高三年级数学4月模拟考试1

1、高三年级数学4月模拟考试1数学试题（理科）命题人：吴校红第I卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.）1 .已知全集U=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, A=3, 4, 5, B=1, 3, 6,则集合 C=2, 7,8）是（）A. AUBB. AABC. （CuA）U（CuB） D.依）仙）2 .设a,尸均为第二象限角，且sina>sin/?,则下列不等式成立的是（）A. tana < tan pB. cota < cot/7C. cosa > cos/7D. scc

2、a > secJ33 .等差数列4的公差d不为零，Sn是其前n项和，则下列四个命题中的假命题是（）A.若d<0,且Ss=S8,则Sn中，Ss和S6差不多上Sn中的最大项B.给定 n,关于一定 k e N * （k < n）,都有an_k + an+k = 2anC.若d>0,则Sq中一定有最小的项D.存在k e N *,使4 一 生和小一 4T同号4.如图，P为AAOB所在平面上一点，向量次=4,加=,且P在线段AB的垂直平分线上，向量而=c。若hl=3,lbl=2,则c（。-b）的值为（）A. 5B. 35 .已知直线平而a,直线nu平面A，则下列命题正确的是（）A.

3、若aH则B.若则7C.若？ _L，贝ij。/7D.若a,则a4x>06 .已知点M（a, b）在由不等式组（），N0确定的平面区域内，则由JVQ + Zm/ 。）所在平面区域的而积是（）A. 8B. 4C. 2D. 17 .从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有1个白球”与“差不多上白球”B. “至少有1个白球”与“至少有1个红球”C. “恰有1个白球”与“恰有2个白球”D. “至少有1个白球”与“差不多上红球”8 .若x, y e xI .V = + O x 10 + o, x 100» 其中q w 1,2,3,4,5,6,

4、7（i = 0,1,2）,且x + y = 636, 则实数（x, y）表示坐标平面上不同点的个数为（）A. 50B. 70C. 90D. 120229.己知直线y = k（x - 3）（Ae/?）与双曲线工-工=1 .某学生作了如下变形：由m 27y =心一3）x2 /消去y后得到形如4/+8%+。=。的方程，当A=0时，该方程有一解;J = 1m 27当A#0时， = 8?4AC2恒成立,假设学生的演算过程是正确的，则实数m的取值范畴为（）A. 9,+s） B. （0,9C. （0,3D. 3,+s）10 .关于函数/。）=，设/2a）=/1/（刈/（幻=/"2（刈，力川。）=。

5、（初（eN*,且之 2）,令集合 M =xl/2oo7（x）= x，xw R，则集合 M 为 （）A.空集B.实数集 C.单元素集D,二元素集第n卷（非选择题，共io。分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置上。）11 .若（五一,）6的展开式中的第五项是"，设=丁+厂2+工-3+X-"（tN“）， x2则 lim S =.12.已知i是虚数单位，且函数/(x) = <"0)在R上连续，则实数a等于. ci-2cqsx(x > 0)13 .过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B两点，若1

6、立1=21而1,则椭圆的离心率e=。14 .将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面), 所得几何体的表面积为。15 .已知函数/(X)= /+cx + d(,c,d为常数)，当t(-oo,0)<j(4,+oo)时,/(x) k=0只有一个实根；当1:£ (0, 4)时，/(x)攵=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：/ (x) - 4和T'(X)= 0有一个相同的实根：/(x) = 0和<(x) = 0：有一个相同的实根；/(a) = 3 =。的任一实根大于/(x)-l = 0的任一实根：/(x) + 5 = Ofi勺任一实

7、根小于/*)-2 = 0的任一实根.其中正确命题的序号是 o三、解答题(本大题共6小题，共75分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。)16 .(本小题满分12分)已知函数 /(x) = lg- (6 一 1) tan x - tan2 灯(1)求函数/(x)的定义域：(2)若夕是两个膜长为2的向量a, b的夹角，且不等式/。)<怆(1 + $小4)关于定义 域内的任意实数x恒成立，求h+bl的取值范畴.17 .(本小题满分12分)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求

8、摸得白球的个数的期望和方差.18 .（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知三个点列An, Bn，Cn,其中4（小勺）,纥（/“）Q（ 1,0）,满足向量A”4.i与向量后方共线，且点（B, n）在方向向量为（1, 6） 的直线上q = a,b=一.（1）试用a与n表示% （ > 2）：（2）若恁与s两项中至少有一项是小的最小值，试求的取值范畴。19 .（本小题满分12分）在三棱锥 P-ABC 中，PA，底面 ABC, PA=AB=BC=2, ZABC=90° ， M 为棱 PC的中点。（1）求证：点P，A, B, C四点在同一球而上；（2）求二而角AMBC的大小；（3）求

9、过P、A、B、C四点的球而中，A、B两点的球面距离,20 .（本小题满分13分）如图，以A” A?为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C, D, C,. D,连 接CG与OB交于点H,且有： 砺 = （3 + 2j§）筋。其中Ai, A” B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。（1）当c=l时，求双曲线E的方程：（2）试证：对任意正实数c,双曲线E的离心率为常数.（3）连接AC与双曲线E交于E是否存在实数4使乖=丸而恒成立，若存在，试求出4的值；若不存在，请说明理由.21 .（本小题满分14分）设函数 f（x） = -ax3 + bx2 + cx（a。v c）,其图象在点A（

10、18（? 处的切 线的斜率分别为0，-a.（1）求证：0<9<1 :（2）若函数f （x）的递增区间为s, t,求ls-tl的取值范畴.（3）若当x2k时，（k是a, b, c无关的常数），恒有/'（幻 + avO,试求k的最小值.高三年级数学4月模拟考试数学试题（文科）参考答案一、选择题1 . D 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. C 9. B 10. A 提示：2 .利用三角函数可知cosa>cos/°故选C.3 . 关于 A S8 53 = a4 + a5 +t/6 +。7 + % = 5a6 = 0.S5 =S6又=S

11、0,为最大，故A正确.关于C,点（n, Sn）分布在开口向上的抛物线,故（SJ中一定有最小的项，故C正确.4 .设AB垂直平分线交AB于M,.区4 =。一人. . . / + EP （a h）=。，而OP = OE+EP= 一- + EP 2a + b -1、.c（a_/?） = + EP （a-b） = -（a I2 225. v a/p,m ± 平面a, ：. m JL 平面p,又 u 平面0, ：. m ± n,故选 A.6.由题意得：a>0b>0 设<a+ b <2m = a + b .a，得 n = a-b因此线性约束条件转化为：m + n

12、 rn - n +m + nh =<2如图求得阴影部分的面积为：S=47 .关于A, B,两事件不是互斥事件，关于D,两事件既是互斥的，也是对立的，故选C.8 .x, y均为三位数，且x+y=636,将和分为两类，一类是没有进位的，如123+513, 一类 是有进位的，如163+473；没有进位时，由于6=1+5=2+4=3+3, 3=1+2（X, y）共有5X2X5=50个：有进位时，个位不可能进位，只能十位进百位，故十位只 能为7和6,从而百位只能为1和4与2和3,（X, y）共有4X2X5=40个，故总共有50+40=90个不同点.9.由已知可推得直线与双曲线恒有公共点, 而直线过

13、定点(3, 0) y/m <3=>0 <ni< 9/(外=1一fM + AW = /。(幻=fM，故"(x)是以4为周期.1 i y /，oo7(x)= ZjW = - = x = x2 +1 = 0(x e H),则r = 2，集合 M 为空集. -1-x二、填空题11. 112. 413. |14. 77315.®11.G=c：1)2(A="提示:115T：.x = 2,故 lim S = = 125"212 . vx< 0thJ/(x) = (-2/)/ = 2 . lim f(x) = /(0) = 2. x->

14、;0-又lim f(x) = lim (a - 2cosx)a 2,a 2 = 2 = a = 413 .如图，由椭圆的第二定义得幺=2=丝=d则4 =空， dx d2 4e”,=2,两式相减得=4 -心,注意到直线AB的倾斜角为60。j3 r32= I AB 1=(八 + r,) = r7. =,r,"攵e =22.2- c2.314 .原正四面体的表面积为4x2 = 9/,每截去一个小正四面体, 4表而减少三个小正三角形，增加一个正三角形，故表而积减少4x2x = 2>/3 ,故所得几何体的表而积为7 415 .由k<0或k>4时，/(x)-攵=0只有一个实数根

15、可知，在kVO或k>4时，函数y=f(X)与y=k的图象只有一个交点；0<k<4时，函数y=f(x)与y=k的图象有三个交 点; 故函数的极值点有两个，极值分别为。和4.函数大致图象如图所示，由图知/'(幻=0» 有两根 Xl, X2，J且/(M)= 4及/'(%2)= °J(项)=°及/'。2)=。/ ；： ° 及 X因此Xl是/)-4和/'。)= 0的根，X2是/(x) = o和<(x) = o的根，因此，对：将产f(X)的图象向下平移1个单位得y=f (x) -1的图象，向上平移3个 单位得y

16、=f (x) +3的图象，由图象知错；将y=f (x)的图象向上平移5个单位 得y=f (x) +5的图象，将y=f (x)的图象向下平移2个单位得y=f (x) -2的图 象，由图象知对.三、解答题16 . (1)若原函数有意义，则、/5-(、回一1八211.丫一12112工>0,解之得一不<1211工<1故乃一C vx vkr + 巳(攵eZ),故函麴(X)的定义域为(攵江一巳,攵江+二)(攵eZ)(2)因为xe(/br 2,上乃 +2)( wZ时,0v 6 (有一1) tanx - tan2 x< 1 + 342回故函数f (x)的最大值为怆(1 +3),要使/(

17、x)Wlg(l + sin0恒成立，只需lg(l+sin/?)> lg(l +g).故sin/7 N 3、：.P e g,4,； W cos/7 < 1 乙乙J J 乙乙故la+l/Ta +历|2 +21 a I - IZ?I cosp = 4 + 4 + 2x2x2xcosp = 8 + cosp故I a + F的取值范围是4,12, .-.I a + b的取值范围是2,27317 .解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球 两次，两球恰好颜色不同”为事件A,1646x6 9“两球恰好颜色不同”共2X4+4X2=16种可能，.P(A) = =

18、-解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验 21每次摸出一球得白球的概率为P =二=.“有放回摸两次，颜色不同”的概率为八二。;。p) = 39(2)设摸得白球的个数为彳，依题意得4 3 24 2 2 4. p(g = o)=x二=二，p(g = i)= _x 二+x655 ”6 5 6 5哈尸=14=5181= 0x + lxf2x =2151522)22,82,116一,£>4 =(0 )-x- + (l )-x + (2-)-x =3'3531531545 18. A“A+ = (l,q田一%),纥Q = (-1,一/乙) A4+与纥C共线,.an+i -anb

19、b又:Bn)在方向向量为(1, 6)的直线上，.2 ± = 6,即2,_2=6 + 1 nbn = -u + 6(” - 1)% =4| +(% )+ (%-%)+3 _-1)= + 4 +b2 +4-1z 、/ 八(一1)(一 2)=a + (一)( -1) + x 62=a a(n -1) + 3( - 1)( - 2) = 3/ - (9 + a)n + 6 + 2a(n > 2) + 9(2) ;二次函数/(x) = 3(a + 9)x + 6 + 2o是开口向上，对称轴为x = 的 6抛物线又因为在法与a?两项中至少有一项是数列a“的最小项，.对称轴x = T应该在U

20、, 内，即口 山4 U24 4 “ 3662 226219. (1)证明:由已知条件 RtZkPAC 中 PM=MC,则 MP=MC=MAPA ±平面A8C/ v AB是尸B在平面ABC上的射影，.尸8 1 BCAB1BC .则MC=MB=MP,因此MP=MC=MA=MB,即P, A, B, C四点都在以M为球心，半 径为PM的球面上，(2)以AC为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 B ( 7V2,O),;W(O, V2,l),C(0,25/2,0)设平面 AMB 的法向量为 n = (x,AM = (0, JI1), A启=(JI、5,0)=V22万所以&

21、quot;=(等学) y = AM = 0zri一得42同理设平面bmc的法向量为7m也1),则1m . f£= °解得 7=,i) m - CM = 022I m II n I 2因此cosg= " =,故二而角AMBC的大小为1200.PC -(3) ;过P, A, B, C四点的球面的球心为M,半径为MC= = Ji,A/?=2在 AM48中,cosZAMB =ZAMB = arccos一.273x273 33故A、B两点的球面距离为JJarccosL320. (1)由 c=l 知 B (0, I),砺=(3 + 26)筋，/. xn = 0,4)， AA

22、二 j-l.干"LIL _ J . I，22 2即H(o£),点C在单位圆上，.C = d，?)设双曲线E的方程为:一二=1(。> 0/ > 0).a2+b2 =1,由点C的双曲线E上，半焦距c=l有：13解得二一= 1,因此双曲线E的方程为： 、= = 1J3 J3T 2a1 +Z?2 =c2(2)证明：Ai (c, 0), B(0, c),由 丽= (3 + 20)丽得：(0.亘c),C(Lc,亘c), 222设双曲线E的方程为 二一三= 1(。>0/>0), 代入，化简整理得 3a4 + 6a2b2 -/ =0,.(-)4 -6(-)2 - 3

23、 = 0 a a解得(2尸=3 +2JI又 / =二=1 + (与2 =4+2y/3. cr ae = J4 + 2。=+1，即双曲线E的离心离是与c无关的常数。(3)假设存在实数九使而 =4定恒成立，4(-c,O),C(二4) 2 21 + A0点 (/一2) 上乙 ,F都在双曲线E上，故有 2(1 + 2) 2(1 + 4)居士=14a + G,故存在实数几=二，使人尸=AFC恒成立.21. (1)r(x) = ax2+2/> + c,由题意及导数的几何意义得/= + 2b + c = 0 f (m) = am2 + 2b，n + c = " 又 a < b < c,可得4a <a + 2b + c < 4c,即4a < 0 < 4c,故。< 0,c > 0 4b2 <,2(几一2)2 3c2方 42(1 + 2)2 4Z?2(1 + A)2 '- 3c2 c2 e2 4由得一=4 =二=七一 b' b- 32 =22 + 1代入得(/二2)二一(/ _% 一 J = 1,化简整理得一加2 4(1+ 2)24(1+ 2)2即4 = =L,利用(2)小题的结论得：丸="汕