第十一讲函数之幂函数与零点问题

1、第十一讲函数之募函数与零点问题知识梳理：一、哥函数的定义一般地，形如 y =xa ( xw R)的函数称为哥孙函数，其中 x是自变量， a是常数.如 11y =x2,y =x3,y =xN等都是哥函数，哥函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等 函数.哥函数的性质：所有的哥函数在(0, +8)都有定义，图象都过点(1,1) x>0时，哥函数的图象都通过原点，1在0 , +00上，y=x、y = x2、y = x3、y =x2 是增函数，在(0, +°°)上， y=x是减函数。二、零点概念： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

2、。因 此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x的图像与x轴的交点 的横坐标。我们有：方程f(x)=0有实数根u 函数y=f(x)的图像与x轴有交点u函数y=f(x) 有零点。零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不段的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在 c= (a,b),使得f(c)=0,这 个c也就是方程的根。二分法1 .如果函数y = f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，且 f(a)，f(b)<0,通 过不断地把函数 y = f (x)的零点所在

3、区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法。2 .用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根(2)求曲线y = f(x)和y = g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数 F(x) = f (x) g(x) 的零点，即求方程 f (x) - g(x) = 0的根 经典题型分类题型一：哥函数的定义及图象例1、已知函数f (x )=(m2 -m T )x*m当m为何值时，f(x)：(1)是募函数；(2)是募函数，且是 (0,十无)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反 比例函数；(5)是二次函数；例2、已知

4、函数f (x )=(m2+m )x" im：当m为何值时，f(x底第一象限内它的图像是上升曲线。1例3、1411函数y=|xp（nEN, n>2）的图象R可能是ot例4、若募函数y=x在第一象限内的图象如图所示，则 ”的取值可能为 （）1A . 1B. 2C. 3D. 2例5、哥函数 y=xa, y = xb, y =xc, y = xd在第一象限的图 象如图所示，则a, b, c, d的大小关系是（）A. a>b>c>dB. d>b>c>a C.d>c>b>a6、已知备函数y = f（x）的图象经过点则f（4）的值为2,A

5、. 16B.21C.2例7、函数4y =x3的图象是 A .B.C.D. b>c>d>a1 D.T6例8、函数y =x3 和1y = x3图象满足A.关于原点对称B .关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y = x对称2例9、函数y= x5的单调递减区间为（）A . (一00, 1)C. 0, +82例10、讨论函数y=x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图. 跟踪练习：1，- ，一，一1、函数y= 一 J 在第二象限内单调递增，则 m的最大负整数是 22 m m2x2、函数y=、：（15+ 2x-x2）3的定义域是 3、下列函数中不是募函数的是（）A.

6、y 二”；x一3八1B. y=x c. y=2x d. y = x4、下列函数在（-°0,0 ）上为减函数的是（）1A32Ay=x3B.y=x C.15、函数y = x3和y = x3图象满足A.关于原点对称C.关于y轴对称B.关于x轴对称D.关于直线y = x对称16、设a w W-1,1, ,3'，则使函数y = xa的定义域为 R且为奇函数的所有a值为()2，A、1, 3 B> -1,1C、-1 , 3D、-1, 1, 3一27、已知哥函数f(x) = xm /心(mwZ)的图象与x轴，y轴都无父点，且关于y轴对称，试确定f (x)的解析式.题型二：零点问题例1、

7、函数f(x)=lnx- 2的零点所做的大致区间是 xA (1, 2) B (2, 3) C (1, 1)和(3, 4)D (e,+ g)e例2、方程lnx+2x-6=0的根所在的一个区间是A (1,2) B (2, 3) C (3, 4) D (4, 5)例3、若方程2ax2 x1=0在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是()A.(-二,-1)B. (1,二) C. (-1,1) D. 0,1例4、函数f (x) =ax2 +bx + c,若f (1)>0, f (2) <0,则f (x)在(1,2)上零点的个数为A.至多有一个B.有一个或两个C.有且只有一个D.一个也没有例

8、5、函数f (x) = log 3x + x -3零点所在大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2例6、函数f(x)=x十(m2)x+5m有两个零点，且都大于2,求m的取值氾围。例7、函数f(x)=ax2 -x -1仅有一个零点，求实数 a的取值范围。例8、函数f(x)=2x+x32在区间(0,1)内的零点个数是【】(A)0(B)1(C)2(D) 3«例9、直线y =3与函数y = x2 -6x的图象的交点个数为()A . 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个例10、若函数f(x)=4xx2 a的零点个数为3,则a = 。例11、函数f(x)=2x

9、 +3x的零点所在的一个区间是()A. (-2,-1 ) B. (-1,0)C.(0,1) D.(1,2)跟踪练习：Zx 4,x< 11、函数f(x) = «2的图象和函数 g(x) =log2x的图象的交点个数是x - 4x 3, x . 1( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1r 2_一，-x x +2x3,x E0 ,二人一, 2、函数f(x)=的零点个数为()-2 +ln x,x >0A. 0 B. 1 C. 2 D. 33、函数y=f(x)在区间a, b 上的图象是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)<0 ,则函数f(x)在区间 (a, b)内()A.恰有一个零点 B.至少有一个零点C.至多有一个零点D.没有零点24、如果二次函数 y=x +mx+(m+3)有两个不同的零点，则 m的取值氾围是()A. (2,6) B. 2,6 C.2,6D, 2(6,也)5、函数f (x) =ex+x-2的零点所在的一个区间是(A) (-2,-1 ) (B)(-1,0 )(C)x6、方程2 +x = 2的解所在区间是(A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2,1口7、lg x =0有解的区域是 xA. (0, 1 B