板块一六大核心素养引领二轮复习

1、一、数学抽象、直观想象素养 1数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.例 1(1) 如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到 1 h ；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_答案解析看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车

2、者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5 ，故正确，错误(2) 某楼梯共有11 级，每步可走一级或二级，走完这11 级楼梯共有多少种不同的走法？解楼梯共有 11 级，数值比较大，可以先考虑简单情形楼梯共有： 1 级、2 级、3 级、 4 级、5级、 ，从特殊的情境里发现规律 .楼梯级数1234511走法种数12358？从上面的走法种数1,2,3,5,8 ， 可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数于是，容易推算出：走完这11 级楼梯，共有144 种不同的走法1 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条

3、件下，可食用率p与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p at 2 bt c(a，b ， c是常数 )，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A 3.50分钟B 3.75分钟C4.00分钟D 4.25分钟答案 B解析根据图表，把(t， p )的三组数据 (3,0.7) ， (4,0.8) ， (5,0.5) 分别代入函数关系式，0.7 9a 3 b c，联立方程组得0.8 16 a 4b c，0.5 25 a 5b c，7 a b 0.1 ，消去 c 化简得9 a b 0.3 ，a 0.2 ，解得b 1.5 ，c 2.115225451152 13所以

4、 p 0.2 t 2 1.5 t 2 t2 t2t，5216165416所以当 t15 3.75 时，4p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟2 甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素 A( 单位 /kg)维生素 B(单位 /kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A， B 的含量分别不低于100,120 个单位，则混合物重量的最小值为_ kg.答案30解析设甲食物重 x kg ，乙食物重 y kg ，A ， B 的含量分别不低于100,120 个单位，3 x4 y100 ， 5x 2 y120 ， x0 ， y0，3 x 4 y 100 ，x20 ，由得5 x

5、 2 y 120 ，y 10 ，A(20,10) ，混合物重z xy，平移直线z x y，由图知，当直线过A(20,10) 时， z 取最小值为20 10 30.素养 2直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程 .例 2(1) 如图，点列 An ，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn 1 | An 1An 2|，AnAn2，n N * ，| BnBn 1| |Bn1Bn2 |， Bn Bn 2 ， n N * (PQ 表示点 P 与点 Q 不重合 )若 dn|An Bn|， Sn 为AnBnBn1 的面积，则 ()A Sn 是等差数列B

6、 S2n是等差数列Cd n是等差数列D d 2n是等差数列答案A解析作 A1C1 ， A2C2， A3 C3 ， ， AnCn 垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1， C2 ，C3 ， ，Cn，则 A1 C1A2C2 AnCn.|A nAn 1 | |A n1 An 2 |，|CnCn1 | |Cn 1Cn2 |.设 |A1 C1| a，| A2 C2 | b ，| B1 B2| c，则 |A3 C3| 2 b a， ，|An Cn| (n 1) b (n 2) a(n 3) ， n1 和 n 2 时也符合1Sn c( n 1) b (n 2) a21 c( b a)n (2 a b )，211

7、Snc(b)(n1) (2ab) ()(2ab)Snaba n21 c(b a)，2数列Sn是等差数列(2) 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1 B1 C1D1 中， M ，N 分别是 AC1，A1B1 的中点点 P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于()A.5 1B. 52C2 5 1D2 52答案B解析如图，取 BB1 的中点 E，CC1的中点 F，连接 AE， EF， FD，则 BN 平面 AEFD.设 M 在平面 ABB1A1 中的射影为O，过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为，能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为

8、矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，正方体 ABCD A1B1C1 D1 的棱长为 1 ，矩形 AEFD 的周长为52.3 “牟合方盖”(如图1) 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 (牟合 )在一起的方形伞(方盖 )其直观图如图2 所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线， 其实际直观图中四边形不存在，当其正(主 )视图和侧 (左 )视图完全相同时，它的正 (主 )视图和俯视图分别可能是()A a，bB a，cC c， bD b， d答案A解析当正 (主 )视图和侧 (左 )

9、视图完全相同时， “牟合方盖” 相对的两个曲面正对前方，正 (主 )视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4 (2018 ·北京 )某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中， 直角三角形的个数为()A1B2C3D4答案C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则 PA平面 ABCD ，平面 ABCD 为直角梯形， PA AB AD 2 ， BC 1 ，所以 PA AD ，PA AB，PA BC.又 BC AB， ABPA A，AB ， PA? 平面 PAB，所以 BC平面 PAB.又 PB? 平面 PAB，所以 BC PB.在PCD 中， PD 22， PC

10、 3， CD5，所以PCD 为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD ，PBC，共 3 个故选 C.二、逻辑推理、数学运算素养 3逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例 3(1)( 2018 ·北京 )设 a， b 均为单位向量，则“|a 3 b |3 a b |”是“ a b ”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件答案C解析由 |a 3b | |3 a b |，得 (a3 b)2 (3 a b )2 ，即 a2 9b 2 6 a·b 9 a 2b 2 6a·b .又 a， b 均

11、为单位向量，所以 a2 b 2 1，所以 a·b 0，能推出 a b .由 a b 得 |a 3b |10 ， |3 ab |10 ，能推出 | a 3 b | |3 ab |.所以“ | a 3 b | |3 ab |”是“ a b ”的充要条件故选 C.(2) 记 I 为虚数集，设a， b R，x， y I，则下列类比所得的结论正确的是_ (填序号 )由 a·b R，类比得 x·y I；由 a2 0，类比得 x20 ；由 (a b ) 2a2 2 ab b2 ，类比得 (x y )2 x2 2 xy y2；由 a b >0 ， a> b ，类比得

12、x y>0 ， x> y.答案解析由 a·b R，不能类比得x·yI，如 x y i，则 xy 1? I，故不正确；由 a2 0，不能类比得x20. 如 x i ，则 x2<0 ，故不正确；由 (a b ) 2a2 2 ab b2 ，可类比得 (x y)2 x2 2 xy y2，故正确；若 x， y I，当 x 1 i， y i 时， xy 0，但 x，y 是两个虚数，不能比较大小，故错误故 4 个结论中，正确5 已知从2 开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2 ，第二行为4,6 ，第三行为 12,10,8 ，第四行为14,16,18,20， ，

13、如图所示，在该数表中位于第i 行、第 j 列的数记为 aij ，如 a32 10 ， a54 24. 若 aij 2 018 ，则 i j _.答案72解析第 1行有 1个偶数，第 2行有 2 个偶数， ，第 n 行有 n 个偶数，则前 n 行共有 1 2 3 n n( n 1)在从 21 009 位，(个 )偶数， 2 018开始的偶数中排在第2n (n 1)所以21 009 ，所以 n 45.当 n 4444(44 1)时，第44 行第 44 个偶数为×2 1 980 ，2所以第 44行结束时最右边的偶数为1 980.由题意得2 018 排在第 45 行的第 27 位，所以 i

14、j 45 27 72.6 甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A，B， C 三个活动兴趣小组时，甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组；乙说：我没参加过B 兴趣小组；丙说：我们三人参加了同一个兴趣小组由此可判断乙参加的兴趣小组为_答案C解析三人参加了同一个兴趣小组，乙不参加B，甲不参加A，三人共同参加的小组只有C，又甲参加的兴趣小组比乙多，甲不参加A甲参加两个兴趣小组，乙参加一个小组，甲参加 B 和 C，乙参加的兴趣小组是C.素养 4数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的思维过程.C5例 4(1)( 2018·全国 ) 在ABC 中， co

15、s，BC 1，AC5，则 AB 等于 ()25A 42B.30C. 29D2 5答案AC 5解析 cos，25cos C 2cosC5321 2×52 1 .25在ABC 中，由余弦定理，得AB 2 AC2 BC2 2 AC·BC·cos C 5 2 1 2 2 ×5 ×1 × 3532 ，AB32 42.故选 A.(2)( 2018 ·全国 )已知角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ，a)， B(2 ，b )，且 cos 22 ，则 |a b|等于 ()315A.B.5525D 1C.5答

16、案B22解析由 cos 2 ，得 cos 2 sin 2 ，33cos 2 sin 2 21 tan 22 ，又 cos 0 ，cos 2 sin 2 31 tan 235tan ±，5b a5即 ±，2155|a b |.5故选 B.(3)( 2018 ·全国 )已知函数f(x ) log 2 (x2 a)若 f(3) 1，则 a _.答案 7解析f (x) log 2(x2 a)且 f (3) 1 ，1 log 2 (9 a)，9 a2 ，a 7.7 定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线y 2x 上移动，设点P 为线段 MN 的中点，则点P 到 y 轴距

17、离的最小值为_7答案421， 01122解析)，抛物线y x 的焦点为 F 4，抛物线的准线方程为x设 M (x， y)，N ( x，y1 1x 1 x21x1 x244 1|MF | |NF|1|MF | |NF| 1，所求的距离 d 2 ，所以2 422444|MN |17 (M ， N ，F 三点共线时取等号 )244三、数学建模、数据分析素养 5数学建模是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.例 5 (1)( 2018 ·东、湖北部分重点中学模拟山)我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经内有一篇： “今有望海岛，立两表齐，

18、高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为_步 .(参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5 步，前后相距1 000 步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123 步， 人的视线从地面(人的高度忽略不计 )过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127 步， 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远？)( 丈、步为古时计量单位，当时是“三丈5 步”)答案 1 255解析如图所示，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，5

19、123 ，x 123 y由相似三角形的性质，有5127，x127 1 000 yx 1 255 ，解得则海岛高度为1 255步y 30 750 ，(2) 秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137 600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6 万元 (已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y(元 )与使用年数n 的关系为y kn b(n2 ，且 n N * )，已知第二年付费 1 80

20、0元，第五年付费6 000元试求出该农机户用于维修保养的费用f( n)( 元 )与使用年数n( n N * )的函数关系式；这台收割机使用多少年，可使年平均收益最大？(收益收入维修保养费用购买机械费用 )解依题意知，当n 2 时， y 1 800 ；当 n 5 时， y 6 000，1 800 2 k b ，k 1 400，即解得6 000 5 k b ，b 1 000，0 ， n 1 ，所以 f(n )1 400 n 1 000 ， n 2 且 n N *.记使用 n 年，年均收益为 W (元 )，n 2 时， W 60 00013 n ) 1 000( n 1)则依题意知，当137 600

21、 1 400(2n 60 0001137 600(n 1)( n 2)1 400 ×2 1 000( n 1)n 60 0001 700 n2 300 n ) (137 200n137 20060 300 700 nn137 20060 300 2700 n· 40 700，n137 200当且仅当700 n，即 n 14 时取等号n所以这台收割机使用14 年，可使年均收益最大8 甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间(1) 求甲等待的时间不多于 10 分钟的概率；(2) 求甲比乙多等待 10 分钟以上的概率解 (1)

22、因为电台每隔 1 小时报时一次， 甲在 0,60) 之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件设事件 A 为“甲等待的时间不多于 10分钟”，则事件A 恰好是打开收音机的时刻位于 50,60)(CB101时间段内，因此由几何概型的概率公式得) .所以“甲等待的时间不多于10P AOB6061分钟”的概率为.6(2) 因为甲、乙两人起床的时间是任意的，所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型设甲需要等待的时间为 x，乙需要等待的时间为 y(10 分钟为一个长度单位 )则由己知可得，对应的

23、基本事件空间为0 x<6 ，( x，y ).0 y<6甲比乙多等待10 分钟以上对应的事件为0 x<6 ，M (x， y)0 y<6 ，.xy>1在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示显然 表示一个边长为6 的正方形OQRS 的内部及线段OQ ， OS，其面积 S16 2 36.M 表示的是腰长为5 的等腰直角三角形QDE 的内部及线段DQ ，1 25其面积 S2 ×52 .2 225225故所求事件的概率为P.3672素养 6数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析推断，形成已学知识的思维过程例

24、 6 华东师范大学为了了解大学生使用手机的情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了 100 名大学生进行调查 下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于 80 分钟的学生称为“手机迷” 大一学生日均使用手机时间的频率分布直方图如图所示， 大二学生日均使用手机时间的频数分布表如下表时间分组频数0,20)1220,40)2040,60)2460,80)2680,100)14100,1204(1) 将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“手机迷”的概率大？请说明理由；(2) 在大一学生的抽查中，已知随机抽到的女生共有55 名，其中有10 名为“手

25、机迷” 根据已知条件列出2 ×2 列联表，根据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？附表：P(K2k 0)0.100.05k02.7063.841解(1) 由频率分布直方图可知，大一学生是“手机迷”的概率为P1 (0.002 5 0.010)×20 0.25.14 4由频数分布表可知，大二学生是“手机迷”的概率为P2 0.18.100因为 P1 > P2 ，所以大一学生是“手机迷”的概率大(2) 由频率分布直方图可知，从大一学生抽取的100 人中，“手机迷”有(0.010 0.0025) ×20 ×100 25( 人 )，非手机迷有100 25 75( 人 )2 ×2 列联表如下：非手机迷手机迷总计男301545女451055总计7525100假设“手机迷”与性别无关，随机变量K2 的观测值100 ×(30 ×10 45