《现代控制理论》第3版课后知识题目解析

1、 现代控制理论参考答案 第一章答案 1 1- -1 1 试求图 1 1- -2727 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下: (S J X3 1 Xi X2 图 1-3 双输入双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下:Xi X2 令(s) y，则 y x1 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 Xi X2 x3 y i 0 0 0 0 0 X4 X5 X6 上的电压作为输出量的输出方程。? Kp Kn 1 Kp X3 Ji X3 jj JX5 JiX ? X4 X3 ? X5 Ki X3 KiX6 ? X6 Ki Xi Kp Ki Ki u Kp X2

2、X3 Xi ? X ? X3 ? X4 ? X5 ? X6 Ki 0 Kb J 2 Kp Ji 1 Ki 0 0 0 0 0 Kn丄 Ji J 0 0 0 0 0 0 0 0 Kp Ji 0 Ki Ki Xi X2 X3 X4 X5 X6 0 0 0 0 u 0 0 K? Kp i i- -2 2 有电路如图 i i- -2828 所示。以电压u(t)为输入量, 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程, 和以电阻R2 解：由图，令ii Xi,i2 有电路原理可知: R2 X2,Uc X3，输出量 y R2X2 R-i x-i L1 x1 x3 u ? L2 X2 R2x2 x3

3、X2 C X3 ? Xi Ri Xi Li i i X3 u ? R2 i 既得 XX2 X3 L2 L2 ? i i X3 xi X2 C C y R2X2 写成矢量矩阵形式为: 。 Xi 。 X2 。 X3 Li 0 C 0 R2 L2 丄 C 1 Li 1 匚 0 Xi X2 X3 i 匚 0 0 Xi y 0 R2 0 x2 X3 i i- -4 4 两输入ui，U2，两输出yi，y2的系统，其模拟结构图如图 i i- -3030 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 1 1- -5 5 系统的动态特性由下列微分方程描述 (2) y 5 y 7 y 3y u 3u 2uUi i U

4、2 Xi 0 1 0 0 X1 X2 a2 a1 0 a6 X2 X3 1 0 0 1 X3 X4 0 a5 a4 a3 X4 X1 c X2 y 1 0 1 0 X3 X4 解：系统的状态空间表达式如下所示: 0 0 b, 0 u 0 0 0 b2 s 1 0 0 (si A) a2 s a1 0 a 10 s 1 0 a5 a4 a3 s 1 1 a2 s Wux(s) (si A) B 1 0 0 a5 Wuy (s) C(si A) 1B 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a6 bi 0 s 1 0 0 a4 a3 0 b2 s 1 0 0 1 0 0 0 a2 1s a1 0 a6

5、 b1 0 0 s 1 0 0 0 a5 a4 a3 0 b2 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解: 令 X1 y, X2 y, X3 y，则有 0 X1 0 1 0 X1 0 X2 0 0 1 X2 0 u 0 X3 3 7 X3 1 X1 y 2 3 1 X2 X3 相应的模拟结构图如下: 1 1- -6 6 (2(2)已知系统传递函数 解: W(s) 6(s 1) s(s 2 W(s) -6(s 1) s(s 2)(S 3737，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 X1 3 1 0 0 X1 0 X2 0 3 0 0 X2 1 X3 0 0 2 0

6、 X3 1 X4 0 0 0 0 X4 1 X1 10 1 X2 r 4 3 - 3 3 X3 X4 2)(s u y 3)2 (s 1 1- -7 7 给定下列状态空间表达式 x-i 0 1 0 x-i 0 x2 2 3 0 x2 1 u x3 1 1 3 x3 2 Xi y 0 0 1 x2 X3 (1) 画出其模拟结构图 (2) 求系统的传递函数 解： s 1 0 (2) W(s) (si A) 2 s 3 0 1 1 s 3 (2s 1) (s 2)(s 1) 1 1- -8 8 求下列矩阵的特征矢量 0 1 0 （3 3）A 3 0 2 12 7 6si A s(s (s 3)(s

7、2)(s 1) (si A) s 32 s 3 0 2(s 3) s(s 3) 0 s 5 s 1 (s 1)(s 2) Wux(s) (si A) 1B s 3 2 s 3 0 0 2(s 3) s(s 3) 0 1 s 5 s 1 (s 1)(s 2) 2 _ 1 (s 3)(s 2)(s 1) (s 3) s(s 3) (2s 1)(s 3) Wuy(s) C(si A) 1B (s 3) 1 s(s 3) (2s 1)(s 3) 1 (s 3)(s 2)(s 1) 1 (s 3)(s 2)(s 1) _ 1 (s 3)(s 2)(s 1) 3 6 2 11 6 0 0 解：A A 的特

8、征方程 解之得: 1, 2, 1时, 解得: p21 p31 （或令 P11 2时, 解得: p22 （或令 解得: 12 P11 P11 p21 p31 12 2 p12 , p32 p12 1，得卩2 p12 p12 p22 p32 3时， 3 12 p23 3 p13, p33 3p13 1 0 3 2 12 7 6 P11 P11 p21 p21 31 p31 1 1 得 1 1 ) 1 P12 P12 P22 2 P22 p32 p32 令 P12 2 1 2) 1 2 P13 P13 P23 3 P23 P33 P33 令p13 1 P1 得 得 1 1- -9 9 将下列状态空间

9、表达式化成约旦标准型 （并联分解） P11 p21 p31 P2 p12 p22 p32 P13 p23 p33 Xi 4 1 2 Xi 3 1 1 2 p31 (2) X3 y1 y2 解：A A 的特征方程 1,2 3, 3 3时, 解之得 p21 p31 P11 X1 X2 X3 X3 P11 p21 p31 令P11 P11 p21 p31 P11 1)( p21 3)2 4 1 2 P11 P11 1 当2 3时， 1 0 2 p21 3 p21 1 1 1 3 p31 p31 1 p12 1 解之得 p12 P22 1, p22 p32 令 P12 1 得 P2 p22 0 p32

10、 0 4 1 2 P13 P13 当3 1时， 1 0 2 P23 P23 1 1 3 P33 P33 p13 0解之得 p13 0 p23 2 p33 令P33 1 得 l3 p23 2Xi 4 1 2 Xi 3 1 1 2 1 p33 0 12 3 1 8 1 T B 1 1 2 2 7 5 2 0 1 1 5 3 3 4 1 1 0 1 2 0 3 1 4 CT 1 0 2 0 1 1 2 0 3 1 0 1 约旦标准型 3 1 0 8 1 x 0 3 0 x 5 2 u 0 0 1 3 4 3 1 4 y x 2 0 3 1 1- -1010 已知两系统的传递函数分别为 W W1（s

11、s）和 W W2（s s） 试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1 1 ）串联联结 （2 2 ）并联联结w(s) 1 s 2 s 1 F2 W2(s) 1 s 3 1 n W(s) W2(s)W1(s) 1 (s 1)(s 3) 1 (s 1)2 1 1 1 1 s 3 s 4 s 1 s 2 1 0 0 s 1 s 1 s 2 s2 5s 7 (s 2)(s 3)(s 4) 1 (s 1)(s 2) 1 1 1 1 1 W(s) W(s) W(s) s 1 s 1 s 2 s(s 3) 小 s 2 0 s 3 1 1- -11 11 （第 2 2 版教材

12、） 已知如图 1 1- -2222 所示的系统，其中子系统 s 3 1 1 s 1 s 2 s s 1 s 3 0 s 2 s s 1 1 I W,s)W2(s) W(s) s 1 s 2 1 1- -1 11 1（第 3 3 版教材）已知如图 1 1- -2222 所示的系统，其中子系统 1 1、2 2 的传递函数阵分别为 W(s) W2(s) 求系统的闭环传递函数 解: W (s)W21 (s) I W1(s)W(s) I 1 s 1 0 1 0 1 s 2 s 2 1 s 1 s 0 s 2 I W,s)W2(s) W(s) 口 (s 2)(s 1) 1 s 1 s 2 s(s 3) 1

13、 0 s 3 1 1、2 2 的传递函数阵分别为 1 1 1 1 1 W,(s) 求系统的闭环传递函数 解:W(s) y(k) 1 1 x(k) 1 W(s)W(s) s 1 2 I W(s)W(s) s 1 ( 1 s 1 r2 1 I W(s)W(s) s(s 1) s2 5s 2 1 W(s) I W(s)W(s) W1(s) s 3 s(s 1) (s 2)2 s2 5s 2 _2_ s 2 2 (s 1) (3s 8) (s 2)2 (s2 5s 2) s3 6s2 6s 2(s s (s 2)(s2 5s 2) 1 1 0 s 1 s 1 1 2 s 2 s 2 1 1 0 s 1

14、 s 0 1 2s 3 s 2 s 3 1 s 2 s s 2 2 s 1 s 3 1 s(s 1) s 2 s s 2 5s 2 2 s 2 s 1 2 s 3 1 s s( 2) s(s 2) 2) 2 1 1 s s 1 s 1 s 2 5s 2 s 2 s 2 5s 2 s 1 r2 1 1- -1212 已知差分方程为 y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 2u(k 1) 3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u u 的系数 b b（即控制列阵）为 解法 1 1 : W(z) 2z 3 z2 3z 2 x(k 1) 1 0 1 0 2X(k) 1U(k) 解法

15、 2 2 : Xi(k 1) X2(k) X2( 1) 2xk) 3x2(k) u y(k) 3x1 (k) 2x2(k) x(k 1) 0 1 0 x(k) u(k) 2 3 1 y(k) 3 2x(k) 求 T,T,使得T 1 1 1 1 1 1B 得T 1 所以 1 0 1 4 1 1 0 1 1 1 4 0 T AT 0 1 2 0 1 5 1 1 1 CT 3 2 3 1 0 1 所以， 状态空间表达式为 4 0 1 z(k 1) 5 1 z(k) 1 u(k) y(k) 3 1z(k) 章习题答案 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt 1 1 （2） A= 4 1 解：第

16、一种方法： 令 I A 0 1 1 2 则 0，即 1 4 0。 4 1 求解得到1 3， 2 1 第二种方法，即拉氏反变换法: s 1 1 sl A 4 s 1 si A 1 1 s 1 1 s 3 s 1 4 s 1 s 1 1 s 3 s 1 3 s 1 4 s 1 s 3 s 1 3 s 1 1 1 1 1 1 1 2 s 3 s 1 4 s 3 s 1 1 1 1 1 1 s 3 s 1 2 s 3 s 1 pii 1 1 P11 3 P AP1 1P1，得， 4 1 P21 3 P21 P11 P21 3 P11 1 可P 4pn P21 3 P21 2 2 1时，特征矢量 P2

17、P12 P22 1 1 P12 P12 巾2 2P2，得 4 1 P22 P22 p12 P22 口2 1 ，可令 P 4口2 P22 P22 2 1 1 11 丁 1 2 4 ，T 22 1 1 2 4 1 1 At 1 1 e3t 0 2 4 Pl P21 由 即 当 即 则T 2 2 0 由 t e 1 3t e 2 1 3时，特征矢量 e3t 1 3t e 4 1 3t e 2 1 t e 4 1 t e 2 第三种方法，即凯莱一哈密顿定理 2 2- -5 5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A A 阵。 2et 2t e 2e2t 2et (3) t t

18、 e 2t e 2e2t t e 1 t 3t 1 t e e e e 2 4 (4) t t 3t 1 t e e e e 2 1 0 0 0 1 1，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 1 0 eAt L 1 * * sI A 1 3t 1 t 1 3t 1 t e e e e 2 2 4 4 3t t 1 3t 1 t e e e e 2 2 1 3 0 1 1 3 3t e 4 4 3t e 1 1 1 t e 1 1 t e 4 4 At 1 3t 3 t 1 0 1 3t 3 t e -e e -e e 4 4 0 1 4 4 由第一种方法可知 1 3, 2 1 1 3t 3 t e

19、 e 4 4 1 3t 1 t e e 4 4 1 3t 1 t 1 3t 1 t1 1 e e e e 2 2 4 4 4 1 3t t 1 3t 1 t e e e e 2 2 解：（3 3）因为 2et 2e2t e t 2e2t 4e 21 2e 4e 2t A 2 2- -6 6 求下列状态空间表达式的解:(4(4)因为 0 A t .t 1 t 3 3t e e 2 2 t e 3e3t 1 t 3 3t e e 4 4 1 3 e e 2 2 1 1 4 1 t 0 si A 0 因为 B , u t i t 1 t t x 0 t Bu d 0 y 1 0 x 耳2 t 1 2

20、 2 2- -9 9 有系统如图 2.22.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为y 1,0 x 初始状态x 0 1 1 ,输入ut时单位阶跃函数。 0 1 解：A 0 0 s 1 si A 0 s si A s2 At e T=0.1sT=0.1s 和 1s1s，而u1和u2为分段常数。 2 2 t 2 2 t 2 1 0 1 列出状态方程 * ku1 x * x U2 y x 2x-| 1 0 k 0 U1 x x 1 0 0 1 U2 y 2 1 X2 则离散时间状态空间表达式为 ex k Du k eAtdtB 得: 图 2.2 2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结

21、构图 CT At e L1 si L1 At e T At t T e 0 k 0 H e dt d 0 0 1 eT 1 0 1 当 T=1T=1 时 1 e 0 x k 1 1 e 1 1 y k 1 2 1 x k 0.1 0当 T=0.1T=0.1 时 e x k 1 1 e 0.1 1 y k 1 2 1 x k 0.1 k 1 e 0 x k u k k e 0.1 0.9 0.1 1 e T 0 k 0 k 1 e T 0 T 1 eT T 0 1 k T 1 e T T k 1 e 1 0 x k u k ke 1 第三章习题 3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中

22、 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其 取值条件如何？ （1 ）系统如图 3.16 所示: u 解：由图可得: b -c O 图 3.16系统模拟结构图 X4 . 1 1 X1 ? aX1 u X2 bX ? X3 cXX2 X1 X1 X2 cX3 ? X4 X3 dX4 y X3 ? X1 a 0 0 0 X1 1 ? X2 ? 0 b 0 0 X2 0 1 1 0 uX3 c X3 0 ? 0 0 1 d X4 0 X4 y 0 0 1 0 x 由于X2、X3、X4与U无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 能观的，为不能观系统 （3）系统如下式： 解：如状

23、态方程与输出方程所示， A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行 元素不能为 0，故有 a 0,b 0 。 要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有c 0,d 0 3- 2 时不变系统 ? X y 试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法X1 ? 11 X2 01 ? X3 00 c0d y X 000 0 X1 2 1 0 X2 a 0 u 2 X3 b 0 状态空间表达式为： y 只与 x 3有关，因而系统为不完全 1 3 1 1 1 1 1 A ,B , 1 3 1 1 1 1 1 1 -2 - 2 M B AB 1 1 -2 -

24、 2 ran kM 1 2,系统不能控 rankN 2,系统能观。 方法二：将系统化为约旦标准形 1 1 C 1 1 N CA 2 2 4 4 2, 2 4 则状态矢量：AP A 2P2 2P2 P2 1 1 -1 T-1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 T-1AT 2 2 -3 1 1 1 2 2 T-1B 1111 2 0 CT 1-11-1 0 2 T-1 B 中有全为零的行，系统不可控。 CT 中没有全为 0 的列，系统可观 3- 3 确(1)A 1 1 ,b 1 ,C 1 0 2 1 -1 1 1 1 -2 0 -3 1 -1 0 -4 1 11 解：构造能控阵: M b 1

25、 1 1 Ab 1 2 要使系统完全能控，则 1 1 2，即 1 2 1 0 构造能观阵： C 1 1 N CA 1 1 2 要使系统完全能观，则1 2 1，即 1 2 1 0 3-4 设系统的传递函数是 y(s) s a u(s) s3 10s2 27s 18 (1 )当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ (2) 当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式 (3) 当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式 系统能控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当 方法 2 : a- a 3 a - 6 y(s) s a 10 6 1 u(s) (s 1

26、)(s 3)(s 6) s 1 s 3 s 6 1 1 2 3， 3 6 1 0 0 1 ? X 0 3 0 X 1 u 0 0 6 1 a 1 a 3 a 6 、, y - X 10 6 15 解：方法 1 : W(s) y(s) u(s) s a (s 1)(s 3)(s 6) a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观 (2) 当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型 系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观(2) 当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准

27、I 型 0 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u 18 27 10 1 y a 1 0 x (3)根据对偶原理，当 a=1, a=2 或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为 18 27 10 已知系统的微分方程为：y 6y 11y 6y 6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：3Q 6， 81 11， a? 6, 83 3， b 系统的状态空间表达式为 1 0 11 传递函数为 3-6 -1 W(s) C(sI - A) B s 11 6 -3 2 s 6s 11s 6 其对偶系统的状态空间表达式为: 6 11 传递函数为W(s) s3 6s26 11s 6 3- 9

28、已知系统的传递函数W(s) 2 s 6s 2 s 4s 3 (2) 当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型 试求其能控标准型和能观标准型。 2 s 6s 8 . 2s 5 2 1 2 s 4s 3 s 4s 3 系统的能控标准 I 型为 0 1 0 x x u -3 -4 1 y 5 2x u 能观标准 II 型为 0 -3 5 x x u 1 -4 2 y 0 1 x u 3- 10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 0 1 0 0 x 2 3 0 x 1 u 1 1 3 2 y 0 0 1 x 0 1 0 0 解：A 2 3 0 ，b 1

29、，C 0 0 1 1 1 3 2 0 1 3 M b Ab A2b 1 2 7 2 5 11 ran kM 2 3,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型 C 0 0 1 N CA 1 1 3 CA2 1 7 9 ran kN 3,系统为能观系统，可以变换为能观标准型。 3-11 试将下列系统按能控性进行分解 1 2 1 0 (1)A 0 1 0 ,b 0 ,C 1 1 1 0 4 3 1 解:解：W(s) 0 1 4 M 2 b Ab A2b 0 0 0 ran kM=23 ，系统不是元全能控的。 1 3 9 0 1 0 构造奇异变换阵 Rc :R1 b 0 , R2 Ab 0 , R3 1

30、，其中R3是任意的，只要满足Rc满秩 1 3 0 0 1 0 3 0 1 即R 0 0 1 得 R1 c 1 0 0 1 3 0 0 1 0 0 3 2 1 A 1 Rc1ARc 1 4 2 b 尺1b 0 c cRc 1 2 1 0 0 1 0 3-12 试将卜列系统按能观性进行结构分解 1 2 1 0 （1） A 0 1 0 ,b 0 ,C 1 1 1 0 43 1 1 2 1 0 解： 由已知得 A 0 1 0 ,b 0 ,C 1 1 1 0 4 3 1 C 1 1 1 则有 N CA 2 3 2 CA2 4 7 4 rank N=23 ，该系统不能观 1 1 1 构造非奇异变换矩阵Ro1，有Ro1 2 3 2 0 0 1 3 1 1 则 Ro 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 X R01AR0 R01bu 2 3 0 X 2 u 7 3 2 1 y cRX 10 0* 3- 13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1 1 0 0 1 (1) A 2 2 3 ,b 2 ,C 1 1 2 2 0 1