二项式定理的练习及答案

1、项式定理的练习及答案基础知识训练(一) 选择题2 6(x)6展开式中常数项是(A.第 4 项 B. 24c6 C. C：D.22. (x - 1)(1 3x 3x2 x3)10展开式中系数最大的项是 展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (12)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74. 若C；7与C：同时有最大值，则m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55. 设(2x-3) 4=a0+ajX+a2x2+a3x3 十a4x4，则 ao+ai+a+33的值为()A.1B.16C.-15D.156. (x3 -

2、 h11展开式中的中间两项为()xA.-C151x12 13 14 15,C151x126951051359B.C11 x，-C11X C. _C11 x ,CnXD.C：x17- Gx13(二) 填空题7. 在(2xy)7展开式中，x5y2的系数是-38. C0 3Cn 32C2' 3ncn 二9.(351严.5)的展开式中的有理项是展开式的第项16 若f (x(1 x)m (1 x)n(m .n . N)展开式中，x的系数为21，问m n为 何值时，x2的系数最小？17自然数n为偶数时，求证：18 求8011被9除的余数*19已知C.x-$)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数

3、之比为14; 3,x求展开式的常数项+20.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.21 求(2x+1) 12展开式中系数最大的项. 参考解答：36 r1 通项 Tr 1C6x6丄(2 )r =C6x 2 2r，由 6-320= r=4，常数项是 T5 二 C；24，丘2选(B)2. 设 f(x)=(x-1)11，偶次项系数之和是 f “-1)_2)11/ -1024，选(C)2r3. 通项1 =C；( .2)r = C；22，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的 项数为4个，选(A)17_117 14. 要使C：7最大，因为17为奇数，则n二或门=0 n=8或n=9,若2 2

4、n=8，要使C；最大，则m£=4，若n=9，要使C：最大，则m =匕1或2 29亠1m =二 m = 4或 m=5 综上知，m=4或 m=5 故选(A)2224n5. C 6.C 7.224 ;8.4n;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故 令x=1，则所求和为11. (1+3x+3x2+x3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=_ 1515C30X12.0.991 =(1-0.009) =C0-C；0.0090.9613. (1 x x2)(1-x)10 =(1-

5、x3)(1-x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C；(-x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x) 9展开式中的项C；(-x)作积，故x4的系数是C； V4=135 +14. (1 x) (1 x)2(1 - x)10 =10 11(1x)1 (1 X) (x 1)1-(x 1)1-(1 x)，原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为cL115由丿U(2x) aC；1 2 2 =C5(-2X)_C5(-2x)x < 一一10 二丄兰x兰0则cm cn -(n 一 21)2 399.因 n24m=11 和 n=10，或 m=10和 n=11.416

6、. 由条件得m+n=21 x2的项为C：x2 C：x2, N,故当n=10或11时上式有最小值，也就是 时，x2的系数最小.17原式=(c0 c； c2 - cnJ cn) (C； c3 -c5 - cnJ2n 218. 8011 =(81 1)11 二徂卩 _时8110 十+时081_1 =81k_1(k Z), k 乙 9k-1 Z，A 8111 被 9 除余 8-19依题意 cn : cn =14:3= 3C4 -14C2 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!= n=1010-5r设第叶1 项为常数项，又 Tr 1 二 C；0(恶)10，(- 22)r =

7、(-2)rC；0X 2x令 105r=0=r=2，T21 二竞(-2)2 =180.此所求常数项为 180 220. (x2 3x 2)5 二(x 1)5(x 2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C； =5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32,含x的项为C；24x =80x展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) =240x，此展开式中x的系数为24021 设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2x4 = 7920x4三拓展性例题分析 1例1在二项式丨云+丄 丨的展开式中，前三项的系数

8、成等差数列，求展开式<2jx 丿中所有有理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过 抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.得系数为：ti =1,t2 =C； = n t = c¥ = n(n-1)，22481由已知：2t2 = t1 t3 n = 1& n(n -1)，n = 8通项公式为16 J3r1 Tn二C；-rX 4 r =0,1,28,1为有理项，故16-3r是4的倍数，2 r = 0,4,8.依次得到有理项为=x4,T5 =C；4rx坐x,Tg =c81x，=丄x2 282256说明：本题通过

9、抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，(2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通 项中r的取值，得到共有17页系数和为3n .例2(1)求(1-x)3(1 x)10展开式中x5的系数；(2)求(x 1 2)6展开式x 中的常数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， (1)可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (1-x)3(1 x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并 同类项：用(1 -X)3展开式中的常数项乘以(1 x)10展开式中的x5项，可以得到C：0X5

10、 ；用(1-X)3展开式中的一次项乘以(1 x)10展开式中的x4项可得到(-3x)(C：0X4)-3C：0X5 ；用(1-x)3中的x2乘以(V x)10展开式中的x3可得到3x2 Cd3 =3C；°x5 ； 用 (1_x)3中的x3项乘以(1 x)10展开式中的x2项可得到-3x3 Cox2 Cox5，合并同类项得x5项为：(c；o -Co 3c3。c!0)x5=-63x5 .(2)1 1212Jx 1 展开式的通项公式Tri二Jx丿二C；2X6，可得展(X 12)5 二x开式的常数项为c；2 =924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们 还可以

11、通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求(1 xx2)6展开式中x5的系数.分析：(1，x-x2)6不是二项式，我们可以通过1 x - x2 = (1 x)-x2或 1 (x-x2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1 X-X2)6 = (1 x) -X2 6其中含 X5 的项为 c6x5 -6C；X5 15C；X5 =6x5.含x5项的系数为6.方法二：(1 X-X2)6 二 1 (XX2)6其中含 X5 的项为 20(-3)x5 154)x5 6x6x5 .二x5项的系数为6.方法3:本题还可通过把(x-x2)6看成6个x-x2相乘，每个因式各取 一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由

12、下列几种可能得到.5个因式中取X， 个取1得到c6x5.3个因式中取X, 个取-x2，两个取1得到C3 C；x3 (_x2).1个因式中取x,两个取-X2，三个取1得到c6 C：x .(X2)2 合并同类项为(c6 -c6c3 C；c5)x5 =6x5，X5项的系数为6.例 4 求证：(1) C1 2C2- nCn 二 n 2n-；(2) c0 丄匕1 cn1 (2n1 _1).23n +1n +1解决这两个小题的关 从而使用二项式系数分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的 性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值. 键是通过组合数公式将等式左边各项变化的

13、等数固定下来，性质c0 c1： -c：-cnn!n!解：(八 kCn'*k!(n-k)! (k-1)!(n-k)! (k-1)!(n+k)!左边=nC0 二 + nC；d+nCn：=n(庄C爲 C：)二n 2nJ =右边.(2)k 1Cn k 1n!n!k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!(n 1)!(k 1)!(n -k)! n -1左边1 C1.1 C2.1 cn4Cn 1 Cn 1Cn 1n 1 n 1n 11 (C1nC；1 C；)二 1 (2n1-1)=右边.n十1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系 数的性质求解.此外，有些组合数的

14、式子可以直接作为某个二项式的展开式，但 这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例 5:求 29c1° - 28Cfo Tc：。2况 10 的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 * 2)10的展开式接近，但要注意: 从而可以得到：10 2c2o28c90 - 29 c10 =1(311).2例6利用二项式定理证明：32n之-8n - 9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n8n9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形322 = 9n 1 = (8 1)n 1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解：V 32n 2

15、-8n-9n _2= (8n1 C；1 8nJCn) 64 是 64 的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方 程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.”一 ,5分析解法分析解法展开 2x-2 !.< 药丿1：用二项式定理展开式.2x12x22：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.35(4x3-3)52 101:2:2x 2 10、2x2 丿 32x52180135405243= 32x -120x - 4- _7 一 10 .x x 8x 32x说明：记准、记熟二项式(a b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有

16、时先化简再展开会更简便.例8若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为().A. 11B. 33C. 55D. 66分析：(x + y+z)10看作二项式(x+y)+z1°展开.解：我们把x + y+z看成(x+y)+z，按二项式展开，共有11 “项”即10(x y Z)10 =(x y) z10 =為 C(x y)10* zk .k=0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(xy)10* 展开，不同的乘积C1o(x - y)10J" zk ( k = 0,1，10 )展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C1，0(x

17、- y)10 zk ( k =0,1,10 ).其中每一个乘积展开后的项数由（x y）10上决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11 1066 ,应选D.x ；-2 "的展开式的常数项为-20，求 n .分析：题中x = 0，当x 0时，把三项式2n1;当x ：0时，同理xx -2 =（_1）n J x-1.然后写出通项，令含x的幕指数为零，进而 X丿解出n .解：当x 0时Jx+丄-2Ix2n1，其通项为 X2n -rTr"C；n( X)2n(-1)r =(_1)rC；n(，.x令2n -2r =0，得 n 訂，展开式的常数项为（-1）七弗；当x <0时,x 1