导数的概念几何意义及其运算

1、导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：_ X a lna;c' 0(C 为常数)；(xn), nxn1,n N ；、'x ' xx(sinx) cosx; (cosx) sinx; (e ) e ； (a )(lnx)法则1：1-； x(log a x)a1.T°gaeu(x) v(x) u (x) v (x)法则2:u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) ''0)法则 3:3 u(x)v(x) u(x)v(x) (v(x)v(x)v2(x)(一)基础知识回顾：1.导数的定义：函数yf(x)

2、在Xo处的瞬时变化率y f (x0lim -lim x 0 xx ox)f(xn)/称为函数y f (x)在x x0处的导数，记作f (x0)或/f(X0x) f (Xo)XX0，即 f(x。)则x如果函数y f (x)在开区间(a, b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b),都对应着一个确定的导数f / (x),从而构成了一个新的函数f / (x)。称这个函数f /(x)为函数y f (x)在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作y/,即f lx) = y/ =f (x x) f (x)lim x 0x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数y

3、f (x)在xo处的导数y/ xx°，就是导函数 1(x)在xo处的函数值，即y，x x° =f / (Xo)。2.由导数的定义求函数 yf(x)的导数的一般方法是：(1).求函数的改变量f f (x x) f(x)；(2).求平均变化率 -L 工82；(3) .取极限，得导数 y/= lim oxxx 0 x3.导数的几何意义:函数yf (x)在x0处的导数是曲线 y f (x)上点(x0, f (x0)处的切线的斜率。基础练习:1 .曲线y x3 2x 4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A. 300B. 450C. 60°D. 120°2 .设曲

4、线y ax2在点(1, a)处的切线与直线2x y 6 0平行，则a (A. 1 B. 1C.1D.1223.设P为曲线C: y x2 2x 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,则点P横坐标的取值范围为（4A.1,B.1,0D.4.直线yb是曲线y ln x x 0的一条切线，则实数b=5 .设曲线A. 2B.1112在点（3,2）处的切线与直线ax y 1 0垂直，则aC.1 D, 226 .曲线yex在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（A. 9e242e27.曲线y1 3-x3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A. 198.过点（一1,0)作抛物线y

5、1的切线，则其中一条切线为(A) 2x(B) 3x y 3 0(C) x y 10(D) x9、如果质点A（A） 6按规律（B） 8S=2t3运动，则在t=2秒时的瞬时速度为(C) 1610、（2005重庆理科）曲线y的三角形的面积为1,Wa= _6（D）24x3在点（a,a3）（a0）处的切线与x轴、直线xa所围成432113（2008海南、宁夏文）设函数f （x） axb ,曲线y f （x）在点（2 f （2）处的切线11、（2008北京理）如图，函数f（x）的图象是折线段 ABC,其中A, g, C的坐标分别为(0,4) (2 0) (6 4),则f (f (0)f(1 x) f(1)

6、方程为7x 4y 12 0°求yf（x）的解析式;12经过原点且与曲线 y=lnx相切的直线的方程是导数的概念、几何意义及其运算答案1.B 2,A 3.A 4. ln2 -1 5.D6. D 7. ( A )28.解：y 2x 1,设切点坐标为(Xo，yo),则切线的斜率为2Xo1,且yoXox012于是切线万程为yXoXo1(2xo1)(xXo),因为点(1,0)在切线上，可解得Xo = 0或4,代入可验正D正确。选D9、D ; 1。_ 111 2 , -2 : 12y13、解：(I)方程7x 4y 12 0可化为y又 f (x) a 2 , x7，1-x 3 .当 X 2 时，y

7、 -.42于是2a解得13.函数的单调性、极值、最值与导数1、函数单调性的充分条件：函数y f (x)在某个区间(a,b)内可导，若f (x) 0,则函数y f(x)在(a,b)内单调递增；若f (x) 0 ,则在(a,b)内单调递减.2、函数单调性的必要条件：函数y f (x)在某个区间(a,b)内可导，若y f (x)在(a,b)内单调递增，则f (x) 0 ；若在(a,b)内单调递减，则f (x) 0 .3、函数单调区间的求法：(注意单调区间的表达)首先，确定函数 y f(x)的定义域；其次，求 f (x)；最后，在定义域中解不等式f (x) 0得增区间，解不等式 f (x) 0得减区间

8、.1、极值的概念：设函数y f (x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x) f x0 (f(x) f x0 ),我们就说f x0是函数f(x)的一个极大(小)值，记作y极大值f x (y极小值f x° )，把xO点叫做函数的极大(小)值点.特别地，若函数y f (x)可导，f x00 ,而且在点x x0附近的左侧f x 0 f x 0 ,右侧f x 0 f x 0 ,则称f x0是函数f(x)的一个极大(小)值.2、求可导函数极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f x ; 解方程f x 0;当f x00时，(1)如果在xO附近的左侧f x 0 ,右侧f x 0

9、,那么f x0是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f x 0 ,右侧f x 0 ,那么f x0是极小值.3、" f x00 "是" x0是函数极值点.”的必要不充分条件.4、函数最值的概念：函数y f (x)在a,b上所有点处最大(小)的函数值，称为 y f(x)的最大(小)值.5、函数最值的判断: 求函数y f (x)在区间 a,b内的极值； 将f (x)的各极值与端点处的函数值 f a、f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值6、极值与最值的区别与联系：(1)函数极值是局部性质，最值是整体性质；(2)函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个，但极

10、值可能不止一个，也可能不存在；(3)当函数在某区间上的图像连续，并有且仅有一个极值时，该极值必为函数的最值.基础练习：1. (2008广东文)设a R,若函数y ex ax , x R有大于零的极值点，则()11A. a 1 B. a 1 C. ad. aee2. (2008福建文)如果函数yf(x)的图像如右图，那么导函数y f,(x)的图像可能是()(2004全国卷n理科)函数y= xcosx sinx在下面哪个区间内是增函数(3.一 ，3（A）（一,）（B）（,5, 、一）（D） （2, 3 ）24.（2007广东文）函数 f（x）=xlnx（x>0）的单调递增区间是5.(2007

11、江苏)已知函数f(x)12x 8在区间3,3上的最大值与最小值分别为6、已知函数f(x)x3 3x29xa. (i)求f(x)的单调减区间;(n)若f(x)在区间2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值227、已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x 2与x 1时都取得极值.3(1)求a, b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x 1,2,不等式f(x) c2恒成立，求c的取值范围.322是奇函数.8. (2008 北东又)已知函数 f(x) x ax 3bx c(b 0),且g(x) f (x) (I)求a,c的值；(n)求函数f(x)的单调区间.9. (2004浙江文)已

12、知a为实数，f(x) (x2 4)(x a) (I)求导数f (x);(n)若f ( 1) 0,求f(x)在-2, 2上的最大值和最小值；(出)若f(x)在(-8, -2和2, +8)上都是递增的，求 a的取值范围。10. (2005全国卷II文科)设a为实数，函数(II)当a在什么范围内取值时，曲线 y32f(x) x x x a. (I)求 f(x)的极值;f (x)与x轴仅有一个交点.函数的单调性、极值、最值与导数(答案)1. A ;2. A ; 3. B;4,-; 5.32,e6、解： f (x) 3x2 6x 9.令 f (x) 0,解得 x1 或x 3,所以函数f(x)的单调递减区

13、间为(，1),(3,).(II )因为 f( 2) 8 12 18 a 2 a, f(2)8 12 18 a 22 a,所以f(2) f( 2).因为在(一1,3)上f (x) 0,所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2, 1上单调递减，因此 f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值.于是有22 a 20,解得a 2.故 f(x)x3 3x2 9x 2.因此 f( 1) 1 3 9 27,即函数f (x)在区间2, 2上的最小值为一7.7、解：(1) f (x) =x3+ax2 + bx+ c, f (x) =3x2+2ax+b由 f( 2)= i2- -

14、a+ b = 0 , f (1) =3 + 2a+b=0 得 a= 1 , b= 23 2932f (x) = 3x2-x-2= (3x+2) (x 1),函数f (x)的单调区间如下表：x/2、(一 ,一 )32一一3(-2,1) 31(1, + )f (x)十0一0十f (x)极大值极小值所以函数f (x)的递增区间是(一 ，2)与(1, 十 )。递减区间是(一 2,1)33(2) f (x) =x3- lx22x + c, x 一 1, 2，当 x=- 2 时，f (x) = -22 + c2327为极大值，而f (2) =2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f (x) c2

15、 (x 一 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) =2+c 解得 c 1 或 c 28 .解：(I)因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数，所以，对任意的 xC R,g(-x)=-g(x)，即 f(-x)- 2=-f(x)+2. 又 f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ ax2-3bx+ c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.a a,所以解得a=0, c= 2.c 2 c 2.(n)由(I)得 f(x)=x3+3bx+2.所以 f' (x)=3x2+3b(bw0).当 b<0 时，由 f' (x)=0 得 x= ± J一b.x变化时，f&#

16、39; (x)的变化情况如下表：x(-oo,- b b )-J b(-J b ,、F)J b(V b ,+°°)f' (x)+0-0+所以，当b<0时，函数f (x)在(-8, -«T)上单调递增，在(-« , Jb )上单调递减，在(/T, +8)上单调递增.当b>0时，f' (x)>0所以函数f (x)在(-00, +oo)上单调递增9 .解：(I)由原式得 f(x) x3 ax2 4x 4a,2f (x) 3x 2ax 4.121-2(n)由 f(1) 0 得a ,此时有 f(x) (x 4)(x -), f (x

17、) 3x x 4.224由 f(1) 0得 x 或 x=-1 ,3又 f (4)50, f ( 1) 9, f ( 2) 0, f (2) 0,3272950所以f(x)在-2,2上的最大值为 -,最小值为.227,._ . 、_ 2_ (出)解法一：f (x)3x2ax 4的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线，由条件得f ( 2) 0, f (2)0, 即 4a 8 0.-.-2<a<2.8 4a 0.所以a的取值范围为-2,2.2-, , , l , zt,a a a 12、解法二：令f (x) 0即3x 2ax 4 0,由求根公式得：x12(x1 x2)3所以f (x) 3x2 2ax 4.在，x1和x2, 上非负.由题意可知，当xV2或x>2时，f (x) >0,从而xi >2, x2< 2,即 1a2 12 a 6 解不等式组得:-2<a<2.a2 12 6 a.a的取值范围是-2,2.2110、【解】(1) f (x) 3x 2x 1 ,若 f (x) 0 ,则 x -,13当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,3)13(3)1(1,)f (x)十0一0十f(x)Z极大值极小值Z15所以f (x)的极大值f (-) a ,极小值是f(1) a 1.327(2)函数 f