高一上学期数学压轴难题汇总

1、1 .已知函数f(x)满足f(logax)=a(x-x)，其中a>0且 a -1a/i,对于函数 f(x),当 xw(1,1)时，f(1-m) + f(12m)<0,求实数 m 的取值范围.2 .曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系式是 Q=3巴(x20) 已知生产此产品的年x 1固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件 成本的150%与“年平均每件所占广告费的 50%之和，当年产销量相等.试将年利润y(万元)表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100

2、万元时，该公司是亏损还是盈利？3 .已知函数 f (x )=loga(1 +x )-loga(1 -x ) (a a0且a = 1 ),(1)求f (x )的反函数f(x );(2)若f,(1) = ；,解关于x的不等式f/(x )< m(m w R ).四.定义在R上的单调增函数f(x),对任意x, yG R都有f(x+y尸f(x)+f(y).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(k 3x)+f(3 x-9 x-2) V0对任意xS R恒成立，求实数k的取值范围.五.已知圆C: x2+y2-2x+4y4=0. (1)写出圆C的标准方程；(2)是否存在斜 率为1的直线m,使m被圆C

3、截得的弦为AR且以AB为直径的圆过原点.若存在， 求出直线m的方程；若不存在，说明理由.2x x六.已知x满足2(log1x) +7log1x +3M0,求丫 =(蜒2二)(啕2二)的最大值与 2224最小值及相应的x的值.七.已知圆方程：x2 + y2-2ax+2y+a+1 = 0 ,求圆心到直线ax + y - a2 = 0的距离的取值范围已知函数 f x = ax2 bx c, (a,b, c Rlla = 0)九.自点(3, 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2 + y2 4x 4y+7 =0相切，求光线L所在直线方程.十.已知圆O: x2+y2=1,圆C:

4、 (x 2)2+(y 4)2 =1 ,由两圆外一点P(a, b)引两圆切线PA PB,切点分别为A、B,如右图，满足|PA|=|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程; 若不存在，说明理由.答案：一.解：设1 = logax, x= at所以 f (t)= 2a 3 一 a t)a -1即 f (x)=-a(ax - a-x)a -1解：设每年投入x万元，年销量为Q=3x±1万件,x 1每件产品的年平均成本为32 + -,Q年平均每件所占广告费为二Q销售价为32

5、+- 3+1' = 48+9、 Q； 2 2 Q 2Q年禾I润为 y =Ql|l48+9 - 32+I'-x =16Q+3-x LI 2Q J、 Q 42当x=100时，明显y<0故该公司投入100万元时，该公司亏损.三.解：ey -14= x 二y一 ,f (x)ey 1ax -1/Kx R);(4分)1f (1)31 a -1 c 、2x -1-=-a = 2, f (x)=:二 m3 a 12x 1=2x(1 -m) <1 +m.(6分)当-1 <m <1 时，得2x1 - m<1 m ,不等式的解集为1 m, x|x ： log 21 -

6、m(10(8分)当m21时，不等式解集为x = R；分)(12 分)当m 一 一1时, x ,正四.(1)证明：f(x+y尸f(x)+f(y)(x, y G R),令 x=y=0,代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0 .令丫=以，代入式，得f(x-x)=f(x .)+f(-x),又f(0)=0 ,则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x) 对任意xG R成立，所以f(x)是奇函数. (4分)(2)解：f(x)在R上是单调增函数，又由(1)f(x)是奇函数.f(k 3x)v-f(3 x-9x-2)=f(-3 x+9x+2), k 3x v-3 x+9x+2,

7、32x-(1+k) 3x+2>0 对任意 xG R成立.令t=3 x > 0 ,问题等价于t 2 -(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立. (6 分)1 + k<0即-1 时，f(0)= 2>0,符合题意； (8分)解得-KK-1 + 2打 (10分)综上,k < 1 +2v 2 -(12 分)六.解：由题意可. . ”彳 122.解工（1）圆C化成标准方程为“1y+3+2尸=3（2）假设存在以AB为直径的扇M,圆心M的坐标为（a, b）由于 5_Lm, . .k：i k;= -1 ,©户=-h傀-1即 a+b+l=O?得 b= -a-l

8、.B-4+3直线m的方程为厂b=La,即x-3r+b-a=0CM=-72J以AB为直径的圆M过原点，.|必|二|财a二QMMB = CB - |CM|3 =g_ I-"、,=/+/.9侬一事+ 3），=二十疗 2把代人得2/&-3 = 0-"=2或& = -12当以=，时& =-此时直线m的方程为*一厂4二6 22当鼻=-1,时方=0此时直线m的方程为x_y+l=O故这样的苴线1是存在的,方程为耳-厂4R或聂-#1=0.一 3 三 log 1 x 三2log 2 x - 314 ,当 1og2 x 一 3时，ymax - 21c二一4；当 x = 8

9、时，ymax = 2x x又.y = (log 2 a)(log 2 4)=(iog 2 x - i)(iog 2 x - 2)23、21=(log 2 x) - 3log2 x 2=(log2 x- -) - 4入 一 3、，. 当 10g 2 x 2 时，ymin即，当 x = 2J2 时，ymin 七.解：将圆方程配方得（x-a）2+（y+1）2 = a2-a（2分）故满足a2-a>0,解得a >1或a <0（6分）由方程得圆心（a, -1）到直线ax + y - a2 = 0的距离 d -|a r1a | =, v a>1,a<0(10 分). a 1 a

10、 1；2.: Ja +1 a J2,得 0 <d <2(14 分)8.9. .解：已知圆的标准方程是(x 2)2+(y 2)2= 1,它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2+(y+ 2)2=1。设光线L所在直线方程是：y3= k(x + 3)。由题设知对称圆的圆心C' (2, -2)到这条直线的距离等于1,即d = |5k+5|=1. .1k23 .4整理得 12k2 + 25k+12=0,解得 k = 3或卜=f .4 33 4故所求的直线方程是y-3 = (x+3),或y-3=-(x+3),4 3即 3x+4y 3 = 0,或 4x + 3y + 3 = 0十.解：(I)连结 PO PC : |PA|=|PB| , |OA|=|CB|=1 ,.|PO|2二|PC|2,从而 a2 b2 =(a -2)2 (b-4)2化简得实数a、b间满足的等量关系为：a + 2b-5 = 0.(II)由 a 2b -5 = 0,得a = 2b 5当 b=2 时,|PA|mL2(III ) 圆O和圆C的半径均为1,若存在半径为R圆P,与圆O相内切 并且与圆C相