定积分与微积分基本定理期末复习学案教师用详解

1、欢送共阅积分与微积分根本定理一、非常了解、测试大纲了解定积分的实际背景,了解定积分的根本思想,了解定积分的概念了解微积分根本定理的含义.二、非常考题、高考真题例1、20217?夏设y=f x为区间0, 1上的连续函数,且恒有0&fx可以用随机模拟方法近似计算积分 J上 虫,先产生两组每组N个区间0, 1上的均匀随机数X1,X2,XN 和yi, y2,yN,由此得到N个点Xi,yii=1 ,2,N,再数出其中满足ymfxii=1 ,I I2,N的点数N1,那么由随机模拟方案可得积分x心的近似值为.考点：定积分在求面积中的应用；模拟方法估计概率；几何概型.专题：计算题.分析：要求10f x

2、 dx的近似值,利用几何概型求概率,结合点数比即可得. I % / /解答：解：由题意可知 号.,0f ；&得J X i v/, jf故积分J狂工dx的近似值为一.点评：此题考查几何概型模拟估计定积分值,以及定积分在面积中的简单应用,属于根底题.例2、计算J :也二不入的结果是A、 4 兀B、 2兀.兀D> 2考点：定积分.专题：计算题.分析：根据积分所表示的几何意义是以0, 0为圆心,2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的 面积,只需求出圆的面积乘以四分之一即可. .解答：解：彳匕二下女表示的几何意义是以0, 0为圆心,2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积J斯一7dx=,冗X

3、 4=冗应选：C点评：此题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求解,属于根底题.例3、20217T东甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线行驶.甲如下图.那么对于图中给定的 t0和t1,以下判断中一B、3时刻后,甲车在乙车后面D、t0时刻后,乙车在甲车前面车、乙车的速度曲线分别为 V甲和V已定正确的选项是A、在t1时刻,甲车在乙车前面C、在t0时刻,两车的位置相同欢送共阅考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象.专题：数形结合.分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程, 那么在t0时刻甲在乙的前 面；又由

4、于在tl时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程,甲在乙的前面； 同时在to时刻甲乙两车的速度一样,但是路程不一样.最后得到A正确,B、C、D错误.解答：解：当时间为to时,利用定积分得到甲走过的路程=1>v甲dt=a+c,乙走过的路程=i2v乙dt=c； J 0J 0当时间为ti时,利用定积分得到甲走过的路程=f ：,v甲dt=a+c+d,而乙走过的路程=：iv乙 dt=c+d+b;从图象上可知a>b,所以在ti时刻,a+c+d>c+d+b即甲的路程大于乙的路程,A正确；ti时刻后, 甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程,甲车不一定在乙车后面,所以 B错；在t

5、o时刻,甲乙走 过的路程不一样,两车的位置不相同,C错；to时刻后,ti时刻时,甲走过的路程大于乙走过的路程,所以D错.故答案为A点评：考查学生利用定积分求图形面积的水平,以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的水平, 数形结合的数学思想的运用水平.例4、由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积为 18 .考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题；数形结合.-二,分析：先求出曲线y2=2x和直线y=x-4的交点坐标,从而得到积分的上下限,然后利用定积分表示出图形面积,最后根据定积分的定义求出即可.解答：解：V二2,解得曲线y2=2x和直线y=x-4的交点坐标为：(2, - 2) ,

6、 (8, 4) (产工-4dy=(-y2+4y -y3) | 24=18选才y y为积分变量由曲线y2=2x和直线y=x - 4所围成的图形的面积S= J故答案为：18点评：此题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的水平.应用定积分求平面图形面积时,积分变量的选取是至关重要的,属于根底题.例5、假设y=f (x)的图象如下图,定义F (工)=J衽(t) dt, 0, 1,那么以下对F (x)的性质描述正确的有(1) (2) (4).(1) F (x)是0, 1上的增函数；(2) F' (x) =f (x);(3) F (x)是0, 1上的减函数；(4) ?xoC

7、0, 1使得 F (1) =f (xo).考点：定积分；导数的概念.专题：计算题；数形结合.分析：根据定积分的几何意义,连续曲线y=f (x) >0在a, b上形成的曲边梯形的面积为 S=£bf (x) dx,可得如图的阴影局部的面积为 F (x),根据上边的图形得到F (x)为增函数；且f (x)为F (x)的原函数；根据下边的图形可得(4)正确.解答：解：由定积分的集合意义可知,F (x)表示图中阴影局部的面积,且 F' (x) =f (x),当xo逐渐增大时,阴影局部的面积也逐渐增大,所以F (x)为增函数,故(1)、(2)正确；由定积分的几何意义可知,必然)？x

8、oC0, 1,使S1=S2,欢送共阅止匕时 S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即 F (1) = 61f (t) dt=f(X0),故(4)正确.所以对F (x)的性质描述正确的有(1) (2) (4)故答案为：(1) (2) (4)三、非常练习、当堂检测1、(2021砌南)由直线三,x二三,尸.与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为( 33A> - B、1C 匚 D、二 2考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题.分析：为了求得与x轴所围成的不规那么的封闭图形的面积, 可利用定积分求解,积分的上下限分别为三与-Z, cosx即为被积函数.33解答：解：由定积分可求得阴影局部的面积

9、为S= Icosxdx= M I ,百W所以围成的封闭图形的面积是V5.应选 d . 点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等根底知识,考查运算求解水平, 化归与转化思想、考查数形结合思想,属于根底题.2、 (2021?山东)由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为()考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题.分析：要求曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求01 (x2-x3) dx解答：解：由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1), (0, 0)故积分区间是0, 1 1 I,所求封闭图形的面积为/ (x2-x3) dx-应选A.点评：

10、此题考查定积分的根底知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积.3、从如下图的正方形OABC区域内任取一个点M (x,y),那么点M取自阴影局部的概率为(B、A、C、考点：定积分在求面积中的应用；几何概型.专题：计算题.分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率,须结合定积分计算叶形图(阴影局部)平面区域的面积,再根据几何概型概率计算公式易求解.欢送共阅解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型, 由图可知根本领件空间所对应的几何度量 S (Q) =1, 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：3S(A)= J o- 工与 d行(!) 工3)I J =1_1所以p (A) =£

11、22一/S 1 3应选B.点评：几何概型的概率估算公式中的 几何度量,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个 几 何度量只与 大小有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为：求出满足条件 A的根本领件对 应的 几何度量" N(A),再求出总的根本领件对应的 几何度量 N,最后根据P_L求解.N4、如图中阴影局部的面积是()A、2aB、9一班33考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题.I ；分析：求阴影局部的面积,先要对阴影局部进行分割到三个象限内,分别对三局部进行积分求和即解答：解：直线y=2x与抛物线y=3-x2解得交点为(-3, -6)和(1, 2)抛物线y=3 x2与x轴负半

12、轴交点(在,0)设阴影局部面积为s,那么s= I 1 (3 - x 2- 2x) d +J) d - J 2?2xd + J £ (3 - x2) dU甚VJA-iii-A=w32=3. 323,应选C.I I所以阴影局部的面积为点评：此题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在x轴下方的局部积分为负(积分的几何意义强调代数和),属于根底题.5、(2021?昌建)J j 1r (1+cosx) dx 等于()2A、兀B、 2C、兀2 D、兀+2考点：定积分.专题：计算题.分析：由于 F (x) =x+sinx 为 f (x) =1+cosx 的一个原函数即 F&#

13、39; (x) =f (x),根据 abf (x) dx=F (x) |ab公式即可求出值.欢送共阅解答： 解：= ( x+sinx) ' =1+co§xITTT J z n (1+cosx) dx= (x+sinx) | 2 汗 22=2L+sin2L- L-?sin(-?)=兀+2应选D点评：此题考查学生掌握函数的求导法那么,会求函数的定积分运算,是一道中档题.x ) , 0<o<l,那么X0的值为6、 (2021?山东)设函数 f (x) =ax2+c (aw.考点：定积分的简单应用.分析：求出定积分0f (x) dx,根据方程ax02+c=01f (x)

14、dx即可求解.解答：解：' f (x) =ax2+c (awjD ,. f (x.)= /f (x) dx=-+cx01 +c,又= f (x.)=ax02+c.33x02 '.x00, 1.乂0=立.33点评：此题考查了积分和导数的公式,属于根本知识根本运算.同时考查了恒等式系数相等的思想. 四、非常提升、课后作业1、假设 30k (2x-3x2) dx=0,贝 U k 等于()：二,A、0B、1C、0或1 D、以上均不对 I i考点：定积分.专题：计算题.分析：利用定积分公式求出等式左边的值,利用其等于0解出k的值即可.解答：解：0 (2x3x2) dx= 6k2xdx 0

15、k3x2dx=x2|0k x3|0k=k2 k3=0,解可得k=0假设k=1.应选C点评：考查学生利用定积分解方程的育约.2、如下图,曲线y=x2和曲线y=T围成一个叶形图(阴影局部),其面积是(A、1 B、工2 - C、D、S7考点：定积分；定积分的简单应用.专题：计算题.分析：联立由曲线y=x2和曲线y=4两个解析式求出交点坐标,然后在 x (0, 1)区间上利用定 积分的方法求出围成的面积即可.解答：解:1y=0设曲线与直线围成的面积为 S, 那么 S=61 (代-x2) dx=欢送共阅应选：C点评：考查学生求函数交点求法的水平,利用定积分求图形面积的水平.3、以下计算错误的选项是()A

16、、 /sinxdx=0B、 01Vxx=-3 nnC、J 2 c cosxdx=2 J c cosxdxD、/兀 sin2xdx=02考点：定积分.专题：计算题.分析：利用微积分根本定理求出各选项的值,判断出 D错.解答： 解： /sinxdx= ( cosx)卜= ( cos/ ( cos (一 / =0 TTJT由于y=cosx为偶函数所以J 2 n8sxd"2 f cosxdx 27T , 2_n 1 - cos2k.“ ,:.,一九应选D点评：此题考查利用微积分根本定理或定积分的几何意义求定积分值4、(2021?陕西)从如下图的长方形区域内任取一个点M (x, y),那么点M

17、取自阴影局部局部的概率为工.一一,一 3一考点：定积分的简单应用.专题：数形结合.分析：此题利用几何概型概率.先利用定积分求出图中阴影局部局部的面积,再结合概率计算公式求出阴影局部局部面积与长方形区域的面积之比即可.解答：解：长方形区域的面积为3, 阴影局部局部的面积为 一：安,"I1 口I - I所以点M取自阴影局部局部的概率为工-,3故答案为：工.3点评：此题考查的定积分的简单应用,解决此题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式. 简 单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.5、由曲线产工

18、和直线y=x - 4, x=1 , x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1 .K考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题.分析：曲线y=1与直线y=x-4, x=2, x=1所围成的图形面积可用定积分计算,先求出图形横坐标范围,再代入定积分的公式求出结果即可.(1解答：解：联立两条直线的方程, x ,得, 二 和, 7号y=x-4 LT -2-V5欢送共阅曲线y=与直线y=x - 4, x=2, x=1所围成的图形面积为=x+4)dK= ( 1x2+lnx+4x) |i2=ln2+-,:22故答案为：ln2+5 2点评：此题考查利用定积分求封闭图形的面积, 解题的关键是利用方程联立做出两个函

19、数的交点坐 标,不停地交点的坐标在解题中用不到,此题是一个根底题.26、如下图,计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影局部的面积S= $ .23考点：定积分在求面积中的应用.专题：计算题.分析：先将阴影局部的面积用定积分表示 0 (x2) dx,然后根据定积分的定义求出此值即可.2I Z解答：解：阴影局部的面积为0 (x2) dx,2而广(-x2) dx= (lx3) |02=, 263故答案为：工3点评：此题主要考查了阴影局部的面积用定积分表示,以及定积分的求解,属于根底题.7、(1977?昌建)求定积分 1 (x/+x2e2) dx.考点：定积分的简单应用.分析：应用导数公式确定被积函数xj：2+x2e2的原函数再根据牛莱公式求解.解答：解：J : (xex+x2e2) dx- Jf :工气 2dx.其中上产ddJ ；4小