导数与三角函数的结合

1、一导数与三角函数的结合1.（导数与三角函数结合）已知函数/（x） = 4d-3/cos8 + L，其中、£凡8为参数,且。0evg. （1）当cosC =。时，判断函数/（X）是否有极值； 乙（2）要使函数/（X）的极小值大于零，求参数夕的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数e ,函数在区间（2a-l,a）内都是增函数, 求实数a的取值范圉.【分析】定义域D上的可导函数/'（X）在点处取得极值的充要条件是/'（入。）=。，且 /'（X）在与两侧异号.【解析】（1）当cosd = 0时,x） = 4/+g,则八%）=12d之0,函数/（。）在（

2、_8, +8）内是增函数，故无极值.（2） ff（x） = 12x2 -6xcos 0，令 /'（x） = 0 ,得玉=0, x2 =.由及（1）,只考虑cos9>0的情况. 2当X变化时，/。）的符号及/（X）的变化情况如下表:X(- 8, 0)0（0,等）cos。2zcos6、(-，+ 8)八大）+00+/(A)/极大值极小值/因此，函数/（1）在工=不处取得极小值/（上?），且/（W） =-Jcos3e+1.COS 01,11 7t 71要使/（7-）>o,必有_cos3e+5>0,可得o<cose<3,所以；（3）由（2）知，函数/（X）在区间（一

3、8, 0）与（呼，+ s）内都是增函数.由题设，国数/."）在（2a-1,a）内都是增函数，则a需满足不等式组12。一 1 <。一或 a<02。一 1 < a26/ -1 > cosO '250 U L-, 1).8由（2），参数时，0vcose<；,要使不等式% IN cos。关于参数夕恒 J 乙乙乙成立，必有2。-4综上，解得a<0或:所以a的取值范围是（一8, O3nk32.巳知函数而=岫#机 且在0,夕上的是大值为一pQ）求函数猊的解析式；判断函数侬在（0,力内的零点个数，并加以证明.【思路点拨】 分a=0、a<0和a>

4、0三种情况求函数侬的最大值；先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数.【规范解答】 由已知得，=/sin x+jcos外,n对于任意x （0,2有sin x+cos x>0.3当a=0时，侬=一彳，不合题意.当XO, x（0, 3时，/V0,从而在（0, 3内单调递减.TCTC3又侬在0,3上的图象是连续不断的，故在口，$上的最大值为40）=-5,不合题意；当AO, x（0, $时，/>0,从而而在（0, 3内单调递增，又侬在0, 5上的图象n3工-,解得4=1.nn n是连续不断的，故而在o, j上的最大值为即5综上所述，函数的解析式=邱in（2）4力在（

5、0,力内有且只有两个零点.,3, q 3 冬 k3证明如下：由知，混=Minx一9 从而有<0）=5<0, =>0.又而在0, 3上的图象是连续不断的，所以而在（0, 1）内至少存在一个零点. nit又由知猊在0, j上单调递增，故H在（0, 3内有且仅有一个零点.当分 句时，令武力=，=sinx+&：osx. knit由嫉）=1>0,的）=一户。，且念在1句上的图象是连续不断的，故存在力，力, 使得的）=0.由g'知力时，有/0,从而融在金，力内单调递减.kn当时，热家闻=0,即，30,从而而在S内单调递增，n% 冗3n故当xj,用时，侬©=-p0,故侬在“ 狗上无零点；当x（m,力时，有Q%（m）