食饵—捕食者模型

1、食饵一捕食者模型数学模型课程食饵一捕食者模型3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互 关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实 际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约 的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼 和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学 称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵一捕食者系统。一食饵一捕食者选用食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）为研究对象

2、,设x（t）/ Xi（t）为食饵（食用鱼）在I时刻t的数量，y（t）/ X2（t）为捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量，ri为食饵（食用鱼）的II相对增长率，2为捕食者（鲨鱼）的相对增长率；Ni为大海中能容纳的食饵（食用 r* 鱼）的最大容量，N2为大海中能容纳的捕食者（鲨鱼）的最大容量，1为单位数 I量捕食者（相对于N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 （相对于Ni） I消耗的供养甲实物量的1倍；2为单位数量食饵（相对于Ni ）提供的供养捕食I者的实物量为单位数量捕食者（相对于N 2 ）消耗的供养食饵实物量的 2倍；d为 捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1假设捕食者（鲨鱼）离开食

3、饵无法生存；2假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率 为ri，即xrx，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t)满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其 增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t)满足y (t) y( d bx) dy bxy(2)比例系数b反映食饵对捕食者的供养能

4、力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。不考虑自身阻滞作用：数值解令 x(0)=x0,y(0)=0,设 r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用 Matlab 求解求解如下1) 先建立M文件fun cti on xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x (2);2) 在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:15;>> x0=25,2;&g

5、t;> t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x, >> ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x, ans =省略>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)').»>> pause>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,(可以猜测，x(t),y(t)是周期函数，与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值 解近似定出周期为10.7，x的最大最

6、小值分别为99.3, 2.0，y的最大，最小值分 别为28.4和2.0,容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.)考虑阻滞作用前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面(1),( 2)两式中加入Logistic 项，即建立以下数学模型：x.x2x1(t) r1x11 寸 试 (3)x2(t)血 12 哉 N2 (4)四平衡点进行理论分析下面对(3)( 4)进行平衡点稳定性分析: 由微分方程、f(X1,X2)們 1N1g(xX2)幷x22N1 N2表:平衡点Pq稳定条件PZQ)r1D( 2 1)盹(21)2 <1cN(11) N2(21)

7、、2 1 , 11 1 2 1 1 2r1 (1 1 ) r2 ( 2 1)r1 r2 (1 1 )( 2 1)2 >11 1 21 1 2P3(0,0)r 1r 2不稳定令 f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡点：P1(N1,0), p2(1N1(11) N2(2°), P3(0,0)1 2 1 1 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时 (X1, X20)才有意义，所以,对P2而言要求2>0。按照判断平衡点稳定性的方法计算:A "gx12x11 x>N1gx2a 2X2N1ri(11X2)N?)ri1X12(N22x1N12x2N

8、2)根据P等于主对角线元素之和的相反数,而q为其行列式的值,我们得到下五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义:1)对 RZ，0)而言，有 P=A2( 2 1)， q=叩2( 2 1)，故当 2 <1 时, 平衡点P1(N1,0)是稳定的。意义：如果R(N1,0)稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。2)对 P2(即11) N2( 21.耳)而言，有p =1 2 1 1 2r1(11 )r2 ( 2 O1 1 2吋2(111)( 2 1)，故当2>1时，平衡点P2( ,N2( 2 1)是稳定1 1 2 1 1 2意义：如果R( , N2( 2 1)稳定，则两物种恒稳发展，会

9、互相依1 1 2 1 1 2存生长下去。3) 对卩3(0,0)而言，由于p A a ,q订2，又有题知1>0,2>0,故q<0,即PZQ)是不稳定的。六用MATLAB求解验证下面将进行MATLAB件求解此微分方程组中的xdt)、X2(t)的图形及相轨线 图形。设 1 2，2 6，r11，r20.3，N1 3000,2 400,使用 MATLA软件求1) 建立M文件fun cti on y=fun( t,x)./400)；2) 在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:20ts =省略>> x0 =3000 60x0 =300060>> t,x=ode45('fu n',0,20,3000,60) t =省略>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')图1.数值解Xi(t) , X2(t)的