最新菱形讲义(经典)

1、精品文档第一章 特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形【 例题精讲 】 板块一、

2、菱形的性质例 1. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O， AC=16cm， BD=12cm（ 1）求菱形ABCD的边长；（ 2）求菱形ABCD的高DM例 2.如图，在菱形ABCD 中， AB=BD ，点E， F 分别在 AB， AD 上，且AE=DF 连接BF 与 DE相交于点G，连接 CG 与 BD 相交于点H求证：（1）求 BGD 的度数。（2） 求证： DG+BG=CG精品文档例 3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29 所示的四边形ABCD.(1)求证：四边形ABCD 是菱形(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存

3、在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由例 4.已知，菱形ABCD中，E、 F 分别是 BC、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C的度数跟踪练习：1.如图 ,在菱形 ABCD 中 ,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作 AE BC,垂足为E,则 AE 的长为 ()A.4B.2.4C.4.8D.52 .如图，在菱形ABCD 中，B=60° ， AB=2，则 AEF 的周长为()A. 2 3B.3 3C.4 33 .如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角与第二次折痕所成角的度数应为()A.15°或 30°B.30°或 45

4、76;E、 F 分别是BC 和 CD 的中点，连接AE、 EF、 AF，D.3., 为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口C.45°或 60°D.30 °或 60°4如图1 1 38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD 上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形乙： 分别作A， B 的平分线AE，BF，分别交 BC， AD 于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形根据两人的作法可判断()A甲正确，乙错误B甲错误，乙正确C甲、乙均正

5、确D甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形 ABCD 中 ,AE 垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD 的面积是,对角线BD 的长是 (2) 如图：菱形ABCD 中， AB=2 ，B=120°， E 是 AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 6. 如图，在四边形ABCD中，E 为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、 Q、 M、 N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论7. 如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60°，DE AC交 BC的延长线于点E求证：DE= BE8.

6、 如图，在菱形ABCD中，A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E1）求ABD的度数；2）求线段BE的长E、 F9. 如图，四边形ABCD是菱形，BE AD、 BF CD，垂足分别为1）求证：BE=BF；2）当菱形ABCD的对角线AC=8， BD=6时，求BE的长10. 如图，在菱形ABCD中，P是 AB上的一个动点（不与接 BE1）证明：APD= CBE；2） 若DAB=60°，试问 P点运动到什么位置时， ADP的面积等于菱形ABCD面积的， 为什么？11. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm， BC=8cm、点P从点D出发向点A运动

7、，同时点Q从点BC运动，点P、 Q的速度都是1cm/s1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？2）分别求出菱形AQCP的周长、面积. 选择题：1. . 在菱形 ABA. 5cm2. 如图，在菱形BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是AB=5cm，则此菱形的周长为（C. 20cmD. 25cm3. 已知菱形ABCD的对角线AC、 BD的长度是6 和 8，则这个菱形的周长是（A、 20B、 14C、 28D、 24分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）7. 如图， 菱形ABCD的边长是2cm

8、， E是 AB的中点，且 DE丄 AB， 则菱形ABCD的面积为cm第 9题第 7题第 8题8. 如图， 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点则点 O到边 AB的距离垂足为H，9. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2三、解答题F 分别在边AB、 AD上，且AE=AF。12. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、求证：ACEACF。13. 如图，四边形ABCD为菱形，已知A（ 0， 4），B（3， 0）（ 1）求点D 的坐标；14. 如图所示，在菱形AB

9、CD中，（ 2）求经过点AB的一次函数解析式15. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30°， AB=21）求AC的长2）求AOB的度数3）以OB、 OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积板块二、菱形的判定例 1. 已知 : 如图 1-3, 在 ABCD中 , 对角线AC与 BD交于点O,AC BD.求证 : ABCD是菱形例 2. 已知 : 如图 1-5, 四边形ABCD中 ,AB=BC=CD=DA.求证 : 四边形ABCD是菱形例 3. 已知 : 如图 , 在 ABCD中 , 对角线 AC的垂直平分线分别与AD、 AC、 BC相较于点E、 O、 F.求证

10、 : 四边形AECF是菱形课堂练习：1. 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是2. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、 BC 分别相交于E 、 F .求证：四边形AFCE是菱形 .FC3. 如图，在梯形纸片ABCD 中， AD/BC， AD CD，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C落在 AD上的点 C 处，折痕DE 交 BC 于点 E ，连结 C E . 求证：四边形CDC E 是菱形4. 如图，在ABC 中， AB AC，M 是 BC 的中点分别作MD AB于D ， ME AC于 E， DF AC于F ，EG

11、 AB于 G DF、 EG相交于点P 求证：四边形DMEP是菱形【作业】1有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。2菱形的面积为24cm2， 一条对角线的长为6cm， 则另一条对角线长为cm ， 边长为cm高为cm 。3菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为。4如图1 所示，菱形ABCD中，AE BC， BE=EC， AE=2， BD=。5如图2 所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=F， A C=。C126菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A 2倍 B 3倍 C 4倍 D 8倍7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A 对角线互相平分B 邻角互补C 对角相

12、等D 每条对角线平分一组对角8如图3 所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F为垂足，AE=EB，则EDF等于（）A 75°B 60°C 50° D 45°9下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A 已知菱形的两条对角线B 已知菱形的一边和一个内角C 已知菱形的四条边D 已知菱形的周长和面积10下列命题正确的是（）A 有两组邻角相等的四边形是菱形B 有一组邻边相等的四边形是菱形C 对角线互相垂直的四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是菱形11 菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。12如图，ABC中，AB=

13、AC， AD是角平分线，E为 AD延长线上一点，CF/BE 交 AD于 F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。13如图，ABC中，ACB=90°，B的平分线交高CD于E，交AC于F，FGAB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=12°，0AEF为正三角形，点E、 F分别在菱形的边BC、 CD上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合（ 1）证明不论E、 F 在 BC、 CD上如何滑动，总有BE=CF；（ 2）当点E、 F 在 BC、 CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和 CEF的面积是否发生变化？如果不变，求

14、出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值16.如图，菱形ABCD 的边长为2， BD=2， E、 F 分别是边AD ， CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2 1 ）求证： BDE BCF；2）判断 BEF 的形状，并说明理由；3）设 BEF 的面积为S，求S 的取值范围17如图1，在 ABC 中， AB=BC=5 ， AC=6 ECD 是 ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接AE、 AC 和 BE相交于点O（ 1 ）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2） 如图2，P 是线段BC 上一动点 （图2）， （不与点B、C 重合） ， 连接 PO 并延长交线段AE 于点Q，QRB

15、D，垂足为点R四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积18. 如图1 ，在 ABC 和 EDC 中， AC=CE=CB=CD ； ACB= DCE=90° ， AB 与 CE 交于F， ED 与 AB ， BC，分别交于M ， H （ 1 ）求证：CF=CH ；（ 2）如图2， ABC 不动，将 EDC 绕点 C 旋转到BCE=45° 时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论19. 如图，在直角坐标系xOy 中，Rt OAB 和 Rt OCD 的直角顶点A， C 始终在 x 轴的正半轴上，B，

16、D 在第一象限内，点B 在直线 OD 上方， OC=CD ， OD=2 ， M 为 OD 的中点，AB 与 OD 相交于E，当点B 位置变化时，Rt OAB 的面积恒为 试解决下列问题：1 ）填空：点D 坐标为 ；2）设点 B 横坐标为t，请把BD 长表示成关于t的函数关系式，并化简；20. 如图，在Rt ABC 中，B=90°， BC=5 ，C=30° 点D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒2个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、 E 运动的

17、时间是t秒（t> 0）过点D 作 DF BC 于点F，连接 DE、 EF1 ）求证：AE=DF ；2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由3）当 t 为何值时， DEF 为直角三角形？请说明理由21如图，在四边形ABCD 中， AB=DC ， E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，G、 H 分别是 BD、 AC 的中点，猜一猜 EF 与 GH 的位置关系，并证明你的结论21. 如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC， BD 交于点O， E 是 BD 延长线上的点，且 ACE 是等边三角形（ 1 ）求证：四边形ABCD 是菱形；（ 2）如图

18、2，若 AED=2 EAD ， AC=6 求DE 的长22. 在菱形 ABCD 中，ABC=60° ， E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF=AE ，连接BE、EF（ 1 ）若 E 是线段 AC 的中点，如图1 ，易证：BE=EF （不需证明）；（ 2）若E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、 EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明23. 如图1， P是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作 APC 和 BPD，使PC=PA， PD=PB， APC= BPD，连接 CD，点E、 F、 G、 H 分别是 AC、 AB、 BD、 CD 的中点，顺次连接E、 F、 G、 H（ 1 ）猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；（ 2）当点 还成立吗？说明理由；（ 3）如果（ 由P 在线段AB 的上方