曲面的第二基本形式在曲面论中的作用

1、曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1 引言 为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有 向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的 第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理从而确定了曲面一点附近的结构与形状由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又 是曲面论中的难点本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等） ，曲面上 的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等） ，曲面上点的类型（如椭 圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第

2、二基本形式在曲面论中的作用2 曲面的第二基本形式2.1 定义曲面的第二基本形式C2 类曲面 S:rr rr u,v ，曲线 （C）: rr u s ,v srr s （ s为自然参数）为 S上过一固定点 P的曲线， 为 S在P点的切平面， nr 为曲面在 P点的单位法向量，则nr rr&ds2 nr rruudu2 2nr rruvdudv nr rrvvdv2（）令rrrrrLruun ， Mruvn ， Nrvvn（）则（）式变为r2rr2r22nd2rnd2rLdu22Mdudv Ndv2（）称之为曲面的第二基本形式，它的系数L、M 、 N称为曲面的第二类基本量1(P81 83)

3、它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍此外，对关系式 nr drr 0 微分得r r r 2rdn dr n d r 0所以曲面的第二基本形式也可写为r 2rr r n d r dn dr 般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明2.2 计算曲面的第二基本形式7由于曲面的单位法向量rvEGF2代入( 2)中得uu u v uu n EG F 2 ，uv nuv u vF2EGvvvv u vnEG F 2所以根据以上公式来计算曲面的第二基本形式1 计算球面 r Rcos cos ,Rcossin,Rsin的第二基本形式解 球面方程为 rrRcos cos ,Rcos s

4、in ,Rsin，所以有Rcos sin ,Rcos cos ,0 ， rRsin cos , Rsin sin ,Rcos于是得Err rr22R cos，Fr r r rr r0， G r rR2所以rrrrrncos cos,cos sin,sinEGF2又r rRcoscos ,Rcos sin,0r rRsinsin , Rsin cos ,0r rRcoscos ,Rcos sin, Rsin所以rr2rrrrLrnRcos ，Mrn 0 ， NrnR因而IIRcos2R3 法曲率3.1 法曲率设(C):rr u s ,v srr s 为曲面 S上经过一固定点 P的一条曲线 k为曲

5、线(C)在P点的曲率， 为 r 和 nr 间的夹角 0 ，则有kcos22II Ldu2 2Mdudv Ndv 222I Edu2 2Fdudv Gdv2对于曲面上的法截线 C0 有n ， 0 0 或 ， cos所以它的曲率k0III于是我们将knIII22Ldu 2 2Mdudv Ndv2Edu2 2Fdudv Gdv2称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率2( P158 159)求得所以时，时，时，knknkn例 求抛物面k0 ，法截面朝切面的正向弯曲；k0 ，法截面朝切面的负向弯曲；k0解 抛物面方程为例2利用法曲率公式证明对于球面 r0 ，法曲率和法截线曲率都等于零ax2kn2by2 在

6、0,0 点和方向du:dv 的法曲率x rx 1 ，a，kn1x,y,2 axxyIIby20， G ry ry 10 ， N n ryy badx2dx2 dy 2bdy2III 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinu 可求得2 2 22 2 2 2 2I R2cos2 vdu2 R2dv2 ， IIRcos2 vdu2 Rdv2所以球面上任意一点 P u,v 沿任意方向 du:dv 的法曲率为knIIIII knILdu 2 2Mdudv Ndv222Edu2 2Fdudv Gdv22RL E du2 2 RMF dudv2RN

7、 G dv2 0 又因为对于任一方向 d 成立，故有RLE0 du1,dv0RMF0 dudv1RNG0 du0,dv1所以EFGRLMN3.3 梅尼埃( Meusnier )定理从()式和()式得kn kcosRn 为曲线 C0 的曲率半径，则11若设 R， Rn， R 为曲线 C 的曲率半径，kknR Rn cos上式的几何意义就是 :梅尼埃( Meusnier )定理曲面曲线C 在给定点 P 的曲率中心 C 就是与曲线C 具有共同切线的法截线C0 上同一点 P的曲率中心 C0 在曲线 C 的密切平面上的投影1(P90) 曲面上的各种曲率4.1 主曲率及欧拉 (Euler) 公式 既然曲面

8、上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规 律进行研究定义 在曲面上一点 P ，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向 2( P164)主方向满足方程22EM FM du2 EN GL dudv FN GM dv2 0 主曲率满足方程EG F2 kN2LG 2MF NE kN LN M 20曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向罗德里格（ Rodrigues ）定理 若方向（ d）是主方向，当且仅当dnkn

9、dr ，kn为曲面沿（ d）的法曲率 1（ P97）欧拉 （Euler） 公式 :22kn k1 cosk2 sin是任意方向（）与曲线的夹角1( P100)欧拉 （Euler） 公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（）的法曲率都可以由方向（）和曲线的夹角 来确定而主曲率与法曲率有着下面的关系 :命题 !（ P101） 曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小 值22例 1 确定抛物面 z a x2 y2 在 0,0 点的主曲率解 抛物面的方程 rr x,y,a x2 y2 可求得在 0,0 处E 1， F 0 ，G 1 ；L2a，M 0， N 2a把第一、二基

10、本量代入主曲率方程（）得2akN220解得k1k22a例 2 证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数 2H 证明 设该点相互成直角方向的法曲率分别为kn和 kn ，则由欧拉公式得22kn k1cosk2 sin所以kn k1 cos2k2 sin 2k1sin221k2 cos2knknk1 k22H 4.2 高斯 (Gauss) 曲率和平均曲率若 k1 ， k2 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积k1k2 称之为曲面在这一点的高斯曲率Gauss)，通常以 K 表示，它们的平均数1(k1 k2) 称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表2示 2( P174)根据主曲率

11、的方程()利用二次方程根与系数的关系得k1k2LN M 2F2EG12(k1k2)LG 2MF NE2 EG F 208因而主曲率的方程也可以表示为kN22HkN0例 求正螺面 r u cosv,u sin v, av 的高斯曲率和平均曲率解 由正螺面方程 ru cosv, u sin v, av 得0，G因此Ln0，Ma，N n rvv 0例 2 如果曲面的平均曲率为零，LN M 2EG F 2LG 2MF2a22uaNE22 EG F 202 u2a20则渐近线网构成正交网证明 因为曲面的平均曲率LG 2MF NEH2 EG F 2所以LG 2MF NE 0设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则

12、LN0于是M F 0 ，即 F 0( 若 M 0 ，则曲面上的点为脐点 ) 所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网5 曲面上点的类型5.1 杜邦 (Dupin) 指标线为了研究曲面上一点 P 处法截线的法曲率的关系， 在点 P的切平面上取点 P为原点，坐标曲线r r 1在 P点的切向量 ru和 rv 为基向量， kn为对应方向 (d )的法曲率为，为法曲率半径的绝对值， 过kn点方向( d )画线段 PN ，使其长度等于 1 ，对于切平面上所有方向，点 N 的轨迹称为曲面在点 P的杜邦(Dupin) 指标线 1(P91 92)杜邦 (Dupin) 指标线的方程为22Ldx2 2Mdxdy

13、Ndy215.2 曲面上点的分类利用杜邦 (Dupin) 指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的高斯曲率 K 来对 曲面上的点进行分类 (如表 52) 3(P64)表 5 2类型LN F 2K杜邦 (Dupin) 指标线椭圆点>0>0椭圆双曲点<0<0双曲线抛 物 点00抛物线EFG脐点:，其中圆点 : L,M,N 0,0,0 ，平点 : L M N 0LMNr 3 2例 求曲面 r v3,u2,u v 上的抛物点的轨迹r 3 2解 由 r v3,u2,u v 得16E 4u2 1， F1， G 9v4 12L 6v2 ， M 0 ， N 12uvLNM2

14、72uv3EGF2则所求抛物线的轨迹为u0或v0rr1 v3,0, v ,rr2 0,u2,u6 曲面上的特殊曲线和曲线网1(P98)6.1 曲率线及曲率网定义 1 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线曲率线的微分方程为22dvdudvduEFG0 LMN1( P99)定义 2 两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网 1(P98)命题 1 在不含有脐点的曲面上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网命题 2 曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是 F M 0 1(P99)例 确定螺旋面 x ucosv， y usinv， z cv 上的曲率线解 螺旋面方程 rr u cosv,u

15、sin v, cv 可以求得22E 1， F 0 ， G u2 c2L 0， M由曲率线的方程得化简得积分得所以曲率线为dv2lnln u u2 c2dudvdu222ucu2dvduu222ucc1，ln uc2vcv c2例 2 若曲面的充要条件是S1 ，S2沿着 (C)相交成固定角S1 ， S2交于一条曲线 (C) ，而且(C)是S1的一条曲率线， 则(C)也是 S2的曲率线证明 设 S1 ，S2两曲面的切向量为 n1， n2 ，相交曲线 (C):r r (u,v)是一条曲率线由罗德里格( Rodrigues )定理知 dn1 1dr 若 (C) 也是 S2 的曲率线的充分必要条件为dn

16、22dr1dr n2 n1 2dr100 0n1 n2常数rrn1 n2 cosn1,n2 常数n1,n20(常数)沿 (C)曲面 S1， S2的夹角为定角6.2 渐近曲线及渐近网定义 1曲面 S上一固定点 P 处，使0 的方向称之为曲面在点 P 的渐近方向 1( P93)定义 2若曲面 S 上一条曲线 C 的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线1(P93)定义 3如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面上的渐近网1( P94)渐近曲线的微分方程为22Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 命题 1 曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条直线，或者它在

17、每一点的密切平面与曲面的切平面重合2( P192)命题 2 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 L N 0 1(94)例 1 求曲面 z xy2 的渐近曲线解 由求曲面方程为 rr x, y, xy2 得221 4x2y22x2 2 2 1 4x y y43E 1 y4 ， F 2xy3 ， GL 0，M22y2 2 ，N1 4x2y2 y2 由渐近曲线的微分方程得21 dy 0 与 dx dy 0 xy所以渐近曲线为2y c1 或 x y c2 例 2 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近曲线r r r r r证明 设曲线 C :r r s ，则主法线曲面 S:r r s t s 对 s

18、 微分得rrs rr& s tr& srstr kr r rss 1 tk a s t s对 t 微分得rrrts曲面 S 的法向量rrrrrNrrsrt1tks t s沿曲线 C ， t 0，所以rrrrN即N那么rrknkcoskcosN, kcos 02因此曲线 C 为渐近曲线6.3 共轭网定义 曲面 S上两个方向 drr与 rr，若 dnr rr drr nr 0则称它们为互相共轭的方向 若曲面 S 上两族曲线的方向在每一点都是共轭方向，则这两族曲线构成共轭网 3(P69)命题 曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 M 0 1( P95) 例 证明在曲面 z f(x) g(y) 上曲线族 x 常数