数学模型spss解决食堂排队问题

1、数学模型SPSS解决食堂排队问题SANY 标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#成绩评定表学生姓名班级学号专业课程设计题目评语组长签字：成绩日期20 年 月曰课程设计任务书学院专业学生姓名班级学号课程设计题目实践教学要求与任务：通过数学模型用数学解决一个实际问题并撰写成一篇研究论文。1.命题：1）自选：课题来自日常生活、社会实践或其它学科。要求：选题新颖、实用2）老师指定儿个参考题目，任选其一。仿做或自己创作：读懂他人的建模论文，模仿完成。若仿作，在论文第一页下方 注明模仿的论文，例如本文仿做自刘来福的论文“数量性状的遗传距离及其测 定”，遗传学报，Vol 6

2、, No3, 1979要求：不许抄袭，在问题的提法或方法上有一定的改进或创新。2. 建模：要求思路清晰、处理恰当、构思新颖。3. 分析：数学应用合理恰当，应用知识综合，内容丰富。4. 结论：要有一定的广度、深度、实用程度。5. 表达：文字通顺、语言流畅、论述简洁、推理严谨。工作计划与进度安排：第一天 查阅资相关料；第二、三天模型建立；第四天 论文编写；第五天答辩指导教师：201年 月 日专业负责人：201 年 月曰学院教学副院长：201 年 月曰食堂排队问题摘要近年来，随着大学不断扩招，大学在校学生人数不断增加，学生食堂用餐排队拥挤现象也日 益严重。首先，从网上找到某一高校中午去食堂用餐人数的

3、时刻表，利用SPSS中的中心移动平均 法，观察到学生进入食堂的人数近视服从正态分布。在此基础上研究了在权衡学校食堂和学生的 利益这两方面时，利用边际分析法得到了合理的窗口数为9个。计算曲窗口数变化而产生的平均 等待时间，利用SPSS中的曲线估计，得到窗口数与平均等待时间满足S型曲线估汁，对其做灵敬 度分析发现灵敏度很高，并且窗口数山8个增加到9个时平均等待时间变化很大，而继续增加 时，变化趋于平缓。所以认为食堂设置9个窗口是合理的。在进一步的探讨中，山于每个窗口饭菜好吃与否不同，学生对其具有选择性，在假设上面9 个窗口吸引学生的比例后，求其平均等待时间为秒，是没有考虑这个因素的8倍左右，所以这

4、是 造成学生平均等待时间增加并且浪费窗口资源的一个重要因素。关键词：食堂排队，中心移动平均，曲线估计，平均等待时间目录1. 引言:在学校或者大型企业里，经常可以看到在午餐时间大量的人涌入食堂。由 于午餐时间相对固定，导致在这个时间段内食堂的人数激增。原本没有多少人 的食堂顿时充满了人，大家都在排队买饭。买到的人就开开心心的去吃了，买 不到的还在那里排队等着买饭，不时的传来儿句怨言。这是一个普遍的问题， 有很多人对其进行研究，希望找到更好的办法来解决这个问题。食堂排队问题 的解决可以减少人们的排队时间，所以对此研究具有一定的意义。在一些初中和高中，有过一些解决这个问题的一些方法，比如像分年级、

5、班级去吃饭，错开人们的吃饭时间，从而解决这个问题。但由于大学里，学院 很多，而且每个学生还有自己的选修课，上课地点乂不是固定的，所以实行错 开学生吃饭的方法在这里就不在适用了。对此我们提出解决食堂排队问题的其 它方法，对其进行研究。2. 模型：问题的简化及分析食堂排队问题实际上就是排队论问题，对学生而言食堂增加卖饭的窗口， 学生的等待时间就会减少，而食堂的成本就会相应的增加。而减少食堂窗口的 数量，食堂的利益会增加，但学生的等待时间就会相应的增加。所以我们要权 衡这两个方面，对其进行研究。利用边际分析法，求得其合理的窗口数。后乂考虑到学生对每个窗口的饭菜喜爱程度不同这个因素，对前面得到的 窗口

6、数进行研究，求得其平均等待时间，和之前的平均等待时间进行比较，得 到增加这个因素对平均等待时间的影响。模型假设1由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在11： 30至13： 30这一时间段赶去食堂吃饭，故可认为在该时间段中学生源是无限的，且学生 单独到来且相互独立。2. 学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。3. 食堂实行先来先服务原则，且学生可自山在队列间进行转移，并总向较短的 队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列 等待制。4. 由于每个窗口服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以山一般统计规律，认为其满足指数分布，

7、平均每个学生的服务时间是15秒，且 服务员之间无差异。符号说明S卖饭窗口数P窗口服务强度A每十分钟进入食堂的人数每个窗口每十分钟服务的人数一次移动平均数硏二次移动平均数平均等待队长平均等待时间C|每个窗口的单位时间成本5每个学生在食堂中逗留损失费用A到达每个窗口的人数比例模型建立对学生在食堂进餐的情形进行研究，根据食堂进餐排队的特点，选择排队 模型，进行研究。学生进餐可以分解成三个部分，第一部分：学生进入食堂；第二部分：学生在窗口买饭；第三部分：吃饭或打包离开。具体流程图如图一所示：从网上得到查找得到某一高校的食堂进餐人数随时间变化如表一所示:表一：某一高校的食堂进餐人数随时间变化表时间10：

8、 4010： 5011： 0011： 1011： 2011： 30人数1321355281103时间11： 4011： 5012： 0012： 1012： 2012： 30人数177245296279235137时间12： 4012： 5013： 0013： 1013： 2013： 30人数85616346199对上面的数据进行处理，利用EXCEL画出食堂进餐的人数随时间的变化图，如图二所示：图二：食堂进餐人数随时间变化图观察上图可以发现食堂进餐人数在10： 40至13： 30这个时间段内有呈现 正态分布的特点。为了使这个特点更加明显，我们对人数做移动中心平均处 理。设一次移动平均数为则二次移

9、动平均数的计算公式为：(1)对表一中进餐人数分别做一次移动平均和二次移动平均，结果如图三所 示：图三：进餐人数一、二次移动平均图在利用EXCEL对笫二次移动平均数作图，得到食堂人数随时间变化的趋势图。如图四所示：图四：食堂人数随时间变化趋势图观察上图，发现食堂人数随时间的变化服从正态分布，其函数为:(2)利用边际分析法建立模型，求窗口数。窗口服务强度：(3)山于不希望等待的学生人数越来越多，所以”小于等于1。经硏究认为15 秒的平均服务时间对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱，增大岀错的可能性，到时反而会降低效率，故认为平均服务时间不可改变，是个常数，所以为40。兄表示的

10、是每十分钟进入食堂的学生数，它的 取值与上面的食堂进餐人数随时间变化的关系有关。所以几的值可以表示为：2 = F(f)=所以得到”等于:(4)1(5) C "卩=寸46；山状态流图可列岀K氏代数方程并求出相应的平稳分布:(6)0< k < sk > s由正则性条件£久=1,当”1时，有&=01(7)于是空闲概率:PoU白 k! si 1-丿(8)于是平均等待队长:Lq=±jPj =戶0p(spYs!炖 i>R =7=1p(spYs!(1-“)2°(9)平均等待时间:(10)为了权衡学生与食堂的利益这两者的关系，建立如下标:

11、min f =q s + c2Lq(11)其中C|为每个窗口的单位时间成本，C?为每个学生在食堂中逗留损失费 用。约束方程为：“V1C C“S、Lq > 0根据边际分析法，最佳的满足条件：y（5x）</（5* + 1）（13）将上面的约束方程代入到最佳满足条件里得：jCj X S* +C, X L（I（S4） < cx X（5* - 1） + C2 X L（!（S* -1）Ifj XS* +C2 X A ,（5*） < Cj X（5* + 1） + C2 X L（!（S* + 1）（14）于是有，fq "y _i）_£（s"）k >C

12、2Lf/（54）-Lj5* +1）（15）整理得，d（s）一S（$+l）s£LsS（s_i）_（/）C?（16）取£l = 1.8,r=9时，此时2 = 296,采用边际分析法，求得"，如表二所 C2示：表二：人数最多时边际分析法求窗口数89L,10L,11取£l = 1.8,r = 18时，此时2 = 9,采用边际分析法，求得如表三所 示：表三：人数最少时边际分析法求窗口数12L, 一3L, 一4山于进入食堂的学生数服从正态分布，所以所需的窗口数也应近似的服从 正态分布。窗口在学生数最多时为9,在学生数最少时为1个。根据边际分析法可以求出每个时间点在

13、= 1.8时，需要的窗口数目，利用 c2EXCEL作出窗口数随时间的变化图，如图五所示：图五：窗口数随时间变化图由于“一定，所以影响平均排队时间的只有窗口数s,利用SPSS对平均排队时间及窗口数进行多种模型曲线估计，得到下图：图六：窗口数与平均等待时间的多模型曲线估计观察上图发现窗口数与平均等待时间的曲线估计最接近S模型，对其做S模型曲线估计得到下图：图七：窗口数与平均等待时间的S模型曲线估计观察上图发现当窗口数从8个增加到9个时，平均等待时间迅速下降，后 增加窗口数，平均等待时间趋于平缓。得到模型汇总和参数估计值表，见表四：表四：得到模型汇总和参数估计值表模型汇总和参数估计值因变虽：平均等待

14、时间方程模型汇总参数估计值R方Fdfldf2Sig.常数blS.99812001自变虽为窗口数。从上表中可以看出Sig值为，说明S模型曲线估计效果很好，参数估讣值 中常数值为，bl值为。所以模型曲线方程为下面再分析在学生数最多时平均排队时间对窗口数的灵敬度：(17)由于窗口数为整数，所以求得如下数据，见表五：表五：平均排队时间对窗口数的灵敬度分析891011灵敬度从上表可以看岀，平均排队时间对窗口数十分敬感，灵敬度均达到了 15以上，其中在窗口数从8变到9时，平均排队时间山秒变为了秒。3. 分析：通过上面的灵敏度分析得到，当食堂的窗口数超过9个时，即使增加再多的 窗口数，其平均排队时间变化的绝

15、对值也只在5秒左右，而这么小的时间间隔对 学生造成的影响是很小的。但是每增加一个窗口就会花费很大的成本，他们自 然也不可能增加。但小于9个窗口时，从表四中可以看出，平均排队时间会大大 增加，这将会引起学生的极大不满，当然也是不合理的。至此可看出，最佳的 窗口设置是9个。对于学生来说，当然是窗口数越多越好。而对于食堂来说，窗口数的增加 一方面会导致成本的增加，另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为更多学 生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。4. 结论：本文在把握学生进餐人数随时间变化规律的情况下，以动态变化的人流量 来研究窗口数的随时间的变化情况，改进了原来研究固定人流量

16、的模型，使得 研究的结果更加接近实际。在权衡减少学生平均等待时间和增加食堂利益这两方面时，给出合理的食 堂窗口数。5. 进一步的探讨：山于食堂每个窗口的饭菜口味都不相同，学生去每个窗口买饭的人数也会 出现很大的差别。基于这个条件，对其进行研究。设每个窗口到达的人数比例分别为人,心，人，由于每个窗口的工作人员 能力相同。所以每个窗口的服务强度为，1 g2沪P sp sf.i40s(18)此外，通过网络的投票调查得到同学们在就餐排队时，排队人数在多少时 会选择离开队伍，重新寻找队伍排队其至离开食堂，见下表：表六：排队人数影响选择排队表队伍人数5-67-89-1011-1213-1415及以 上票数

17、3930324从上表可以看出排队人数在15人及以上的人数最多，说明学生可以等待的 时间较长，也就是说学生在选择食堂饭菜的时候很有可能都愿意去同一家吃， 导致这一家排队人数很多。而相对的饭菜味道不好的，学生去的少，也就导致 了窗口资源的浪费。在上面求得在人数最多时的窗口数应该为9个，现在假设依据饭菜的可口 程度给这9个窗口附上去买饭的学生数比例，分别，。由此可 得在学生人数最多的时候去9个窗口的人数分别11& 88, 30, 21, 15, 9, 6, 6, 3,因为每个窗口每十分钟服务的人数是40人，所以可以看出前两个窗 口将有大量的学生排队，而后面的儿个窗口都有空闲时间。这就造成了学

18、生平 均等待时间的大量增加。由于只有前两个窗口有等待的学生，所以研究平均等待时间只需要研究前 两个窗口即可。根据上面的比列可以得到在每个时间段前两个窗口在学生用餐 的人数，见表七所示：表七：前两个窗口的学生人数时间10:4010:5011： 0011:1011:2011:30窗口口 24611162431时间11:4011:5012:0012:1012:2012:30窗口 171981181089455窗口 2537498847141时间12:4012:5013:0013:1013:2013:30窗口口 22618191463由于每个窗口每十

19、分钟可以为40人服务，所以当人数超过40时就开始排 队，从上表可以看出窗口 1从11:30就开始排队，窗口 2在11:40开始排队。 排队人数会随着时间逐渐积累，具体积累数据如表八所示：表八：两个窗口排队人数积累表时间11:3011:4011:5012:0012:1012:2012:3012:40窗口 113258136204258273266窗口 201347105149180181167时间12:5013:0013:1013:2013:3013:4013:5014:00窗口 1242227205173137975717窗口 21 1512 19S6127000根据上表画出这两个窗口的排队人

20、数随时间变化图，如图八所示:图八：两个窗口排队人数随时间变化图所以总等待人数为3683人次，每人等待时间为15秒，所以等待总时间为 55245秒，平均等待时间至少为秒。而上面计算得到的平均等待时间为秒，所 以学生对窗口饭菜的喜好对平均等待时间有很大的影响，并且这还会造成学校 窗口资源的浪费。所以为了使食堂窗口资源得到合理利用，并且减少学生的平均等待时间， 食堂应增加每个窗口的饭菜种类，提高饭菜的口感。这样不仅可以解决因学生 对窗口饭菜喜爱程度不同而导致的平均排队时间增加，而且可以提高学生对食 堂的满意度。6. 模型的评价模型的优点1、在问题的求解中，充分运用了表格和图，使结果明了清晰。2、本文采用了多种专业软件对模型进行求解，如EXCEL, SPSS等，提高了模型 的精确度。3、本