最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一 . 概念 : 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满足的条件的函数, 如函数的定义域, 解析递推式, 特定点的函数值,特定的运算性质等, 它是高中函数部分的难点, 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点, 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体, 因此理解研究起来比较困难， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于 f (x) 定义域内的每一个x，都存在非零常数T ，使得 f (x T) f (x) 恒成立，则称函数f (x) 具有周期性，T 叫做 f

2、 (x) 的一个周期，则kT( k Z,k 0)也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正数叫f(x) 的最小正周期。分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: y f (x),x a,b,T b a。 把 yf(x)沿 x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像：y f (x kT), x kT a, kT b 。f (x) x a,bf(x)f(x kT) x kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f(x),x a,b 或 x b, a a,b若 f ( x) f (x),则称 yf (x)为奇函数；

3、若 f( x) f (x)则称y f ( x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：1)中心对称即点对称：点A(x, y)与 B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称； 点 A(a x,b y)与 B(a x,b y)关于 (a,b)对称； 函数 yf (x)与 2b y f (2a x)关于点(a, b)成中心对称； 函数by f (a x)与 by f (ax)关于点(a,b)成中心对称； 函数F(x, y) 0与 F(2ax,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。2)轴对称：对称轴方程为：Ax By C 0 点 A(x, y)与 B(x/,y/)B(x2A(Ax By C)

4、22A2 B22B(Ax By C)22A2 B2)关 于直线 Ax By C 0成轴对称；函数 y f (x)与 y 2B(Ax2 By2 C) f(x 2A(Ax2 By2 C)关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。 F(x,y) 0与 F(x 2A(Ax2 By2 C),y 2B(Ax2 By2 C) 0关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。二、 函数对称性的几个重要结论(一)函数y f ( x) 图象本身的对称性(自身对称)若f(xa)f(xb) ，则f(x) 具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x) 具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表

5、示对称性”。1 、 f ( a x)f(b x)yf ( x) 图象关于直线x(a x) (b x)a b 对称22推论 1： f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论2、 f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称推论3、 f ( x) f(2a x) y f ( x)的图象关于直线x a对称2、f (a x) f (b x) 2c y f (x) 的图象关于点( a b c) 对称2推论 1、 f (a x) f (a x) 2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) f (2a x) 2byf (x)的

6、图象关于点(a,b)对称推论3、f ( x) f(2a x) 2byf (x) 的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数yf ( x) 与yf ( x) 图象关于Y轴对称2、奇函数yf ( x) 与y f ( x ) 图象关于原点对称函数4、互为反函数y f (x)与函数 y f 1(x) 图象关于直线y x对称ba5. 函数 y f (a x) 与 y f (b x) 图象关于直线x 对称2推论 1: 函数 y f (a x) 与 y f (a x) 图象关于直线x0对称推论2: 函数yf (x)与y f (2a x)

7、 图象关于直线xa对称推论3: 函数yf ( x) 与 y f(2a x) 图象关于直线xa对称(三) 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数y f(x) 关于直线x a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a x) f(a x)(2) f(2ax) f(x)(3) f(2ax) f( x)性质 2 若函数 y f(x) 关于点(a， 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a x) f(a x)(2) f(2a x) f(x)(3) f(2a x) f( x)易知， y f(x) 为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a 0 时的特例。2、复合函数

8、的奇偶性定义 1 、 若对于定义域内的任一变量x，均有fg( x) fg(x) ，则复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有fg( x) fg(x) ，则复合函数yfg(x)为奇函数。说明：( 1) 复数函数fg(x) 为偶函数，则 fg( x) fg(x) 而不是 f g(x) fg(x) ，复合函数yfg(x) 为奇函数，则fg( x) fg(x) 而不是f g(x) fg(x) 。( 2)两个特例：yf(x a) 为偶函数，则f(x a) f( xa)；y f(x a)为奇函数，则f( x a) f(a x)( 3) y f(x a) 为偶(或奇)函数，等价

9、于单层函数yf(x) 关于直线x a 轴对称(或关于点(a，0)中心对称)3、复合函数的对称性性质 3 复合函数y f(a x) 与y f(b x) 关于直线x(ba) /2 轴对称性质4、复合函数y f(a x) 与yf(b x) 关于点(ba)/2 ， 0)中心对称推论 1 、 复合函数y f(a x) 与y f(a x) 关于 y 轴轴对称推论2、复合函数y f(a x) 与yf(a x)关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数y f(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y f(x) 是周期函数，且2|a| 是它的一个周期。 f(xa) f(x

10、a) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 y f(x) 同时关于直线x a 与x b 轴对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T 2|a b|性质6、 若函数y f(x) 同时关于点(a， 0)与点(b， 0)中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且T 2|a b|性质7、 若函数y f(x) 既关于点(a， 0)中心对称，又关于直线x b 轴对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T 4|a b|6 、函数对称性的应用( 1)若 yf (x)关于点(h,k)对称，则x x/ 2h,y y/ 2k, 即f(x) f(x/

11、) f(x) f(2h x) 2kf(x1) f(x2)f(xn) f(2h xn)f(2h xn 1) f(2h x1) 2nk( 2)例题ax1 11、 f (x)关于点(， )对称：f (x) f (1 x) 1 ;a a224x 1f (x) 4 x 11 2x 1关于(0，1)对称：f (x) f ( x) 2f(x) 1( R,x 0)关于(1 ， 1 )对称：f( x) f(1) 1x 122x2 、奇函数的图像关于原点(0，0)对称：f(x) f ( x)0。3 、若 f (x) f (2a x)或f (ax)f (a x),则y f (x) 的图像关于直线x a 对称。设 f

12、 (x)0有 n个不同的实数根，则x1x2xnx1(2ax1 )x2(2ax2 )xn(2axn) na .22(当 n 2k 1时，必有x1 2a x1 ,x1a)三、函数周期性的几个重要结论1 、 f (x T) f (x) ( T 0)y f (x) 的周期为 T ， kT ( k Z ) 也是函数的周期2、 f (x a)3、 f (x a)4、 f (x a)5、 f (x a)6、 f (x a)7、 f (x a)8、 f (x a)f(x b)f(x)1f (x)1f (x)1f (x)1f (x)1f (x) 11f (x)1f (x)yf (x) 的周期为Tbayf (x)

13、 的周期为T2ayf (x) 的周期为T2ayf (x) 的周期为T2ayf (x)的周期为T3ay f (x) 的周期为 T 2a9、 f (x 2a)f (x a) f (x)y f (x) 的周期为 T 6ayf (x) 的周期为T4a10、若p 0, f ( px) f ( px p) , 则 T py f (x)有两条对称轴x a和 x b (b a) y f (x) 周期 T 2(b a)推论：偶函数y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期 T 2a12、 y f (x)有两个对称中心(a,0)和 (b,0) (b a) y f (x) 周期 T

14、2(b a)推论：奇函数y f(x)满足 f (a x) f(a x) y f(x) 周期 T 4a13、 y f (x) 有一条对称轴x a和一个对称中心(b,0) (b a) f (x)的 T 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、 周期性与对称性， 可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值例 1. ( 1996 年高考题)设f (x) 是 (,) 上的奇函数，f (2 x) f(x), 当0 x 1 时， f(x) x，则 f (7.5)等于( -0.5 )( A) 0.

15、5;( B) -0.5;( C) 1.5;( D) -1.5.例 2 ( 1989 年北京市中学生数学竞赛题)已知f(x) 是定义在实数集上的函数，且3 2。1x1998,试比较f(x 2) 1 f(x) 1 f (x)，f(1) 23, 求 f(1989)的值 . f (1989)2、比较函数值大小例 3. 若 f (x)(x R)是以 2 为周期的偶函数，当x 0,1 时， f (x)98f(19)、101f(17)、104f () 的大小 .15解：0 117f (x)(x16 1419 15R) 是以 2 为周期的偶函数，又f (x)116141011，f(1)f (16)f(14),

16、即f(1011719151711998 x在 0,1 上是增函数，且998)f (11054).3、求函数解析式例 4. ( 1989 年高考题)设f (x) 是定义在区间) 上且以 2 为周期的函数，对k Z ，用 I k 表示区间(2k1,2k 1), 已知当 xI 0 时，2f (x) x2.求 f (x)在 I k上的解析式 .解：设 x (2k 1,2k1), 2k1x2kx 2kx I 0 时，有 f (x)x2, 由1x2k1得 f(x2k) (x2k)2f (x)是以 2 为周期的函数，f(x2k)f (x),f (x) (x2k)2.例 5设f (x) 是定义在() 上以 2

17、 为周期的周期函数，且f (x) 是偶函数，在区2,3 上， f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 时， f (x) 的解析式 .解：当 x 3, 2 ，即 x 2,3 ，22f (x) f ( x) 2( x 3)2 42(x 3)2 4又 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，于是当x 1,2 ，即 3 x 42时，有 f (x) f (x 4)22f(x) 2 (x 4) 3 思路类似. 42(x 1)2 4(1 x 2).2f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判断函数奇偶性例 6. 已知 f (x) 的周期为4，且等式f (2 x) f(2 x) 对任意 x R均

18、成立，判断函数f (x) 的奇偶性.解：由 f (x) 的周期为4，得f(x) f(4 x)，由 f(2 x) f (2 x)得f ( x) f(4 x) ， f( x) f(x),故 f(x)为偶函数 .5、确定函数图象与x 轴交点的个数例 7. 设函数 f (x) 对任意实数x满足 f (2 x) f (2 x)， f (7 x)f(7 x)且 f (0) 0, 判断函数f (x) 图象在区间30,30 上与 x轴至少有多少个交点解：由题设知函数f (x) 图象关于直线x 2和 x 7对称，又由函数的性质得f (0)0且 f (x)不能恒为零,f (x) 是以 10 为周期的函数. 在一个

19、周期区间0,10 上，f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2)故 f (x) 图象与 x 轴至少有2 个交点 .30,30 有 6个周期，故在闭区间30,30 上 f (x) 图象与 x轴至少有13 个交点.6、在数列中的应用例 8. 在数列 a n 中，a13,anaan 1 (n 2) ，求数列的通项公式，并计算an 1a1a5a9a1997 .分析：此题的思路与例解：令 a1 tg , 则a21a11a1tg1 tgtg(4)a31 a21 a21 tg(4)1 tg(4)tg(2 4an1 tg (n 1) 4, 于是an1 an 11 an 1tg(n 1)4不难

20、用归纳法证明数列的通项为：an tg( n ) ，且以 4 为周期 .n 44于是有 1， 5， 9 1997 是以 4 为公差的等差数列，a1a5a9a1997，由1997 1 (n 1) 4得总项数为500 项，a1a5a9a1997500 a1500 3.7、在二项式中的应用例 9. 今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可解： 9292(91 1)92 C0 9192 C1 9191 C90 912 C91 91 1解：() C 92C92C 92C 929292(7 13 1)92C902(7 13)92 C

21、912(7 13)91C9920(7 13)2C9921(7 13) 1因为展开式中前92 项中均有7 这个因子，最后一项为1，即为余数，故 9292天为星期四.8、复数中的应用例10.(上海市1994年高考题)设 z 13 i(i是虚数单位)， 则满足等式zn z,22且大于 1 的正整数n 中最小的是( A) 3；( B) 4；( C) 6；( D) 7.13分析：运用zi 方幂的周期性求值即可.22解： zn z, z(zn 1 1) 0 zn 11，z3 1, n 1必须是3的倍数,即 n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1时 , n最小, (n)min4.故选择(B)

22、9、解“立几”题例 11.ABCD A1B1C1D1 是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1A1D1, 黑蚁爬行的路线是AB BB1. 它们都遵循如下规则：所爬行的第i 2段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i N ) . 设黑白二蚁走完第1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( A) 1 ；( B)2 ； ( C)3；( D) 0.解：依条件列出白蚁的路线AA1A1 D1D1C1C1CCBBA AA1, 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点 . 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断

23、每六段是一个周期.1990=6 331 4 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是2.例题与应用例 1： f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4)， x 0 ， 2 时 f(x)=x ， 求 f(2007) 的值例2： 已知 f(x) 是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1 f(x)=1+f(x)， f(1)=2 ，求f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(251× 8+1)=f(1)=2例3：已知f(x) 是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x) ，且当 x 2,0 时， f(x)=

24、2x+1 ，则当 x 4,6 时求 f(x) 的解析式例 4：已知 f(x) 是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1 ， f(999+x)=f(999 x) ，f (x)试判断函数f(x) 的奇偶性.例5：已知f(x) 是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x) ，且当 x 2,0 时， f(x) 是减函数，求证当x 4,6 时 f(x) 为增函数例 6： f(x) 满足 f(x) =-f(6-x) ， f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000) ， a 5 ， 9 且 f(x)在 5 ， 9 上单调 . 求 a 的值 .例7：已知f(x) 是定义在R上的函数，f(x)= f(4 x) ， f(7+x)= f(7 x),f(0)=0 ，求在区间 1000， 1000 上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意f(x) 关于x=2， x=7 对称，类比命题2( 2)可知f(x) 的一个周期是10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0 ， 10 上，方程f(x)=0 至少两个根又 f(x) 是周期为10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0 在区间 1000， 1000 上至少有1+2 2000 =401 个根 .10例 1