是，在确定了基本未知量后，就要附加约束，在确定了基本未知量后，就要附加约束以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单以限制所有结点的位移，把原结构转化为一系列相互独立的单跨超静定梁的组合体，即跨超静定梁的组合体，即。 令基本结构附加约束发生与原结构相同的结点位移，从而形令基本结构附加约束发生与原结构相同的结点位移，从而形成

23、在荷载与结点位移共同作用下与原结构变形协调受力等效的成在荷载与结点位移共同作用下与原结构变形协调受力等效的。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 图示图示(a)(a)结构结构, ,具有一个独立的未知结点角位移具有一个独立的未知结点角位移, ,不存在结点线不存在结点线位移。根据基本结构的概念位移。根据基本结构的概念, ,在角位移处增设刚臂在角位移处增设刚臂, ,得基本结构。得基本结构。 APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACF

24、P1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)a)原结构原结构c)c)基本体系基本体系b)b)基本结构基本结构 荷载作用下，原结构变形图如图荷载作用下，原结构变形图如图(a)(a)所示，则其基本体系应如所示，则其基本体系应如图图 (c)(c)所示。所示。当刚臂转角与原结构当刚臂转角与原结构A A点转角相同时点转角相同时，图，图(a)(a)

25、与图与图(c)(c)变形、内力均完全相同变形、内力均完全相同。基本体系与原结构的基本体系与原结构的变形完全一致变形完全一致，其，其受力也完全相同受力也完全相同。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 0P1111FFFCBAFPF1P1Z1ZCBA11FZ11Z=0F1PFCABZ1Z1 根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z Z1 1分分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加 由于基本体系与原结构完全静由于基本体系与

26、原结构完全静力等效，基本体系中角位移位置处力等效，基本体系中角位移位置处附加刚臂不可能存在外力，必然有附加刚臂不可能存在外力，必然有 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 1ZF11ABCZ1Z1CBA11k11Z11 ，将，将Z Z1 1角位移作用下的变形图利用单位角位移作角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示用下的变形图来表示 11111ZkF 从而得到从而得到0P1111 FZk 这就是求解基本未知量这就是求解基本未知量Z Z1 1的的位移法基本方程位移法基本方程，其，其实质实质是是表达了表达了基本体系在结点位移处

27、的平衡条件基本体系在结点位移处的平衡条件。 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 i 24i2ii 4=11ZCBAAF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFPFCBAk11k11Ai 44i8PP1lFFiiik84411ilFkFZ64P111P1河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP图

28、图 1M图图M图图结构的最后弯矩可由叠加公式计算结构的最后弯矩可由叠加公式计算 P11MZMM河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 *图图6.1 llABCqAA(a)原结构AAABCqAZ1（b）基本结构AZ1河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 分析：分析：1）叠加两步作用效应，）叠加两步作用效应，基本结构与原结构的荷载特基本结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算：对比两结构可发现，）结点

29、位移计算：对比两结构可发现，附加约束上附加约束上的附加内力应等于的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成：1）在）在，限制其位移，在荷载作，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生用下，附加约束上产生附加约束力附加约束力；2）在）在，使基本结构发生与原结，使基本结构发生与原结构一致的结点位移。构一致的结点位移。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 qABCF1PF1P82ql0821ql FPABC13ZlEI12ZlEI14ZlEI1ZF1114ZlEI13ZlE

30、IF111117ZlEIF *图图6.1（d）*图图6.1（e）河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 11111Z kF 0111 FFP 式式（a a）称为位移法方程。称为位移法方程。式中：式中： 称为称为系数系数； 称为称为自由项自由项。它们的方向规定与。它们的方向规定与 方向相同为正，反之为负。方向相同为正，反之为负。11kP1F1Z821ql FP1117ZlEIF 求出求出Z Z1 1后，将后，将* *图图6.16.1（d d）, ,（e e）两种情况叠加，即得原两种情况叠加，即得原结构弯矩图如图所示。结构弯矩图如图所示。 5

31、622qlABC5642ql 原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂上的原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂上的约束力矩应为零。即约束力矩应为零。即 EIqlZ563101111PFZk（a） 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 图示刚架基本未知量为结点图示刚架基本未知量为结点C C、D D的水平线位移的水平线位移Z Z1 1。在结点。在结点D D加一附加支座链杆，得其基本结构。相应的基本体系的变形和受加一附加支座链杆，得其基本结构。相应的基本体系的变形和受力情况与原结构完全相同。力情况与原结构完全相同。 01P111F

32、Zk位移法方程位移法方程 1ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=01ZEI1212EI1PF90(90)CABDBADC4572EI11kDCEI72F1PQFFDB=0=CAFFQDCk11=1kN1ZEI1212EI1PF90(90)CABDBADC4572EI11kDCEI72F1PQFFDB=0=CAFFQDCk11=1kN36727211EIEIEIk1PQQ45kN045 kNFFCADBFFF 1PQQ45kN045 kNFFCADBFFF1PQQ45kN045 kNFFCADBFFF 河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院

33、 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 将将k k1111和和F F1P1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得EIZ16201135CABD225(90)M (kN.m)P11MZMM用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 由以上分析归纳位移法计算的要点为：由以上分析归纳位移法计算的要点为： 1. 1. 以以（包括结点角位移和结点线位移）（包括结点角位移和结点线位移）为为。 2. 2. 以一系列以一系列。 3. 3. 由基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的由基本结构在附加约束处

34、的受力与原结构一致的。先求结点位移，再计算出各杆件内力。先求结点位移，再计算出各杆件内力。 各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯各种约束的单跨超静定梁由荷载及支座移动引起的杆端弯矩和杆端剪力矩和杆端剪力(载、形常数载、形常数)的数值可查表的数值可查表6.1、6.2。表表6.1、6.2 中中 ，称为杆件的，称为杆件的。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 =02FZ22ZqZ11ZF1=0qlCDBAll/2/2l1ZqlZ2CDBAq(a) 原结构原结构 (b) 基本结构基本结构 (c) 基本体系基本体系 基本体系上附加刚

35、臂的反力矩基本体系上附加刚臂的反力矩F F1 1及附加支杆的反力及附加支杆的反力F F2 2均为零均为零 即即 F F1 1=0=0和和F F2 2=0=0 002P222121P12111FFFFFFFF(a) 设基本结构由于设基本结构由于Z Z1 1、Z Z2 2及荷载单独作用，引起相应于及荷载单独作用，引起相应于Z Z1 1的附的附加刚臂的反力矩分别为加刚臂的反力矩分别为F F1111、F F1212及及F F1P1P，引起相应于，引起相应于Z Z2 2的附加支座的附加支座链杆的反力分别为链杆的反力分别为F F2121、F F2222及及F F2P2P。 根据叠加原理根据叠加原理, ,可

36、得可得河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 又设单位位移又设单位位移Z Z1 1=1=1及及Z Z2 2=1=1单独作用时，在基本结构附加刚单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为臂上产生的反力矩分别为k k1111及及k k2121，在附加支座链杆中产生的反，在附加支座链杆中产生的反力分别为力分别为k k1212及及k k2222，则有，则有 将式（将式（b b）代入式（）代入式（a a），得），得22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF(b)002P2221211P212111FZkZkFZkZk

37、位移法典型方程位移法典型方程 其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，它实质上都应等于零。因此，它实质上反映了原结构的静力平衡条件反映了原结构的静力平衡条件。qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6B

38、ADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli12223il215ilk22=Z2=121kF2P22k02156006722121qlZliZliZliiZ联立解以上两个方程联立解以上两个方程求出求出Z Z1 1和和Z Z2 2后，即可按后，即可按叠加原理作出弯矩图叠加原理作出弯矩图 lik612河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 对于具有对于具有n n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入入n n个附加约束，根据个附加约束，根据每个附加约束的

39、附加反力矩或附加反力都应每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应与原结构反力相等的平衡条件与原结构反力相等的平衡条件，同样可建立，同样可建立n n个方程如下：个方程如下： 上式为典型方程的一般形式。式中主斜线上的系数上式为典型方程的一般形式。式中主斜线上的系数k kiiii称为称为主主系数或主反力系数或主反力；其他系数；其他系数k kijij称为称为副系数或副反力副系数或副反力；F Fi iP P称为称为自由项自由项。 000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk 系数和自由项的符号规定系数和自由项的符号规定：以：以与该附加约

40、束所设位移方向一与该附加约束所设位移方向一致者为正致者为正。主反力主反力k kiiii恒为正值恒为正值，其方向总是与所设位移，其方向总是与所设位移Z Zi i的方向的方向一致；一致；副系数和自由项则可能为正、负或零副系数和自由项则可能为正、负或零。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 根根据反力互据反力互等定理等定理有有 jiijkk ijk反力的位置反力的位置引起反力的原因引起反力的原因数数值值；方方向向产产生生的的反反力力，为为代代基基本本体体系系时时，沿沿单单独独作作用用于于知知量量的的力力学学意意义义：当当基基本本未未副副系系数

41、数ijZZ1ijk正值；正值；方向产生的反力，恒为方向产生的反力，恒为基本体系时，沿基本体系时，沿单独作用于单独作用于知量知量的力学意义：当基本未的力学意义：当基本未主系数主系数iiZZ1i ik数数值值。方方向向产产生生的的反反力力，为为代代沿沿基基本本未未知知量量独独作作用用于于基基本本体体系系时时，的的力力学学意意义义：当当荷荷载载单单自自由由项项iiPZF 位移法的位移法的基本未知量基本未知量结点位移结点位移（包括独立的结点转角和（包括独立的结点转角和结点线位移）。结点线位移）。 位移法的位移法的基本体系基本体系若干单跨超静定梁的组合体若干单跨超静定梁的组合体。 位移法的位移法的基本方

42、程基本方程静力平衡方程静力平衡方程。构对应反力相等；构对应反力相等；方向产生的反力与原结方向产生的反力与原结基本体系时，沿基本体系时，沿和荷载共同作用于和荷载共同作用于基本未知量基本未知量方程的力学意义：当各方程的力学意义：当各iiZZ河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 。加附加约束，得到由若干基本单跨超。加附加约束，得到由若干基本单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构）；使基本结构承受原来静定梁组成的组合体作为基本结构）；使基本结构承受原来的荷载，发生与原结构相同的位移，即可得到基本体系。的荷载，发生与原结构相同的位移，即可得到基本体

43、系。 。根据附加约束上反力矩或反。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。力等于零的平衡条件建立典型方程。 。在基本结构上分别作出各附加约束。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图和荷载作用下的荷载弯矩图发生单位位移时的单位弯矩图和荷载作用下的荷载弯矩图M MP P图，图，由结点平衡和截面平衡即可求得对应系数和自由项。由结点平衡和截面平衡即可求得对应系数和自由项。 解方程，解方程，（Z Zi i）。）。 数目：数目：n=ny+nl。 。由叠加法绘弯矩图。由叠加法绘弯矩图, ,由由杆件平衡求杆端剪力绘剪力图杆件平衡求杆端剪力绘剪力图, ,由结点平衡求杆端轴力绘轴

44、力图。由结点平衡求杆端轴力绘轴力图。PMZMZMZMMnn2211 。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【例例6.16.1】试用典型方程法计算图所示试用典型方程法计算图所示连续梁，并作弯矩图，各杆连续梁，并作弯矩图，各杆EIEI为常数。为常数。ABC8m15kN/m8m【解解】(1) (1) 确定基本未知量数目

45、确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点该连续梁的基本未知量为结点B B的转角的转角Z Z1 1，即，即n n=1=1。 (2) (2) 确定基本体系。如图所示。确定基本体系。如图所示。 由于超静定结构在荷载作用下的内力由于超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关，可令分布与杆件的相对刚度相关，可令i=1，根据杆件相对刚度计算。注意：在相对刚根据杆件相对刚度计算。注意：在相对刚度设定后，计算所得未知量将不再直接对度设定后，计算所得未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值，而与所设定的应于结点的真实位移数值，而与所设定的相对刚度对应。相对刚度对应。ABC15kN/m1Z=i EI

46、/8=1=1i(3) (3) 建立典型方程建立典型方程01P111 FZk(4) (4) 求系数和自由项求系数和自由项Z1CBA=0120(120)342=1ABC1ZZ1CBA=0120(120)342=1ABC1Z711k120P1F河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 (6) (6) 作最后弯矩图作最后弯矩图34.29(120)68.57ABCM图（图（kN m） 在本例的求解中，在本例的求解中，BCBC杆采用了一端固定一端铰支的单元，杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆减少了位移

47、法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结果。不会改变计算结果。(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得143.171Z河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【例例6.26.2】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。【解解】(1) (1) 确定

48、基本未知量数目确定基本未知量数目 本例将基本未知量确定为所有的未知结点位移，本例将基本未知量确定为所有的未知结点位移，即结点即结点B B的转角的转角Z Z1 1和结点和结点C C的转角的转角Z Z2 2。因此，。因此，n=2(2) (2) 确定基本体系确定基本体系 如图所示。如图所示。ABC15kN/mZ21ZABC8m15kN/m8m(3) (3) 建立典型方程建立典型方程根据结点根据结点B B和结点和结点C C附加刚臂上附加刚臂上反力偶均为零的平衡条件，有反力偶均为零的平衡条件，有002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4) (4) 求系数和自由项求系数和自由项2Z=08

49、0C2Z=0=024Z242=1AB1ZZ1CBA=124(120)80=0ABC1Z811k22112 kk80P1F422k80P2F(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z Z1 1和和Z Z2 2将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得143.171Z572.282Z (6) (6) 作最后弯矩图作最后弯矩图CBA68.57(120)34.29河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【*例例6.26.2】试用位移法计算图试用位移法计算图6.11(a)6.11(a)所示刚

50、架，并绘出内力图。所示刚架，并绘出内力图。 【解解】 1)1) 确定基本未知量，形成基本结构。确定基本未知量，形成基本结构。 图图6.11ABC4m4m4m2mEIEI2EI11ZEI55kN河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 2)2) 建立位移法方程。由建立位移法方程。由1 1结点的附加刚臂约束力矩结点的附加刚臂约束力矩总和为零的条件总和为零的条件 01M得得01111PF Z kABC11Zk11ABC55kN110kNmF1P2i4i2i4i3i图图1MMF图图河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学

51、第六章第六章 位移法位移法 ABC11Zk112i4i2i4iABC55kN110kNmF1P3)3) 求系数和自由项求系数和自由项 利用结点利用结点1 1的力矩平衡条件的力矩平衡条件 可计算出系数和自由项如下：可计算出系数和自由项如下： 01Mik1111mkNP.1101F3i 01M 01M图图1MMF图图4)4) 解方程求基本未知量。将系数解方程求基本未知量。将系数 和自由项代入位移法方程，得和自由项代入位移法方程，得 0110111iZiZ101河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 6 6）校核校核 位移法计算只需作平衡条件校

52、核。取结点位移法计算只需作平衡条件校核。取结点1 1为隔离体为隔离体 kN0kN30kN40kN40kN1101M图图6.11 5 5）绘制内力图绘制内力图 由由 叠加绘出最后叠加绘出最后 图。图。 利用杆件和结点的平衡条件绘出利用杆件和结点的平衡条件绘出 图、图、 图，分别如图示。图，分别如图示。F11MZMMMSFNF河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【例例6.36.3】试用典试用典型方程法计算图示型方程法计算图示结构，并作弯矩图。结构，并作弯矩图。设设EIEI= =常数。常数。 【解解】：(1)(1)确定基本未知量数目确定基本

53、未知量数目 可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/41/4部分进行计算，其基本未知部分进行计算，其基本未知量只有结点量只有结点A A的转角的转角Z Z1 1。 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi2iBAGk11Z1=1i

54、4i2i22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()c)基本体系基本体系llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi2iBAGk11Z1=1i4i2i22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()d)M1图图e)MP图图(kN

55、m)(2)(2)选择基本体系选择基本体系 (3)(3)建立典型方程建立典型方程 01P111FZk(4)(4)求系数和自由项求系数和自由项 iiik6241121P121qlF(5)(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量 iqlZ7221(6)(6)作最后弯矩图作最后弯矩图llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8

56、228ql()河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【*例例6.36.3】 试用位移法计算图试用位移法计算图(a)(a)所示刚架，并绘出弯矩图。已知所示刚架，并绘出弯矩图。已知各杆各杆EIEI为常数。为常数。 【解解】 1 1）选）选取半刚架并形取半刚架并形成基本结构。成基本结构。如图如图(b)(b)所示。所示。 分析可知用位移法求解图分析可知用位移法求解图(b)(b)所示刚所示刚架时，基本未知量只有一个，基本结构架时，基本未知量只有一个，基本结构如图如图(c)(c)所示。所示。2 2）建立位移法方程）建立位移法方程: : 01111P

57、FZk河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 3 3）求系数和自由项。）求系数和自由项。 lEIi 令令 ，分别在图，分别在图（d d）、（）、（e e）中利用中利用结点结点E E的力矩平衡条件可计算出系数和自由项如下：的力矩平衡条件可计算出系数和自由项如下： 382P111qlFi ， kMF图F1P4 4）解方程求基本未知量。）解方程求基本未知量。 038 21ql-iZiqlZ24 21河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 6 6）校核。在图）校核。在图（f f）中取结点中取

58、结点E E为隔离体，为隔离体，验算其是否满足平衡验算其是否满足平衡条件条件0EM024786222qlqlqlME可知计算无误。可知计算无误。 5 5）绘制弯矩图。由）绘制弯矩图。由 叠加可绘出左半刚架的弯矩图，由结构的对称性可叠加可绘出左半刚架的弯矩图，由结构的对称性可绘出原结构的绘出原结构的M M图，如图图，如图（f f）所示。所示。F11MZMM河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【*例例6.36.3】 试用位移法计算图试用位移法计算图（a a）所示刚架，并绘出弯矩图。所示刚架，并绘出弯矩图。已知各杆已知各杆EIEI为常数。为常

59、数。 【解解】 1 1）选取半刚架并形成基本结构。取图）选取半刚架并形成基本结构。取图（b b）所示半刚架进所示半刚架进行计算，此半刚架只有一个基本未知量，即结点行计算，此半刚架只有一个基本未知量，即结点1 1的角位移的角位移Z Z1 1，其，其基本结构如图基本结构如图（c c）所示。所示。2 2）建立位移法方程：）建立位移法方程： 01111PFZk河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 3 3）求系数和自由项。分别）求系数和自由项。分别在图在图（d d）、（）、（e e）中利用结中利用结点点1 1的力矩平衡条件可计算的力矩平衡条件可计

60、算出系数和自由项如下：出系数和自由项如下：ik4111601PFMF图图(kNm)R1F4 4）解方程求基本未知量。）解方程求基本未知量。 016041iZiZ4015 5）绘制弯矩图。如图）绘制弯矩图。如图（f f）所示。所示。6 6）校核。）校核。复习复习: :6.36.5 习题习题: :6.6(a), 6.7(a) 预习预习: :6.56.6河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 结构力学结构力学 第六章第六章 位移法位移法 【*例例6.46.4】 试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。 【解解】1 1）确定基本未知量，形成基本结构。如图所