常微分方程试题及答案

1、常微分方程模拟试题一、填空题(每小题3分，本题共15分)1 . 一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线.2 .二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是3 .方程y 2y y 0的基本解组是.4 . 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.5 .方程曳/1 y2的常数解是.dx二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)6 .方程* x 3 y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面7.方程曳处dx(A)有一个(B) xoy平面1 ()奇解.(B)有两个(C)下半平面(D)除y轴外的全平面(C)无(D)有无数个8. f (y)连

2、续可微是保证方程 曳 dx(A)必要(B)充分f(y)解存在且唯一的()条件.(C)充分必要(D)必要非充分9. 二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间210. 方程3y3过点(0, 0)有(B ). dx(D)只有三个解(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解三、计算题(每小题6分，本题共 30分)求下列方程的通解或通积分：dy11. yln y dx12. 乎.1(y)21dxxxdy513. y xydx22、14. 2xydx (x y )dy 0315. y xy 2( y)

3、四、计算题(每小题10分，本题共20分)2 .16 .求万程y 5y 5x的通解.17 .求下列方程组的通解.dx dt dy dt1sin tx五、证明题(每小题10分，本题共20分)18 .设f (x)在0,)上连续，且Jim f(x) 0,求证：方程的一切解y(x),均有lim y(x) 0 .xdydxf(x)19.在方程 y p（x） y q（x）y 0 中，p（x）, q（x）在（恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式川仪）是（）上连续，求证：若p（x）上的严格单调函数.常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1. 22.线性无关（或：它们的朗斯基行

4、列式不等于零）3. ex, xex4.开5. y 1二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7, C 8. B 9. C 10. A三、计算题（每小题6分，本题共 30分）11.解： y 1为常数解当y 0, y 1时，分离变量取不定积分，得dyyln ydx C通积分为ln y Cex1包含在常数解中，当c 0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13.解: 5方程两端同乘以y ,得5 dy 4y ydxz ,贝U 4y 5 dx1 dz z x4 dx，代入上式，得dx这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为4xz ce利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为4x

5、 1z Ce x - 4因此原方程通解为4 c 4x1y Ce x -414.解： 因为画 2x N,所以原方程是全微分方程. yx取（x, y0）（0, 0）,原方程的通积分为xy 2o2xydx0 ydy C计算得15.解:（1分）（3分）（6分）（1分）（3分）（4分）（5分）（6分）（2分）（4分）（6分）原方程是克莱洛方程，通解为一 _ 3（6分）y Cx 2C四、计算题(每小题10分，本题共20分)16.解： 对应齐次方程的特征方程为0,（1分）特征根为1齐次方程的通解为0,25,（2分）ClC2e5x（4分）因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1 (x) x( Ax B

6、x代入原方程，比较系数确定出C）（6分）1cle一，B , C25（9分）原方程的通解为17.解:特征根为CiC2e5x齐次方程的特征方程为1 22-x x525（10 分）(1分)（2分）求得特征向量为1（3分）i因此齐次方程的通解为xC1 y 令非齐次方程特解为cost-sintsintC2cost（4分）CMt）cost-sintC2sintcost（5分）C1 （t）,C2满足costsin tsin t ccost c（t）（t）sin t0（6分）解得Ci （t）cost，C2 （t） sin t（8分）积分，得C1(t)ln sint ,C2（t）（9分）通解为costy五、证明

7、题C1 -sintC2(每小题10分,sin tcost本题共cost ln sin tt sin t-sint ln sint t cost20分）（10 分）18 .证明：取极限limx19 .证明：基行列式在（，由于W（Xo）故川仁）是（,设y y（x）是方程任一解，满足 y（xo）y(x)yoyo,该解的表达式为x f (s)e(s xo)ds xoxo(s xo)x f(s)e dsy(x) limlim -xex x xex xo-、 (s Xo) io,右f(s)e(dsxo=of (x)e(x x),、(x)e(s xo)lim rr- o,右 f (s)e dsxex xxo设yi (x), y2 (x)是方程的基本解组，则对任意x (,),)上有定义，且 W(x) o .又由刘维尔公式xp(s) dsW(x) W(x0)