勾股定理练习题及答案共套

1、勾股定理课时练11 .在直角三角形 ABC中,斜边AB=1,那么AB 2 BC2 AC2的值是A.2B.4C.6D.82 .如图18 2 4所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm, /D=120 ,那么该零件另一腰 AB的长是 cm 结果不取近似值.3 .直角三角形两直角边长分别为5和12,那么它斜边上的高为 .4 .一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有钱链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16 m ,旗杆在断裂之前高多少 m5 .如图,如以下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前

2、的高度是米.I1第一课时答案:. _ 2_2_2_2_21.A,提不：根据勾股定理得BC2 AC2 1,所以ab2 BC2 AC 2 =1+1=2；2.4 ,提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2 m ,所以他们少走了 4步.3. -60 ,提示：设斜边的高为 X,根据勾股定理求斜边为131160利用面积法得,5 12 13 x,x山；22134.解：依题意,AB=16 m , AC=12 m ,在直角三角形 ABC中,由勾股定理J122 52 V769 13 ,再3m第5题图6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方2_2_2_2_22BC AB AC 16

3、1220 ,所以 BC=20 m ,20+12=32 m , 故旗杆在断裂之前有 32 m高.离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米 ？第2题图4000米处,过了 20秒,飞机距5.86.解：如图,由题意得,AC=4000 米,/C=90 ,AB=5000 米,7.如下图,无盖玻璃容器,高 18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1cm的点c处有BC=V50002 400023000(米),一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的f处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度8. 一个零件的形状如下图, AC=3cm , AB=4cm, BD=12cm

4、.悔JcD的长-：9.1如图厂在四边形 ABCD中,/ A=60 , B B=Z D=90 , BC=Z CD=3 求 AB的长.10.“如.图,/个牧童在小河的南 4km的A处牧马,而他正位于他的小屋 B 卧78kM匕7km处, 筋葩把他为马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少第811如图,某会展中央在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼 3所以飞机飞行的速度为 540千米/小时2036007.解：将曲线沿 AB展开,如下图,过点 C作C已AB于E.在 Rt CEF, CEF 90 , ef=18-i-i=16 (cm),道绅9燧图地毯平方米18元,请你帮助

5、计算一下, 个楼道至少需要多少元钱？12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,对话效距离为15千米.早晨8: 00甲先出发,他以6千米/时第11题5m找 水CE=2. 6030(cm),机的有向东行走,1小时后乙出发,他以 5千米/时的速度向北行进,上午 10: 00,甲、乙二人相距多远还能保持联系吗由勾股定理,得cf= CE2 EF2302 162 34(cm)解：在直角三角形 ABC中,根据勾股定理,得在直角三角形 CB计,根据勾股定理,得 CD=BC+BD=25+122=169,所以CD=13.9.解：延长BC AD交于点E./B=9

6、0 , / A=60 , ：/ E=30 又 : CD=3 ： CE=6 ： BE=8,设 AB=X ,那么AE=2X ,由勾股定理.得(2x)2 x2 82,x 3、3P,那么A B就是最短路线A10 .如图,作出A点关于MN的对称点A,连接A B交MN于点在RtAAz DB中,由勾股定理求得 A B=17km 2_211 .解：根据勾股定理求得水平长为V132 5212m,地毯的总长 为12+5=17 (m),地毯的面积为17X2=34 ( m2),铺完这个楼道至少需要花为：34X18=612 (元)12 .解：如图,甲从上午 8: 00到上午10: 00 一共走了 2小时, 走了 12千

7、米,即OA=12.乙从上午9: 00到上午10: 00 一共走了 1小时,走了 5千米,即OB=5.在 RtOAB 中,AB2=122十 52= 169, ：AB=13,因此,上午10: 00时,甲、乙两人相距 13千米.15 13, 二甲、乙两人还能保持联系.CE =A11.如图 有一筐水 猴子从D树,在树上距地面F D处上爬到树顶B,再由B跑到C,BE C勾股定理的逆定理2一、选择题1.以下各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是A.9, 12, 15 B. 5 3C.0.2, 0.3, 0.4 D.40, 41 , 94,1,42 .满足以下条件的三角形中,不是直角三角形的是A.三个内角

8、比为1 ： 2 ： 1B.三边之比为1 ： 2 ：弋5C.三边之比为 J3 ： 2 ： J5 D.三个内角比为1 ： 2 ： 33 .三角形两边长为 2和6,要使这个三角形为直角三角形,那么第三边的长为A. J2 B.250 C. 4V2或2/0 D.以上都不对4 .五根小木棒,其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确 的是ABCD二、填空题5 . 4ABC的三边分别是7、24、25,那么三角形的最大内角的度数是.6 .三边为9、12、15的三角形,其面积为 .7 .三角形 abc的三边长为a,b,c满足a b 10m 18,C 8,那么此三角形为

9、 三角形.8 .在三角形 ABC中,AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm ,贝U BC边上的高为 AD=cm .三、解做题9 .如图,四边形 ABCD 中,/ B=90 , AB=3, BC=4, CD =12, AD=13,求四边形 ABCD 的面积.10 .如图,E、F分别是正方形 ABCD中BC和CD边上的点,且 AB=4,BC F为CD的中点,连接AF、AE,问 AEF是什么三角形请说明理由10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的 C处A处,利用拉在 A处的滑绳AC,滑到C处,另一只两猴子所经路程都是 15m,求树高AB.Ap12 . Afe,为修通铁路凿通隧道 A

10、C量出/ A=40 / B= 50 , AB= 5公里,BC= 4公里,假设每天 凿峪直 8 公里,问几天才能把隧道 AB凿通18.2勾股会卡逆定理答案：一、1.C ; 2.、3.C ,提示：当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边= 收-62一或10；当6为斜边时,第三边为直角边=J6222412 ； 4. C；、5.90 i示题根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为190.6.54 ,提不：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为 9 1254.7.2直角,提示:(a b)2 100,得 a2 b2 2ab 100,a2 b2 100 2 18 64 82 c

11、2 ；8.69,提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得131 1-12 5 13 AD ;2 2三、9.解：连接AC,在RtABC中,AC2=AB2+BC2=32+ 42=25,: AC=5.在4ACD 中,: AC2+CD2=25+122=169,而 AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,ZACD=90 .故 S hw abcd=Saabc+ Saacd= AB BC + AC -CD = - X 3X4+ 122X5X 12=6 + 30=36.10.解：由勾股定理得 AE2=25, EF2=5,AF2=20,AE2= EF2 + AF2,.AEF是直

12、角三角形11.设 AD=x 米,那么 AB 为(10+x)米,AC 为(15-x)米,BC 为 5 米,：(x+10) 2+52=( 15-x)2, 解彳导 x=2,10+x=12 (米)12.解：第七组,a 2 7 115,b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113.第 n组,a 2n 1,b 2n(n 1), c 2n(n 1) 1所以 ab=, 4,122 3.勾股定理的逆定理3一、根底稳固1 .满足以下条件的三角形中,不是直角三角形的是rA.三内角之比为 1 ： 2 ： 3B.三边长的平方之比为 1 ： 2： 3C.三边长之比为 3 ： 4 ： 5D.三内角之比为 3 ：

13、4 ： 52 .如图18 2 4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm,/D=120 ,那么该零件另一腰 AB的长是 cm 结果不取近似值.图 18 r图 18 25图 18 2 63 .如图18 2 5,以RtAABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为&、S2、S3,且&=4,S2=8,那么 AB的长为.4 .如图18 2 6,正方形 ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=AD,4试判断4EFC的形状.5 .一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/ A与/ BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4

14、 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13 ,这个零件符合要求吗图 18 2 76 .4ABC的三边分别为k21, 2k, k2+1 k1,求证：AABC是直角三角形.二、综合应用7 .a、b、c是 RtAABC 的三边长, A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c,那么A1B1C1 是直角三角形吗为什么8 .：如图182 8,在4ABC中,CD是AB边上的高,且 CD2=AD-BD.求证：4ABC是直角三角形.图 18 289 .如图18 2 9所示,在平面直角坐标系中, 点A、B的坐标分别为 A 3, 1, B 2, 4, AOAB 是直角三角形吗借助于网格,证实你的结论

15、.图 182 910 .：在4ABC 中,/ A、/B、/C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断AABC的形状.12 .：如图 182 10,四边形 ABCD, AD / BC , AB=4 , BC=6, CD=5 , AD=3. 求：四边 形ABCD的面积.图18 -2-10参考答案一、根底稳固1 .满足以下条件的三角形中,不是直角三角形的是GA.三内角之比为1 ： 2： 3B.三边长的平方之比为 1 ： 2 ： 3C.三边长之比为 3 ： 4 ： 5D.三内角之比为 3 ： 4 ： 5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方

16、法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理,所以应选D.答案：D2 .如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD, AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm,/D=120 ,那么该零件另一腰 AB的长是 cm 结果不取近似值.图 18 2 4解：过D点作DE / AB交BC于E, 那么rDEC是直角三角形.四边形ABED是矩形, .AB=DE.,:/ D=120 , ： / CDE=30 .又在直角三角形中,30所对的直角边等于余边的一半,：CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得,DE=J

17、1052513 cm.AB= .102 525.3 cm.3 .如图1825,以RtAABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为Si、S2、S3,且Si=4,S2=8 ,那么AB的长为.图 18 2 5图 18 26思路分析：由于 ABC是RtA,所以BC2+AC2=AB 2,即Si+S2=S3,所以S3=12,由于S3=AB 2答案：2.3求证：4ABC是直角三角形图 18-2-84 .如图18 2 6,正方形 ABCD的边长为4, E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=AD,试判断4EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可.解： E 为 AB

18、 中点,BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. ce2+ef2=cf2,.EFC是以/ CEF为直角的直角三角形.5 .一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/ A与/ BDC都应为直角,工人师傅量得 零件各边尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13 ,这个零件符合要求吗图 18 2 7思路分析：要检验这个零件是否符合要求,只要判断 rADB和4DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在 ABD 中,AB 2+AD 2=

19、32+42=9+16=25=BD 2,所以 ABD 为直角三角形,/ A =90. 在4BDC中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC2.所以 BDC是直角三角形,/ CDB =90 .因此这个零件符合要求.6 .4ABC的三边分别为k21, 2k, k2+1 (k1),求证：AABC是直角三角形.思路分析：根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证实：k2+1k2 1,k2+1 2k=(k1)20,即 k2+12k , ： k2+1 是最长边. (k2 1)2+(2k -)2=k4 2k2+1+4k 2=k4+2k2+1=(k 2+1)2,.

20、ABC是直角三角形.二、综合应用7 .a、b、c是 RtA ABC 的三边长, A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c,那么A1B1C1 是直角三角形吗为什么思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例2已证).解：略8 .：如图182 8,在4ABC中,CD是AB边上的高,且 CD2=AD-BD.思路分析：根据题意,只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证实：: AC2=AD2+CD2, BC2=CD2+BD2,AC 2+BC2=AD 2+2CD2+BD 2=AD 2+2AD - BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB2.ABC是直角三角

21、形.9 .如图1829所示,在平面直角坐标系中, 点A、B的坐标分别为 A (3, 1), B (2, 4), AOAB 是直角三角形吗借助于网格,证实你的结论.图 1829思路分析：借助于网格,利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度,再利用勾股定理的逆定理判断 OAB是否是直角三角形即可.解：: OA2=OA i2+A 1 A2=32+12=10,OB 2=OB i2+B iB2=22+42=20,AB 2=AC2+BC2=12+32=10, OA2+AB 2=O B2.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形n.10 .阅读以下解题过程：a、b、c为4ABC的三边,且满足a2c2-b2C2

22、=a4-b4,试判断 ABC 的形状.解：: a2c2- b2c2=a4-b4, (A)：c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2), (B) ： c2=a2+b2, (C)/ABC 是 直角三角形.问：上述解题.过程是从哪一步开始出现错误的请写出该步的代号 ;错误的原因是.;此题的正确结论是 .思路分析：做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,此题错在忽视了 a有可能等于b这一条件,从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能,当a=b时4ABC是等腰三角形；ABC是等 腰三角形或直角三角形.11 .：在4ABC 中,/ A、/B、/C 的对边分别是 a、b、

23、c,满足 J+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断AABC的形状.思路分析：(1)移项,配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,那么都为0; (3)a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由可得 a2- 10a+25+b2- 24b+144+c2- 26c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b -12)2+(c- 13)2=0.(a- 5产-0,(b-12)2 0,(6- 13)2 0.5=0,b 12=0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 aF+b2=169=c2, .A ABC是直角三角形.12.：如图 18 210,四

24、边形 ABCD , AD / BC , AB=4 , BC=6 , CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积.图 18-2-10思路分析：(1)作DE/AB,连结BD ,那么可以证实ZkABD里ZEDB (ASA);(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB.=3; (3) A DEC 中,3、4、5 为勾股数,A DEC 为直角三角形,DE,BC; (4)利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解.解：作DE / AB ,连结BD ,那么可以证实 AABDA EDB (ASA),DE=AB=4 , BE=AD=3. BC=6, .-.EC=EB=3.1 DE2+CE2=32

25、+42=25=CD2,. .DEC为直角三角形.又EC=EB=3,： DBC为等腰三角形,DB=DC=5.在ABDA 中 AD2+AB 2=32+42=25=BD2, .ABDA是直角三角形.一11它们的面积分别为 Sabda=- X3 4=6;S adbc= 6 4=12.22S四边形ABCD=Sabda +Sadbc=6+12=18.(1)填空:132=7.在数轴上画出表示 J17的点不写作法,但要保存画图痕迹8 .如图,四边形 ABCD中,9 .JA 图CD的长求这个四边形的面积每个小方格的I力长1.求图中格点四边形 ABCD的面积.勾股定理复习题53.4、6、一旗杆离地面米.在 ABC

26、中,那么BC=.假设/ A=45 ,8、假设两个数的绝对值相等,那么这两个数相等C.对顶角相等D.2. 2如果a=b或a+b=0,那么a b勾股定理的应用41.三个半圆的面积分别为S=4.5无,&=8无,$=12.5无,把三个半圆拼成如下图的图形,那么 ABC一定是直角三角形吗说明理由.2.求知中学有一块四边形的空地ABCD如以下图所示,学校方案在空地上种植草皮,经测量/A=90 , AB=3m BC=12m CD=13m DA=4m假设每平方米草皮需要 200天,问学校需要投入多少 资金买草皮3. 12分如下图,折叠矩形的一边 AD使点D落在BC边上的点F处,AB=8cmBC=10cm 求E

27、C的长.4.如图,一个牧童在小河的南 4km的A处牧马,而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处,他 想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少5. 8分观察以下各式,你有什么发现32=4+5, 52=12+13, 72=24+25 9 2=40+412请写出你发现的规律.3结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性.6.如图,在 RtABC中,/ ACB=90 , CDXAB , BC=6 AC=8, 求 AB、/ B=90 , AB=4, BC=3 CD=12, AD=13B鼻空择题题：有一个停长为5米的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少

28、为 米.6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,那么旗杆折断之前的高度是 /C=90 ,AB=10O (1)假设/A=30 ,贝U BC=, AC= , AC=o在 ABC中,/ C=90 , AC=0.9cm,BC=1.2cm.那么斜边上的高 CD= m2211、二角形的二边a b c ,满足a b c 2ab ,那么此三角形是 三角形.12、小明向东走80米后,沿另一方向又走了60米,再沿第三个方向走 100米回到原地.小明向东走80米后又向 方向走的.13、 ABC 中,AB=13cm ,BC=10cm , BC边上的中线 AD=12cnflU AC 的长为 cm14、两人从同一地点同

29、时出发,一人以 3米/秒的速度向北直行,一人以 4米/秒的速度向东直 行,5秒钟后他们相距 米.15、写出以下命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗两直线平行,内错角相等. 如果两个实数相等,那么它们的平方相等. 2. 2右 a b ,贝1J a=b 全等三角形的对应角相等. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 16、以下各组线段组成的三角形不是直角三角形的是Aa=15 b=8 c=17 B a:b:c=1:3 : 2C a=2 b= c= D a=13 b=14 c=155517、假设一个三角形的三边长为 6,8,x,那么使此三角形是直角三角形的x的值是.A.8B.10 C.,28D.10 或,2818、以下各命题的逆命题不成立的是A.两直线平行,同旁内角互补 B.二、解做题：19、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少20、一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少