数列通项公式求法大全(配练习及答案)

1、数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一 、公式法二 、累加法三 、累乘法四 、构造法五 、倒数法六 、递推公式为Sn与an的关系式（或Snf（an）（7） 、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（8） 、迭代法（9） 、数学归纳法已知数列的类型一、公式法*an a1 （n 1）d dn a1 d（ n N ）an a1qn 1 a1 qn（n N* ）q已知递推公式二、累加法an 1 an f （n）（ 1 ） f n d （ 2） f n n （ 3） f n 2n例 2 已 知 数 列 an 满 足 an 1 an 2 3n( an 3n n

2、1. )1， a1 3 ， 求 数 列 an 的 通 项 公 式 。三、累乘法an 1f (n)an( 1 ) f n d ( 2) f nn ， n ， 2nn1例3已知数列an 满足an 12(n 1)5n an，a13，求数列an 的通项公式。n(n 1)(an 3 2n 1 5 2n!.)评注： 本题解题的关键是把递推关系an 12(n1)5n an 转化为 n 12(n 1)5n ， 进而求an出 an an 1 L a3 a2 a1 ，即得数列an的通项公式。an 1 an 2 a2 a1例420XX 年全国 I 第 15 题，原题是填空题)an 满足a11，ana12a23a3L

3、 (n1)an1 (n 2) ，求an 的通项公评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an (n 2)转化为 an 1 n 1(n 2) ，an进而求出an an 1 La3 a2 ， 从而可得当n 2时，an 的表达式，最后再求出数列 an 的an 1 an 2a2qan（其中四、构造法an 1pan q an 1 pan f nan 2 pan 1p， q 均为常数）。（ 1） an 1pan q （构造等比）an 1 t pan t qqtan 1 t p an ptqt ptqp1例 5 已知数列 an 满足an 1 3an 42） an 1panf nnan 1 pa

4、n q.m2.1 ）构造等比数列n1nn1an 1 t m pan qm t man 1p ann qmn tmn 1（q t m） man 1 t m p an pm 时用构造成累加的形式求）q tm ppm例 6 已 知 数 列 an 满 足 an 12an 3 5n， a1 6 ， 求 数 列an 的 通 项 公 式 。评注：本题解题的关键是把递推关系式n1 n2n 1 5n)an 1 2annn1n5 转化为an 1 52(an 5 ) ，从而可知数列 an 5n 是等比数列，进而求出数列 ann5 的通项公式，最后再求出数列an 的通项公式。2.2）够造成累加法an 1pann q.

5、man 1n1 pann pn qmn1 pan 1n1 pann pn qmn 1 （回归到累加法 p例 7 已知数列 an 满足an 1 3an2 3n 1， a13 ，求数列 an 的通项公式。解：an3an 23n1 两边除以3n 1，得3ann 11an 213n 3 3nan 13nan 23n 313n 1 ，故an3n( an3nan 1 )an(232(n31)1(23(31n( an 1an 113n 113nan 2 ) 3n 2(an 23n 2an 3 ) 3n 3(3a223a11)a13an2(n3n31) (2313n 131n (13n 1)131)3n 21

6、2 L3nL(23312)312)2n312213n则 ann n33n评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an 2 3n 1转化为3ann 11 3ann 2313n 1 ，an进而求出(ann3nan 1 an 1 an 2 an 23n 1 ) (3n 13n 2 ) (3n 2an 3 ) L 3n 3a2a1(213231a1 ，即得数列 3an3nan 的通项公式。例 8 已知数列an 满足an 1 3an 5 2 n4， a1 1 ，求数列an 的通项公式。an 13 3n 1 5 2n 2 )评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 3an 5 2n 4 转化为an

7、1 5 2n1 2 3(an5 2n2) ，从而可知数列an5 2n2是等比数列，进而求出数列 an5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。2例 9 已知数列an 满足an 1 2an 3n 4n 5， a11 ，求数列an 的通项公式。an 2n 4 3n2 10n 18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3n2 4n 5转化为22an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)，222(设an 1 p n 1 q n 1 f 2an p n 1 q n 1 f 3n 4n 5)2p 3 2 2p q 4 p q f 5an 1

8、p n 1 q n 1 f =2 annnnn222p 3 2p q 4，q22pqf2从而可知数列an23n2 10n 18 是等比数列，进而求出数列an23n2 10n 18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、倒数法kanan 1 pan q例 10a已知数列an满足an 1 an ，n 1 2an 12a例 11 已知数列an 满足an 12ann 1 2an 1六、递推公式为Sn与 an的关系式(或Sn f(an) )解法：这种类型一般利用anS1SnSn 1(n 1)(n 2)例 10已知数列an 前 n 项和Sn 4 an12n 2 .( 1)求 an 1与an 的关系；

9、( 2)求通项公式 an .七、对数变换法(当通项公式中含幂指数时适用)例 10 已知数列an满足an123nan5，a17，求数列an 的通项公式。n5n5解：因为an 12 3an，a17 ，所以an0，an10 。在an12 3an式两边取常用对数得lg an 1 5lg ann lg3 lg 2设 lg an 1 x(n 1) y 5(lg anxn y)11将式代入11 式，得5lg an nlg3 lg 2 x(n 1)y 5(lg an xn y ) ，两边消去5lg an 并整理，得(lg3x)n xy lg 2 5xn 5y ，则lg3 x 5x，故x y lg2 5ylg3

10、4lg316lg24代入11式，得lgan 1 lg3(n 1) lg3 lg2 5(lgan lg3n lg3 lg2)n1n41644164由 lga1lg31 lg3lg2lg7 lg31 lg3lg20及 12式，141644164lg3lg3 lg 2得 lgan n0，n 4164lg an 1lg43(n1) l1g63lg2l a lg3 n lg3 lg2 lgan 4 n 16 45，所以数列 lg an比数列，则lganlg3 n lg3 lg2是以lg7 lg3 lg3 lg2为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n1n(lg 7)5

11、 ，因此41644164lg3lg3lg2n 1 lg3lg3lg2lg an(lg 7)5n4164464111n11(lg7 lg34lg36 lg24)5n 1 lg34 lg 316 lg24111n11lg(7 34 316 24)5n 1 lg(3 4 316 24)111n11lg(7 34 316 24)5n 1 lg(3 4 316 24)5n 1 n 5n 1 15n 1 1lg(75n 1 3 43 16 2 4 )5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162 4 )5n 4n 15n 1 1则an75n 1 3 162 4评注：本题解题的关键是通过对数变换把递

12、推关系式an 12 3n5a5n 转化为lg an 1lg anlg34lg34(n公式，最后再求出数列八、迭代法例 11 已知数列解：因为an 132 (n1)n 2(a23(nn32) 22)(n1)lg316lg3 lg216lg24lg3lg3 lg25(lg ann) ，从而可知数列n 4164lg3lg3 lg2 是等比数列，进而求出数列lg ang n g g 的通项n 4164an的通项公式。an 满足an 1 a3(n 1)2n na15 ，求数列an 的通项公式。3(n 1)2 nan ，所以an3n 2n 1 an 13(n 1) 2n 2 3n 2an 2n 2) (

13、n 1)332(n 1) n 2(n 2) (n 1)1) n 2(n 3) (n 2) ( n 1)3n 1 23L L (n 2) (n 1)n 21 2 L L (n 3) (n 2) (n 1) a1n(n1)3n 1 n! 2 2a1又 a1 5 ，所以数列an 的通项公式为ann(n 1)3n 1 n!2 25。评注： 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1an3( n 1)2n两边取常用对数得lg an 13(n 1) 2n lgan， 即 lgan1 lg an3(n 1)2n ， 再由累乘法可推知lganlganlgan 1 Llgan 1 l

14、gan 2lg a3 lga2lga2 lg a1lg a1n(n 1)3n 1 n! 2 2lg53n 1 n!2n(n 1)an 52九、数学归纳法例 12 已知数列an 满足an 1 an8(n1)2(2n 1)2(2n 3)2 ， a18 ， 求数列an的通项公式。98(n 1)解：由 an 1 an22n 1 n (2n 1)2(2n 3)28及a1，得9a2a3a48(1 1)88224(2 122 1)2(k 1) 12n k 1 时等式也成立。根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何评注： 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项， 进而猜出数列的通项公式，最

15、后再用数学归纳法加以证明。 (2 1 3)29 9 25258(2 1)248348(2 222 1)2(2 2 3)225 2549 498(3 1)488480(2 322 1)2(2 3 3)249 498181a1a3a288 ，所以等式成立。9an （2n 1）2 1 ，往下用数学归纳法证明这个结论。n （2n 1）221)当 n 1时，a1 (2(2111)12)2 12）假设当n k时等式成立，即ak(2k 1)2 1(2k 1)2k 1 时，ak 1ak8(k 1)(2k 1)2(2k 3)22(2k 1)2 18(k 1)222(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)222(

16、2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2222(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)222(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)2 1(2k 3)2* n N 都成立。2( k 1) 12 1十、换元法例 13 已知数列an 满足an 1116(1 4an124an）， a1 1 ， 求数列 an的通项公式。解：令bn1 24an ，则an214 (bn2 1)故 an 11224 (bn 1 1) ，代入an(1 4an16 n1 24an)得214(bn2111)11614 (b241)bn即 4bn2 1 (bn 3)2因为 bn 124an0，故bn 11 24an1013则2bn 1bn3 ，即bn 1bn，221可化为bn 1 3 21 (bn 3)，所以bn 3 是以b1 31 24a1 31 24 1 3 2为首项，以1 为公比的等比数2列，因此bn 3 2(1)n 1 (1)n 2，则bn (1)n 2 3，即 1 24an (1)n 2 3，得an23 (14)n (12)评注：本题解题的关键是通过将1 24an 的换元为bn ，使得所给递推关系式转化13bn 1 2 bn 2形式， 从而