ch11-3复合函数微分法ppt课件

1、第3节一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则微分法则多元复合函数的求导法则 第11章 ，设设),(vufz ，而而),(yxu ),(yxv 则有复合函数则有复合函数),(, ),(yxyxfz 偏导数存在，偏导数存在，在点在点，如果如果),(),(),(yxyxvyxu 可微可微在对应点在对应点且且),(),(vuvufz 的的两两个个偏偏导导数数存存在在，在在点点则则复复合合函函

2、数数),()1(yx) 1 (并且并且一一. . 链式法则链式法则 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ”“连线相乘，分线相加“连线相乘，分线相加。种种复复合合关关系系的的链链式式法法则则以以下下讨讨论论几几个个常常见见的的几几),(),(),(),()1(tszztsyytsxxzyxfu ，可可微微，而而若若存存在在偏偏导导数数，则有则有szzusyyusxxusu tzzutyyutxxutu uxyzst有有连连续续偏偏导导数数，设设),()2(vufw ),(zyxuu 而

3、而zyxvv,),(zyxzz wvxyzxvvwxuuwxwyvvwyuuwywzvvwzuuwzw都都存存在在偏偏导导数数，u，有偏导数，有偏导数，设设),(yxfz ，而而)(txx 是可导函数，是可导函数，)(tyy 的一元函数，的一元函数，是关于是关于则有则有ttytxfz) )(),(存在，存在，如果如果tzdd称称为为tyyztxxztzdddddd ）（3zxyt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz)4()(),(),(yvyxuvufzzuvxyxuuzxzdydvv

4、zyuuzyz)5(),(),(yxuyxufzzuxyxy,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似口诀口诀 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导，例例yxveuvuzyx 222)ln(1，求求yzxz 解解xz xvvzxuuz vuu 222yxe vu 21x2 vuu 22yeyx22 vu 21yz yvvzyuuz vuu 22yeyx22 vu 21及及，求求，例例yuxuyxzyxuz 22)(2解解xu 1)( zyxzxzyxyxz )ln()(1)( zyxzxyxyxz2)ln()( yu

5、 1)( zyxzyyxyxz2)ln()( ，求求，其其中中设设例例xzxyxyzdd132 解解xzddxz xyyzdd 2xy 211xxx yxy12 的的可可微微函函数数，是是，其其中中设设例例xxvxuxuyxv)(),()(4)( ，且且0)( xu求求xyxudd1)( 解解xyddxvvyxuuydddd )(1xuuvv )(lnxvuuv 具有一阶连续具有一阶连续且且，而，而设设例例fezxyzyxfux2sin),(5 求求xudd解解xuddxzzfxyyfxfdddd 1f 偏偏导导数数xfcos2 xef232 6例例xzxzxy求求设设解解：xyu 令令则则u

6、xuxfz),(xuufxfxz yxxuxuuln1xyxxyxxyxyln1)ln1(xyxxyyz及及yz yuuf xxxulnxxxyln1及及，求求设设例例yzxzyxfxz)(722解解，引引入入22yxu ，则则)(ufxz xz )(uf xufx2)( )(2)(22222yxfxyxf yz yufx2)( )(222yxfxy ，求求，设设例例zuyuxuxzyzxyfu ),),(arctan(82解解，引入引入)arctan(xy ，2yz ，xz 则则),( fu xu u2)(1xyy u)(2xz 21)(1xyyf 32fxz yu u2)(1xyx u2z

7、 21)(1xyxf 22fz zu uyz2 xu1 22fyz 31fx yzxzxyyxxyfz ,),(9，求求：设设例例解：解：xxyyxfxyxyyxyfxz ),(),( 2211 ),(fxyfyxyyxfx 221),(fxyxfxyyxyfxz 所以所以类似可得类似可得212),(yffyxxyyxxfyz 二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性 当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz . 由链式法则，得由链式法则，得dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvv

8、z 全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、全微分的运算法则全微分的运算法则uccud)d()1( vuvudd)d()2( uvvuuvdd)d()3( 2ddd)4(vvuuvvu ，求求设设例例yzxzeyxzxy )(1022解解zd)(d22xyeyx xyxyeyxyxed)()(d2222 )d2d2(yyxxexy )d()(22xyeyxxy )d2d2(yyxxexy )dd()(22xyyxeyxxy xz ，)2(32xyy

9、xexy yz )2(23yxyxexy yyxyxexxyyxexyxyd)2(d)2(2332 及及试求试求，设设例例uzuyuxuyexyzyxfuzd,),(1022 解解ud)d(221yxf )(d2xyzf )(d3zyef )d2d2(1yyxxf )ddd(2zxyyxzxyzf )dd(3zyeyefzz xfyzfxd)2(21 yfefxzfyzd)2(321 zfyefxyzd)(32 则则，212fyzfxxu ，3212fefxzfyyuz 32fyefxyzuz 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加, 单路