等比数列高考专题复习资料

1、等比数列【知识点回顾】1 .等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q#0）,这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2 .通项公式与前n项和公式n 1通项公式：an =aq 一，a1为首项，q为公比.前n项和公式：当q =1时，Sn =na1当 q#1 时，Sn =a1（1-q ） =a1 -anq.1 - q 1 一q3 .等比中项如果a,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项u a, A, b成等差数列=G2=a.b.4 .等比数列的判定方法定义法： a土 =q （ n w N + q #0是常数）u an 是

2、等比数列； an中项法：anJ =an 2n电（n W NQ且an。0£ n 是等比数列.5 .等比数列的常用性质数列 配是等比数列，则数列 pan、pan （q#0是常数）都是等比数列;在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an«,an在，an叙,为等比数列，公比为qk. an =am qnjm（n,mN ）若 m + n = p +q（m, n, p,q w NQ ,则 am an =ap aq ；若等比数列 On 的前n项和Sn ,则Sk、S2k Sk、S3k S2k、S4k S3k是第比数列【方法总结】1 .求等比数列的公比、求值、判定等比数

3、列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质 .例1.已知等比数列n）的前n项和Sn = pn -1（ p是非零常数）,则数列右口）是（）A.等差数列 B. 等比数列 C.等差数列或等比数列D.非等差数列名师点拨先由Sn求出an ,再根据等差、等比数列定义作出判定.解：= Sn = pn -1 ,二 an =Sn -6_1 = （ p -1*2（门之 2）.当p#1,且p#0时，On是等比数列；,当p = 0时，On是等差数列，选C.2 .求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论例2.若实数数列1,a1 ,a2,a3,4是等比数列，则 a2 =名师点拨本题容易错认为，由等比数列的等比中项

4、公式a| =1x4,得a2 = ±2.2解： 1, ai,a2, a3,4 是等比数列，, a2 二1父4,得 a? = ±2.又 1,a1,a2是等比数列，,二 a； =1 a2,a1w R,二 a2 = 2.考点一等比数列的通项与前 n项和题型1:已知等比数列的某些项，求某项例1.已知加为等比数列，a2 =2,a6 =162,则为。=解题思路可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质解：方法1： :产=%=2=q4 =81a6 = a1q =16294a1o 二aq = a6q =162 81 =13122方法2： q4 =曳 a2162=81,ao =a6q4 =162

5、父81 =13122方法3： 丫、0)为等比数列a2 2a62="量二=13122 a22题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数例2.已知Sn为等比数列an 前n项和，Sn = 93 , an = 48 ,公比q = 2 ,则项数n =36,求这四个数利用等差数列、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间两数之和为解题思路利用等比数列的通项公式an= ©qn及Sn= a1(1q )求出a1及q ,代入Sn可求项数n ；1 -q等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数解：由 Sn =93, 20=48,公比4=2,n4(2n -1)=

6、93_ n "一 n , n 1=2=32=n = 5.a 2 = 482b = a + cc2 = bd方法1：设这四个数分别为 a,b,c,d ,则a b = 37b c =36方法2：设前2个数分别为a,b,则第34个数分别为36-b,37-a,则2b =(36 -b) +a36-b)2 =b(37-a)a =12或b =1699a 二 一4 . .81 ' b =42方法3：设第2、3个数分别为b, c,则第1个数为2b -c ,第1个数为,则b或c=20h 81b 二4 .63'c 二422b c + b 二b c =36方法4：设第2、3个数分别为b, c

7、,设第1,4个数分别为a c 2c22 ，a c '方法5：设第3、4个数分别为c, d ,则设第1,2个数分别为37 - d,36 - c,则2(36 c) =(37 d)+c七=20 =16634912=1或c =，d=c2 =d(36-c)d =2544题型3：求等比数列前n项和例3.等比数列1,2,4,8，中从第5项到第10项的和.解题思路可以先求出&0,再求出S4，利用S10 S,求解；也可以先求出a5及a10 ,由a5,a6,a7,a10成等比数列求解解：由 a1 =1,a2 =2,得 q =2,S101=1023, 1 -2S4 =1(1 -24)1 -2= 15

8、,.S10 - S4 -1008.例4.已知Sn为等比数列小前n项和,23n 1an =1 +3 + 3 +3 + +3,求 Sn解题思路可以先求出an ,再根据an的形式特点求解解：-an =1 3 32 33 +-、- +3n1(1 -3n)3n1=1 -322123Sn =-(3 32331 3(1 - 3n) K 21 -31-n23n 即Sn -例5.已知Sn为等比数列 Q 前n项和，an =(2n -1) -3n,求Sn.解题思路分析数列通项形式特点，结合等比数列前n项和公式的推导，采用错位相减法求和解：an =(2n -1) 3n.23n二 Sn =1 3 +3 3 +5 3 +

9、(2n -1) -3 ,3Sn =1 32 +3 33 +5 ,34 + +(2n 3) 3n +(2n 1) 3n*一，得-2Sn =3 2(32 33 343n) -(2n -1) 3n 1=3 2 9(1 _3)_(2n -1) 3n 1 :(2 -2n) 3n 1 -61 -3Sn =(n -1) 3n 1 3.变式 1：已知！an为等比数列，a1+a2+a3 =3, a6+a7+a8=6 ,求 a+a12+ a13的值.解：设等比数列an 的公比为q ,5 a4 a5 a6; ai +a2 +a3 =3,a6 +a7 +a8 =6 ,二 q =2, aI +a2 + a3 ；ai a

10、2 a3考点二证明数列是等比数列例6.已知数列 以和匕满足：d二九，an书=2an+n_4,bn=(1)n(an 3n + 21),其中人为实数，nw N+.3对任意实数 九，证明数列an不是等比数列；试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.解题思路证明数列an不是等比数列，只需举一个反例；证明数列£n是等比数列，常用：定义法；中项法.解： 证明：假设存在一个实数 九，使GJ是等比数列，则有a2=a1 a,即(2九一3)2 =九(4九一4)u 4九2 4九+9 =9九24人仁9=0,矛盾.3999所以an不是等比数列.解：因为 bn =(1)n(an -3n +21) =(1)

11、n*an+ -3(n +1) +21= (-1)n1an.1 -3n 181 = (-1)n"(2an -2n 14) =2(-1)n1(an-3n 21) = -2bn333又b1 =-1(九十18),所以当九=-18,bn =0(n w N J ,此时+n 不是等比数列；当九# 18,“=(九+8)时，由上可知bn# 0,二皿 =一2 (n w N+),此时&n 是等比数列【名师点拨】等比数列的判定bn3、方法：定义法:a土 =q ( n w N +, q =0是常数)uan 是等比数歹U；an中项法：a" =an an也(n w NQ且an #0 uan是等比

12、数列2变式1 ：已知数列an的首项a1 =-3C an 11 12-1 =-(1),又 a1二一2 an32ana"”？an 11. 1,二1 )，a121.n =1,2,3，.证明：数列一一1是等比数列; an,数列工1是以1为首项,an1 1为公比的等比数列.2考点三等比数列的性质 例7.已知Sn为等比数列 Q 前n项和，Sn =54, S2n =60 ,则S3n =.解题思路结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解.解：an)是等比数列，,Sn,S2n -SnSn S2n为等比数列,c118254(S3n -60) = 36 S3n ) .3【名师点拨】 给项求项问题，先考虑

13、利用等比数列的性质，再考虑基本量法变式 1：已知等比数列 %n中，an >0,(2a4+a2+a6)a4 =36 ,则 a3+a5 =解：: H ）是等比数列，an >02（2a4a22 ；勺6）a4=36 = （a3 ； a5）= 36 = a§ 1； a§ = 6 .考点四等比数列与其它知识的综合例8.设Sn为数列 w ）的前n项和,已知ban -2n =（b-1向证明：当b=2时，ann 2n是等比数列；求an 的通项公式。解题思路由递推公式Sn, an, n = 0求数列的通项公式 an = f （n）,主要利用:S(n =1)、一 一an =(),同时

14、注意分类讨论思想.* -Sn/(n 至2)解：由题意知 ai=2,且 ban 2n =(b1 后口，ban 书2nH1 =(b 1 )Sn 书两式相减，得 b(an省an )2n =(b 1 Jan书，即 an.=ban+2n当b=2时，由知 an步=2an+2n于是 an1 - n 1 2n =2an 2n - n 12n =2 烝-n 2nl又a1 一1 2n,=1 *0,所以 g-n，2n是首项为1,公比为q =2的等比数列。当 b =2时，由(I)知 an -n .2n=2n，即 an =(n+1)2n，当 b#2 时，由得 an+- 2n+ = ban +2n- 2n+ =ban -

15、b- 2n = b''an-，2n j n12-bn 2-bn 2-b.2-b1 n 11 n 2 1 -b n因此 an 1 - 2 = b I an 2 = b2 -b.2-b2 -b2n =1得an = 61 一 nn2 2n +(2-2b bn I n >2【名师点拨】 退一相减是解决含有 Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键【基阿巩固】1 .设On是公比为正数的等比数列，若a1 =1,a5 =16,则数列an前7项的和为（A 63B.

16、 64C.127D.128解：由 a1 =1,a5 =16 ,得 q4 = a5 =16 , q = 2 , S7 = a-q-)- = 127.a11 - q2 .设等比数列 an的公比q =2,前n项和为Sn ,则包=（C ）D."2a2A 2B. 4C.2解：S4 = 1 4(1中)_ 1-24 =15. a2a1q1 -q 2 (-1)23 .已知等比数列an满足 a1 *a2 =3, a2 *a3 =6 , 则 a7 = ( A )A64B. 81C. 128D.243解：q =a-a3 = 2 ,二 a1 +a1q =3= a1 =1, a7 =1 父27,=64.a1

17、a24.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1 , a+4,则an 二nA. 4 32nJ. 4 23解：(a 1)2 = (a - 1)(a 4) = a = 5a1an5.已知60 是等比数列,a2 =2, a5+anan书=(C )A. 16(1 -4,)B.16(1 -2，)解：；a2 =2,a5a1 = 4, q = 2C. 32(1 -4j)D.32(1 -2j)33.32a1a2 a2a3an an 1 = - (1-4 )32a b 一6.d是公比为2的等比数列，则等于2c dA.C.1D.7.已知an是等比数列，且>0), a2a4+2%+a4a6 =25 ,那么

18、a3 - a5的值是A.8. 6C. 7D. 258.在等比数列an中，已知a1a4 =3,则该数列前5项的积为A.9.A.10.A.11._1IABC的三边aB.C. 1D. ±3c既成等比数列又成等差数列，则三角形的形状是(A. B .等腰三个数成等比数列,C.等腰D.等边其积为 1728,其和为38,则此三数为3, 12, 48 若 6, x ,B.z4, 16, 27 C. 8, 12, 18,54这五个数成等比数列，则实数D. 4, 12, 36x的值是-6.3B.C, 376D. ± 3<6则 a99 ' a100 =12.(2009广雅中学)在等比数列中，已知 a9十a10=a(a#0),阚9十a20=b,b9解：利用 a9 +a10,a19 + a20 , a99 +a100 成等比数列，得 a99 +a100 = 8aa1 =b1, b2a -a1)