空间向量的数量积运算ppt课件

1、3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算课标要求课标要求素养达成素养达成1.1.掌握空间向量夹角的概念及表示掌握空间向量夹角的概念及表示方法方法, ,掌握两个向量的数量积的概掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律念、性质和计算方法及运算律. .2.2.掌握两个向量的数量积的主要用掌握两个向量的数量积的主要用途途, ,会用它解决立体几何中一些简会用它解决立体几何中一些简单的问题单的问题. .通过对空间向量的学习通过对空间向量的学习, ,培养学生培养学生观察分析、类比转化能力观察分析、类比转化能力, ,提高学提高学生的空间想象力生的空间想象力. .新知探求新知探求

2、素养养成素养养成知识点一知识点一如下图如下图, ,知平面向量知平面向量a,b.a,b.问题问题1:1:试作出向量试作出向量a,ba,b的夹角的夹角. .空间向量的夹角空间向量的夹角答案答案: :如图如图,AOB,AOB为为a a和和b b的夹角的夹角. .问题问题2:2:假设假设a,ba,b为空间非零向量为空间非零向量, ,两向量还有夹角吗两向量还有夹角吗? ?假设有试作出假设有试作出. .AOB AOB (2)(2)夹角的范围夹角的范围空间恣意两个向量的夹角空间恣意两个向量的夹角的取值范围是的取值范围是 . .特别地特别地, ,当当=0=0时时, ,两向量同向共线两向量同向共线; ;当当=时

3、时, ,两向量反向共线两向量反向共线, ,所以假设所以假设ab,ab,那么那么=0=0或或;当当= = 时时, ,两向量垂直两向量垂直, ,记作记作ab.ab.0, 0, 2知识点二知识点二空间向量的数量积空间向量的数量积问题问题3:3:平面向量中平面向量中,(ab)c=a(bc),(ab)c=a(bc)对吗对吗? ?在空间向量中呢在空间向量中呢? ?答案答案: :不对不对,(ab)c,(ab)c表示一个与表示一个与c c共线的向量共线的向量, ,而而a(bc)a(bc)表示一个与表示一个与a a共线的向量共线的向量,c,c与与a a却不一定共线却不一定共线. .在空间向量中也不对在空间向量中

4、也不对. .梳理梳理(1)(1)定义定义: :知两个非零向量知两个非零向量a,b,a,b,那么那么 叫做叫做a,ba,b的的数量积数量积, ,记作记作ab.ab.|a|b|cos|a|b|cos(2)(2)数量积的运算律数量积的运算律数乘向量与向量数乘向量与向量数量积的结合律数量积的结合律(a) )b= = . .交换律交换律ab= = .分配律分配律a( (b+ +c)=)= .(ab)(ab)baab+ac(3)(3)数量积的性质数量积的性质a,ba,b是非零向量是非零向量, ,那么那么ab ab ab=0.ab=0.|ab|a|b|.|ab|a|b|.题型一题型一 空间向量数量积运算空间

5、向量数量积运算课堂探求课堂探求 素养提升素养提升题型二题型二 利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积求夹角【例【例2 2】 知知BB1BB1平面平面ABC,ABC,且且ABCABC是是B=90B=90的等腰直角三角形的等腰直角三角形, , ABB1A1,ABB1A1, BB1C1CBB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等的对角线都分别相互垂直且相等, ,假设假设AB=a,AB=a,求异面直求异面直线线BA1BA1与与ACAC所成的角所成的角. .方法技巧方法技巧 (1) (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使其起点与另一个

6、向量的起点重合其起点与另一个向量的起点重合, ,经过解三角形得出夹角的大小经过解三角形得出夹角的大小, ,此法就此法就是求两个向量夹角的平移法是求两个向量夹角的平移法. .(2)(2)由两个向量的数量积定义得由两个向量的数量积定义得cos= ,cos= ,求求的大小的大小, ,转化转化为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小, ,求出求出的余弦值的余弦值, ,进而进而求求的大小的大小. .(3)(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角利用向量的数量积求出两向量的夹角, ,那么这个夹角就是两异面直线那么这个夹角就是两异面直线所成的角或补角所成的角或补角( (

7、留意异面直线所成角的范围留意异面直线所成角的范围).).|a ba b题型三题型三 利用空间向量处理垂直问题利用空间向量处理垂直问题【例【例3 3】 如图如图, ,知平行六面体知平行六面体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCDABCD是菱形是菱形, ,且且C1CB= C1CB= C1CD=BCD.C1CD=BCD.求证求证:CA1B1D1.:CA1B1D1.方法技巧方法技巧 用向量法证明垂直关系的操作步骤用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)(1)把几何问题转化为向量问题把几何问题转化为向量问题;(2);(2)用知向量表示所证向量用知向量表示所证向量;(3);(

8、3)结合数量结合数量积公式和运算律证明数量积为积公式和运算律证明数量积为0;(4)0;(4)将向量问题回归到几何问题将向量问题回归到几何问题. .即时训练即时训练3-1:3-1:知空间四边形知空间四边形OABCOABC中中,AOB=BOC=AOC,AOB=BOC=AOC,且且OA=OB=OC. M,NOA=OB=OC. M,N分别是分别是OA,BCOA,BC的中点的中点,G,G是是MNMN的中点的中点. .求证求证:OGBC.:OGBC.题型四题型四 利用数量积求间隔利用数量积求间隔方法技巧方法技巧 用空间向量求两点间间隔用空间向量求两点间间隔, ,首先用其他知夹角和模的向量表首先用其他知夹角和模的向量表示此向量示此向量, ,再利用