构造法求数列通项公式

1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f ( n1) f (n) =A（其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义知f (n) 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f (n) 的通项公式，再根据f (n) 与 an ，从而求出 an 的通项公式。例 1在数列 an 中， a1 =13an（ nN），求数列 an 通项公式 .， an 1=32an3a n1131 ，解析 ：由 an+1=

2、 a n3 得， an+1 an=3an+1 -3a n=0，两边同除以an+1an 得， an 1an11设 bn= an ，则 bn+1-b n= 3 ，根据等差数列的定义知，n11的等差数列，数列 b 是首相b =2，公差 d= 3根据等差数列的通项公式得bn=21 （ n-1 ） = 1n53333数列通项公式为n= n5a评析：本例通过变形，将递推公式变形成为11A 形式，应用等差数列的通项公式，先求出1 的an 1anan通项公式，从而求出an 的通项公式。例 2 在数列 a中， S 是其前 n 项和，且 S 0， a =1， a2Sn2(n 2) ，求 S 与 an= 2Sn1n

3、n1nnn 。解析 ：当 n2时，a =S -S代入 a2 Sn2得，S -S2Sn2，变形整理得S -S=S S两边除以 S S11，n-1= 2Sn 1n-1= 2 Sn1n-1得， Sn -Sn 1 =2nnnnnn n-1n n-1 S1是首相为1，公差为2 的等差数列n S1 =1+2（ n-1 ） =2n-1, Sn= 2 n11 (n 2),n=1 也适合， Sn= 2n11 (n 1)n当 n2时， a=S -S112， n=1 不满足此式，n-1= 2 n 1 - 2 n 3 =- 4 n28n 3nn an=1n12n24 n2 8n3评析：本例将所给条件变形成f (n1)

4、f (n)A ，先求出f (n) 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （ n+1）=Af （ n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知f (n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f (n)的通项公式，再根据f ( n) 与 an ，从而求出an 的通项公式。例 3 在数列 an中， a1=2， an=an-1 2(n 2) ，求数列 an通项公式。解析 ： a1 =2， an =an-12 (n 2) 0，两边同时取对数得， lga n =2lga n-

5、1lg an=2，根据等比数列的定义知，数列lga是首相为 lg2 ，公比为 2的等比数列，根据等比数列的通项 lg ann 1公式得 lga n=2n-1 lg2= lg 22n 1数列通项公式为 an= 22n 1评析 ：本例通过两边取对数，变形成 log an2 log an 1 形式，构造等比数列log an ，先求出 log an 的通项公式，从而求出an 的通项公式。例 4 在数列 an中， a1=1， an+1=4an +3n+1，求数列 an 通项公式。解析 ：设an+1 +A（ n+1） +B=4（ an+An+B），（ A、 B 为待定系数） ，展开得an+1=4an+3A

6、n+3B-A，与已知比较系数得3A3A13BA1B23 an+1+（ n+1） + 23 =4（ an+n+ 23 ），根据等比数列的定义知，数列 a +n+2是首项为8，公比为q=3 的等比数列，a+n+2=8×3n-13333nn数列通项公式为 an=8× 3n-1 -n-233评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例 5 在数列 an中， a1=1， an+1an =4n，求数列 an通项公式。解析 ： an+1an=4n anan-1 =4n-1两式相除得 an 1=4，an 1 a，a， a 与 a ， a ， a 是首相分别为a ， a，公比都是 4 的等比数列

7、，13524612又 a1=1 ， an+1an =4n， a2=4n1n a=4 2nnn4 2练习：1. 已知数列 an满足 a1 2 ， an1nan ，求 an3n1解：由条件知 an 1n，分别令 n1,2,3, (n 1) ，代入上式得 ( n 1) 个等式累乘之，ann1即又 a12 ， an233n解：由条件知即an 1n，分别令 n 1,2,3, (n 1) ，代入上式得 ( n 1) 个等式累乘之，ann1又 a12 ， an233n2. 数列 a n 满足 a1 =1，an = 1 an 1 +1（n2），求数列 a n 的通项公式。2解：由 an= 1 an 1 +1（

8、n2）得 a n2= 1（an 1 2），而 a1 2=12=1，22数列 an 2 是以 1 为公比， 1 为首项的等比数列2a n 2=（ 1 ） n 1 an =2（ 1 ） n 1223. 数列 an中， a11, a22,3an 22an1an ，求数列 an的通项公式。解：由 3an 2 2an1an 得 an 22 an11 an , 设 an 2kan 1h(an 1 ka n )33比较系数得 kh2， kh1 ，解得 k1, h1 或 k1 , h 13333若取 k1, h1 ，则有 an 2 an 11 (an 1an )313 an 1a 是以为公比，以 a2a1 2

9、1 1为首项的等比数列n3 an 1an( 1) n 13由逐差法可得 an(anan1 )(an 1an2 )(a2 a1 ) a1=( 1) n 2( 1) n 3( 1)2(1)1133331(1)n 11= 3 1 ( 1 ) n 17 3( 1 )n 1=31114344334. 设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn ，对于任意正整数n，都有等式：an22an4Sn 成立，求 an的通项 an.解： an22an 4Snan 122an 14Sn 1 ， an2an2 12an2an 14( SnSn 1) 4an(anan 1)( anan12)0 ， anan 10 ，

10、 an an 12 . 即 an 是以 2 为公差的等差数列，且 a122a14a1a12 . an 2 2(n 1) 2n（1）通过分解常数 ，可转化为特殊数列 a n +k 的形式求解。一般地，形如 an 1 =pan +q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设 an 1 +k=p（an +k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=q，从而得等比数列 a n +k 。p1（ 2）通过分解系数，可转化为特殊数列 anan 1 的形式求解。这种方法适用于an 2pan 1qan型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列 anan 1 ：设an 2kan 1h( an 1kan )，比较系数得hkp,hkq ，可解得h, k。3、 构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造” . 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，