大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

1、前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。)2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分)(x y) ln(1 )1.计算口 x dxdy = 16/15,其中区域D由直线x + y = 1与两坐标轴D ；1 - x -y所围成三角形区域.解： 令 x+y=u,x=v,贝 U x = v, y = u v, dxdy =1dudet0J(*)1 f-1>dudv = dudv,令 t =5 -u ,贝U u =1 -t2du = -2tdt , u2 =1

2、-2t2 +t4 , u(1 -u) =t2(1 -1)(1 +t),22.设 f(x)是连续函数，且满足 f (x) =3x2 - j0 f (x)dx-2,则 f(x)=2解：令 A= I f(x)dx,贝U f(x) =3x2 A2 ,2 2A =o(3x2 - A - 2)dx - 8 - 2(A2) - 4 - 2A,解得 A =4。因此 f(x) =3x2 10。3 323.曲面z = + y2 -2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是22解：因平面2x+2y z =0的法向量为(2,2,1),而曲面 z=± + y22在2(x°, y°)处的法向

3、量为(zx(x°, y°), Zy(x0,y0),T),故 亿 丫。)3% y。)1-1)与(2,2,-1) 平行，因止匕，由Zx=x ,zy = 2y 知2 =Zx(x°, y°) =x°,2 =Zy(x°, y°) =2y°,即 x0 = 2, y0 =1 ,又 z(x0, y0) = z(2,1) = 5,于是曲面 2x+2y-z = 0 在 (x0,y0,z(x0,y0)处的切平面方程是 2(x-2) +2(y -1) -(z-5) = 0 ,即曲面2z =乂 + y2 -2平行平面22x+2y z=0的切

4、平面方程是 2x+2y z 1=0。4.设函数y=y(x)由方程xef(y) =eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f'#1,则d2y _T2 -.dx解：方程xef(y) =ey ln29的两边对x求导，得因 ey ln 29 = xef(y), 故 I + f ( y) y . = y , 即 y.二, 因止匕xx(1 - f (y)x 2xnx e二、(5分)求极限 .J e e尸,其中n是给定的正整数.解：因故因此三、(15分)设函数f(x)连续，g(x) = j f (xt)dt,且理小凶=A , A为常数，求g'(x) 并讨论g(x)在x=0处的连续性.解：由

5、lim f曰 = A和函数 f (x)连续知，f(0) =lim f (x) =lim xlim -f-(x) =0 x0 xx、0x j0 x j0 x11因 g(x) =f (xt)dt,故 g(0) =o f (0)dt = f (0) = 0 ,1 x因此，当 x¥0 时，g(x)=f f (u)du x 0当x #0时，1 x .g (x) = - nf (u)du x 0这表明g(x)在x=0处连续.四、(15分)已知平面区域 D =(x, y)|0 <x <n,0 < y <n , L为D的正向边界，试证：(1)sin y . sin xxe d

6、y i yeL(2)_ sin ysin yxe dy - yeLsin ysinx jdx 刃 xe dy - ye dx ;Ldx 一 5二2.2证：因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知(1) xesinydy-ye®nxdx= (xesiny) - - (-yenx) dxdyld IL,:x二y而D关于x和y是对称的，即知 因此(2)因 故由知即: xesinydy - ye -sin ydx . 5：.2五、(10 分)已知y1=xex+e2x,y2=xex+e",y3= xex+e2xe”是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解

7、设yi=xex+e2x, y2=xex+e： y3 = xex + e2x -e”是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则y2 7i =e. -/和丫3 -yi =e'都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此y"+by，+ cy =0的特征多项式是(人2)(儿+1) = 0 ,而y”+by-cy = 0的特 征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为y” y -2y=0,由y：y； 2y = f (x)和y； =ex xex 2e2x, y；=2ex xex 4e2x知，f (x); y；- y；- 2yl= xex2ex4e2x - (xexex2e2x)-2(xexe2

8、x)二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线y =ax2+bx+2ln c过原点.当0Mx M1时，y之0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1 .试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周3而成的旋转体的体积最小.解因抛物线y =ax2+bx+2lnc过原点，故c = 1,于是即而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积即令2 18V (a) = na +n一(1 -2a) -n (1 -a) = 0,5327得即因此5 u 3.a 二-一，b =一，c=1.42七、(15 分)已知 un(x)满足 un(x) =Un(x)+xn'ex(n =1,2,)，且un

9、(1) = £,求函数项 nqQ级数Un un(x)之和.n 1解Un(X)=Un(X)Xn -ex ,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由 e =Un(1) =e(C +1)知，C =0 , nn于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知qQ令x=0,得0=S(0) = C,因此级数£ un(x)的和n 12,二 2.八、(10分)求XT 1FH，与z xn等价的无穷大量.n=022.解 4 f(t) =x ，贝U因当 0<x<1, L(0,收)时，f'(t) = 2txt lnx<0,故t2上2 ln 1f(t)=x =e x

10、在(0,收)上严格单调减。因此即be0°f0-f(t)dt<Z f(n)E1 + J0-f(t)dt , n =0又二二 22 f (n) =£ xn , n3n斗二- ： 2-二-t2ln-121.-1。“。比=1° 父比=。exa=1° edt =3，；lnx,lnx所以，当xT 1一时，与£xn2等价的无穷大量是1J o n $2 1 - x2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。)、(25分，每小题5分)(1)

11、设 =(1+a)(1 + a2)|(1+a2n),其中 |a|<1,求 lim 4. n ：211vx(2)求 lim e4 |1+。fix)(3)设 s>0,求 I = R0xndx(n=1,2j|)。(4)设函数f(t)有二阶连续导数，r=G'H,g(x,y)= J21lne (1 )x2 ln(1 ) ,x=lim e x = lim e x x ：二xL 二令x=1/t,则(ln(1 t) t)1/(1 t) 111原式= lime t2=lim e 2t = lim e 2(1 t) = e 2t 0t )0t0,求衰+包 r ；x fy(5)求直线i1Jxy=0

12、与直线i2： j=X=3的距离。 z = 04-2-1解：(1) x =(1 + a)(1+a2)|(1+a2n)=xn =(1 a)(1 + a)(1 + a2)川(1 + a2n)/(1 a)nnpnon -1(2)21 1 'xlim eT1十1T I x)(3)g c c10cle csx nI n sxI n = e x dx = ( -) x den-0 s，-01- f oo _1 n -sxsx n= (一 - )x e|0 - e dx =s0n 二-sx n， n, n(n 7)n!, n!e x dx=Tn' 2 Inw=W=rI0=Fs 0sss s=

13、(1-a )(1 a )|(1 a )/(1-a)=(1-a )/(1-a)二、(15分)设函数f(x)在(Q,收)上具有二阶导数，并且f ”(x) >0, lim f'(x)=aA0, lim f'(x) = P <0,且存在一点 x0 ,使得 f(x0)<0。 x J ： .x .证明：方程f (x)=0在(口,")恰有两个实根。解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值 将f(x)二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于0,所以lim f(x)=, lim f(x) = -°ox

14、二x ;_：证明完成。2三、(15分)设函数y = f(x)由参数方程，x = 2t t (t>1)所确定，其中中(t)具有二 y =阶导数，曲线y =W(t)与y= f e2du+3在t=l出相切，求函数中(t)。12e2t22Q . 一解：(这儿少了一个条件 一=)由y =中(t)与y = f e,du+3在t =1出相切得dx, ,一二 a ，一当a >1时，级数Z之收敛;QOtn 1 Sn2e'-=2e二二2 e(1)(2)当a1且sn t (nT °°)时，级数二a U£之发散。ngd2y _ d(dy/dx) _ d(dy/dx)

15、/dt _(t)(2 2t) -2，(t) dx2 - dx - dx/dt -(2 2t)3上式可以得到一个微分方程，求解即可。n四、(15 分)设 an0,Sn=£ ak,证明:k 4解:(1) an>0, Sn单调递增当：fan收敛时，；吃<吃，而吃收敛，所以多收敛; n mSn Si -SiSn '当Jan发散时, n 1nimSn =二所以,二二 an & 二二 sn dx a sn dx 乙< + 2 j = + f n 4 sn sT nw.snLX-'6 s1 X收敛于ksndx =亘+lim sn "s'

16、t =；1 xs<f :1 -.s/： -1a所以，工刍收敛。n J sn -(2) ；lim snn_.：二k1所以z an发散，所以存在k1 ,使得z an >a,n 1n=2k1k1 an于是，'、里电-2 sn -2 sns<12依此类推，可得存在1：*1/2：二.ki 1.使得Z4之1成立,ki sn2kN所以zansn-a当nT8时，Nt8,所以工一发放 ng五、(15分)设l是过原点、方向为 Q,P,¥),(其中a22t+yy+Js,其中（0<c<b<a,密度为1）绕l旋转 a b c(1)求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于

17、方向(% FJ)的最大值和最小值解：(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 由轮换对称性，(2) 7a b c + P2 +产=1)的直线，均匀椭当 ¥ =1 时，Imax =&nabc(a2 +b2)max15当 a=1 时，Imin =nabc(b2 +c2)15六、(15分)设函数中(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分xydx+*)dy的值为常数。P x y(1)设L为正向闭曲线(x-2)2 + y2=1,证明吗，*)”：。;得 x y(2)求函数甲(x)；(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求2xydx (x)dyUx4 y

18、2解：(1) L不绕原点，在L上取两点A, B,将L分为两段L1, L2,再从A, B作一曲线L3,使之包围原点。则有(2)令 P = 2xy Q = (x-42，Q 42x y x y由(1)知虫里=0,代入可得二 x 二 y上式将两边看做y的多项式，整理得由此可得解得： (x) - -x2(3)取L为x4+y2 W4,方向为顺时针2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。)(1)计算下列各题（本题共 3小题，每小题各5分，共15分）.求 limX01'sinx 0

19、sx1x /解：（用两个重要极限）11(2).求 lim +t1n+1 n + 211解：（用欧拉公式）令xn =+n n 1 n 2其中，0（1）表示n->g时的无穷小量，x = ln 1 e2td2y（3）已知，求一y oy = t - arctanetdxt.1.3，,dx 2e dy _ 1 e dy 1 e2te - e 1dt 1 e2t, dt 1 e2tdx 2e2t 2e2t1 e2t(本题10分)求方程(2x + y - 4 )dx + ( x + y - 1 )dy = 0的通解解：设 P = 2x+y 4,Q = x+ y 1,则 Pdx+Qdy=0-P :Q ,

20、 1,Pdx + Qdy= 0是一个全微分方程，设dz= Pdx+ Qdy7 = EQ,，该曲线积分与路径无关三.（本题15分）设函数 f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f（0）,f （0）,f （0）均不为0,证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3,使得limh0k1fhk2 f 2hk3 f 3h - f 0h2证明：由极限的存在性：limk1f （h） + k2f（2h） + k3f（3h）- f（0）= 0 h- 0 -即 Ik1 + k2 + k3 -1 f (0) = 0,又 f(0)# 0 ,二 k1 + k2 + k3 = 1由洛比达法则得由极限的存在性得lim k

21、1f' h 2k2 f' 2h 3k3 f' 3h =0即(k1 + 2k2 + 3k3 )f (0)=0,又 f(0)#0,二 k1 + 2k2 + 3k3 = 0 再次使用洛比达法则得k1 + 4k2 +9k3 = 0 由得k1k2 k3 = 1k1,k2,k3是齐次线性方程组1 k1 + 2k2 + 3k3 = 0的解k + 4k2 + 9k3 = 01设人=1J13 , x =9>10，则 Ax = b , O1 1*增广矩阵A = 1 2U 41 1103 0 0 19 0； <0 03-3 ,则 R( A,b 户 R( A 户 31 ,所以，方程

22、Ax = b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意,且 k1 = 3,k2 = -3,k3 = 1。四.（本题17分）设1,其中 aAbAc0,工1在上各点的切平面到原E2:z2 = x2 + y2,为工1与孙的交线，求椭球面点距离的最大值和最小值。 222解：设上任一点 M（x, y,z）,令 F（x, 丫*）=，+ * + 彳-1, a b c一、 、 2x 2y 2z一则Fx =O,Fv = T,Fz椭球面工1在上点M处的法向量为:x 2 y 2 z 2a b ct 二ta2'b2',二工1在点M处的切平面为n :原点到平面口的距离为v'G x,y,

23、z现在求G x, y, z 二的条件极值,令 H x, y,z 二b4则由拉格朗日乘数法得:2x+4 a2x+1 2a2 2x2yb42y -1- 2y=0H2z2z 2?2z= 0 ,y2b2-1-0y2解得2_2y = zb2c2 或'2 y b4，在条件)令 G x, y, z =2 r b41,<a、y = 02 2 a c-2 . -2 a c44a c2 222a c a cb4 c4、一对应止匕时的 G( x,y,z )= 二或G(x, y, z)=b2c2 b2 c2此时的d1 = bcb2 c2b4T7 或 d2二 ac a又因为 a > b > c

24、> 0,则 d1 < d2所以，椭球面 工1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:b2 c2b4 c422d2 = acac-4J ' d1 = bcac口h八 左 口、x2 - 3y2 =1/* 、心弘上五.(本题16分)已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上z= 0半部分(z20)取上侧，n是S在P(x,y,z)点处的切平面，P(x,y,z)是原点到切平面n的距离，k,n,v表示s的正法向的方向余弦。计算：(1) HzdS; H z( %x + 3N y+v z)dSs ： x, y,zs解：(1)由题意得：椭球面 S的方程为x2 + 3y2 + z2 = 1( z之0)._99 .9._ 1_ 1_ 1_令 F = x + 3y + z - 1,则 Fx = 2x, Fy = 6y,Fz = 2z,4切平面口的法向量为n = (x,3y,z),n 的方程为 x( X - x)+3y(Y-y) + z(Z-z)=0,原点到切平面n的距离p (x, y, z)=x2 3y2 z2v'x2 9y2 z21x x2 9y2 z2将一型曲面积分转化为二重积分得：记Dxz: x2 . z2三1,x - 0,z - 0x