第十九章四边形

1、第十九章四边形第十九章四 边 形【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）平行四边形定义及平行四边形 性质表示法平行四边形判定及面积其他定理方法指引平行四边形判定的常用方法有 五种，关于“边”的有三条，关于“角”推论：丙组对边分别平（1）定义:丙组对 边分别平行平的四边行形叫做四平行四边边形。形对角相等；（2）表示：用从“口” 和对四个顶点的字母来表看平行四边形的角对角线互相平分；线边形：半；的四 边形是平行四三边的一对角线互相平分且等于第第三边，并四边形：形的中位线平行 于平行四边形的等的四边形是平行理：三角一组对边平行相中位线定对边相等：看 四边形：三角形平行四边形的边

2、等的四边形是平行段相等；从两组对边分别相 具有四边形的一行的四边形是平行切性质外，还有：四边形；平行线间的平行线夹在两 条的有一条，关于“对角线”的有一条，常用“顺口溜”帮助记忆，即：判定平行四边形, 两个条件才能行，两组对边都平行，或证对边都相等，一组对边也可以，必须相等且平行。 对角线是个宝，互相平分也能行，对角相等也有用，两组对角才能成。反之，判定成性质, 还是中心对称形，面积计算也简单，底边与高来相乘。示。平行四边形是从中心对称图形，两角条对角线的交点看四边形。就是对称 中心。高。等的四边形是平行积二底X两组对角分别相边形的面平行四方法指引 矩形的判定口诀：任意一个四边形，三个直角（二

3、）特殊的平行四边形L矩形定 义 矩形性质矩形判定其他定理及面积成矩形，对角线等互平分，那它一定是矩形；已知 平行四边形，一个有一个角是直直角三角形斜边（1）定义：有一个角是直角的平行四边 矩形叫做矩形形。矩形的四个角都是直角；从直角叫矩形，两对角线角的平行四边 形是矩形；角看有三个角是直角的四边形是矩形；矩形既是中心对上的中线等于斜 边若相等，理所当然为矩的一半：形。矩形的性质：除了具有称图形，也是轴对称平行 四边形的一切性质图形，对称中心是对外，还有自己特有的性角线的交点，对称轴从是过 对边中点的直矩形的对角线相等。对角线看对角线相等的线；平行四边形是矩形。 矩形面积二长X （2）表示法：“

4、矩形” + “顶点字母”。质。即四个角都是直角，对角线 都相等，还具有“双对称性”。方法指引宽。菱形的判定口诀：任意2.菱形一个四边 形，四边相等定 义菱（1）定义：形有一组邻四条边都边等的平行四边称图形，也是轴 对称菱形的从有一组邻边相菱形既是中心对菱形性质菱形判定其他定理及面积成 菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形。已知平行四边形，邻边相等叫菱形，两对角线边相等的平行四边四条边都相等形叫做菱的四边形是菱形。形；（2）表示菱形的 法：“菱形”对角线互+ “顶点字相垂直，并母”。旦每一条对角线平分一组对角。角 线看直的平行四边角线长的积的一半，形是菱形。即S二（aXb） 4-2对对角线互相垂

5、有: 菱形面积等于对从积计算方法外，还特用平行四边形的面菱形面积除了可线；是对角 线所在的直相等：看形是菱形；图形，对称中心是对角线的交点，对称轴若垂直，顺 理成章为菱形。菱形的性质：也是除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己特有的 性质，即四条边都相等，对角线垂直，旦每一条对角线平分一组对角。也具有“双对称 性”，面积计算还特有一个公式，即两条对角线的长的积的一半。3.正方形正方形定 义正方形性质判定其他定理及面积方法指引正方形是一个极其特殊的四边形，它包 含了平正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴 是对角线所（D定义：四条边都相等，正方四个角都是直角的四

6、边正方形的四个角都是 直角，有一个角是直角的行四边形、矩形、菱形的所有性质，也同样具有“双对称性”， 面积的计算也有两个公式。它的判定是比较原则性的，即只要能判定它既是一个矩形， 乂是一个菱形，就可判定它是一个正方形。常用的有两个，即有一个角是直角四条边都相 等：菱形是形形叫做正方形；正方形的两表示法：条对角线相等，“正方 形” + “顶点字并且互相垂直平分，每条对角正方形；在的直线以及过对边中点的直线； 有一组邻边相等的矩形是正方形面积等于边长的平方，也等于两条对角线长的积的一 半的。母”。线平分一组对角。正方形。的菱形是正方形，以及有一组邻边相等的矩形 是正方形。（三）梯形深度理解等腰等腰

7、梯形概念性质判定积计算梯形定理及面常见辅助线作法梯形其他梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的 中位线：在梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯梯形。 等腰梯同一形在同一底上底上的两的两个角相个角等；相等等腰梯的梯形的两条形 是对角线相等腰梯形中平移一腰：把梯形位线定理：转化成了一个平行梯形的中四边 形和一个三角位线平行形：于两底，并作两条高：分成矩旦等于两形和两个直角三角 底和的一形；半，即L:（a+b） 4-2 平移一对角线：使梯形面积二中位线长X高, 延长两腰：构造具即：有公共角的两个相S=LXh ,似三角形；也等于：过一腰中点 作直两对角线转移到同记写梯形时，用

8、“梯形” + “四个顶点字母”：用数学符号记 写梯形时，常常要告诉哪两边平行，象告诉直角三角形一样，交待要具体，须告诉哪个角 是直角。方法指引其实，梯形的面积公式：等腰梯形形定义：两腰相等的梯形等腰梯叫做等腰梯形是轴对等。梯形：一个三角形中；“（上底+下底）X高彳 对形。称图形，角线直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。过上下底 相等的中点的的梯直线是它形是的对称等腰轴。梯形。2”，这一个公式就涵盖了特殊 四边形和三角形的面积公式，它们的内在联系是，当梯形的某一底缩小为0时，就是一个 三角形，其面积公式不就是：“底X高+2"（上底+下线：构造两个全等三底）X高+角 形。2.

9、（四）几种常见几何图形的重心1.线段的重心就是线段的中点；2.平行四边形的重 心就是它的两条对角线的交点；3.三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重 心：4.等腰三角形的重心在底边的中垂线上：5.正多边形的重心就正多边形的中心。 吗？当两底变得一样长时，就变成了一个平行四边形，其面积公式不就是：“底X高”吗？ 【易混易错剖析】1.对于概念的内涵和外延把握不准，包含关系混淆不清，另外，对于每一个特殊的四 边形的性质和判定把握不准确。一是要重视各个概念的定义，因为那是它的本质属性（如 下图），由定义我们可以弄清其包含关系，矩形、菱形都包含了正方形，正方形是特殊的 矩形，也是特殊的菱形；而矩形和菱形乂都是特殊的平行四边形，平行四边形包含有矩形 和菱形及正方形：平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，包括梯形也是特 殊的四边形：二是要抓好“对角线”这条纽带，从图中可以从对角线角度来厘清各概念的 联系。（见下图）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边 形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相垂直平分的四边形是 正方形，对角线相等的