三角形与多边形及镶嵌

1、三角形与多边形及镶嵌一、知识结构框图： 二、知识要点：1三角形的分类：2三角形的三种重要线段：三角形的高线、中线、角平分线。3三角形的三边之间的关系：（1）三角形任意两边的和大于第三边；（2）三角形任意两边的差小于第三边4三角形的内、外角性质：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；（4）三角形的外角和等于360°5作图6三角形的稳定性三、典型例题：1如图，图中共有多少个三角形? 分析：根据三角形的概念，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，关键在于按照某种顺序去找。解：共8个，分

2、别为：BCE，CDE，BFE；BCF，BCD，ACF,ADB；BCA2在ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长。分析：因为中线BD中的点D为AC边的中点，所以AD=DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC边与AB边的不等，故应分类讨论。解：如图，设，则 （1）若AB+AD=12， 即，得x=8 即AB=AC=8 则DC=4，故BC=15-4=11 此时AB+AC>BC，可构成三角形（2）若AB+AD=15， x=10 即AB=AC=10，则DC=5，故BC=12-5=7 显然此时可构成三角形综上，三边长为：8，8，11或1

3、0，10，7.3（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；（2）已知三角形的三边分别为14，4x和3x，求x的取值范围；（3）已知三角形的三边分别为，和，求的取值范围。分析：根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差第三边两边之和，所以较容易确定第三边的取值范围解：（1）（6-5）cm < c <（6+5）cm 1cm<c<11cm 设周长为pcm 又因另两边分别为5cm和6cm （5+6）+1cm < p < 11+（5+6）cm 即12cm < p < 22cm（2）根据三角形的三边关

4、系： （3） 又 三角形的三边长为正 又 4如图，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。 分析：邮递员走经过C村而不走经过D村的路，其理由很明显：因为路程更近。若将该问题抽象成数学问题即为：已知：C是ABD内一点，试证明：AD+BD>AC+BC。点拨：解决几条线段间的不等关系，应利用三角三边关系性质，为此，连接AB，得BD+DA>AB，CA+CB>AB，但仍无法得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线段之间的相互关系。解答：延长AC交BD于点E

5、，由三角形的三边关系：在ADE中，AD+DE>AC+CE 在CBE中，CE+BE>BC 由和得：AD+DE+BE+CE>AC+BC+CE所以：AD+BD>AC+BC四、多边形及其平面镶嵌：1多边形及其内角和：（1）n边形的内角和： （2）多边形的外角和等于360°（3）多边形的对角线： 从n边形的一个顶点作对角线有：（n-3）条； n边形共有：条对角线。（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。2正多边形的概念：正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角形例外，满足其一即可说明：（1）只满足“各边相等”的反例：

6、菱形；（2）只满足“各角相等”的反例：矩形3多边形的内外角和的推导思路：（1）通过对多边形内角和公式的探究和推导，充分体会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重 要作用，在探究的过程中应与同学们充分讨论，发现不同的证法 说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置（2）利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，体会变与不变的关系五、例题选讲：5一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2答案：A6己知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数。 答案：127一个凸多边形的内角和与它的一个外角

7、的和为2005°，求多边形的边数。答案： 13 提示：用2005÷180=11余25，n一2=11，n=138若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是_答案：七 提示：从外角考虑，外角和中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角，所以也就最多有七个内角或七条边。9如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数答案：130° 提示：用2570÷180=14余50，180°-50°=130°六、课题学习 镶嵌：1本节课是探索并推导平面图形的镶嵌问题，通过这个过程

8、可以加深对多边形内角和的理解2用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或 平面镶嵌）的问题。3通过探究和实验，总结出平面镶嵌的必要条件是：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；（2）相邻的多边形有公共边4主要解决的问题是：（1）什么样的正多边形可以实现平面镶嵌?假定有正n边形，则此正n（n3）边形的每一个内角等于，如果在一个顶点周围有k个正n边形的内角，由于这些角的和应为360°，因此有，化简得，所以此不定方程有且只有三组正整数解： 即分别用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形可平面镶嵌（2）用全等的任意n边形进行平面

9、镶嵌，易证三角形和四边形可以，当n5时，只对于特殊的全等n边形还可能，如下图，是圣地亚哥的一位妇女玛乔里·赖斯于1977年12月找到的。（3）利用（1）的办法，研究用两种正多边形进行镶嵌，可能的结果有以下几种：3个正三角形和2个正方形，或4个正三角形和1个正六边形，或2个正三角形和2个正六边形，或1个正三角形和2个正12边形，或1个正四边形和2个正8边形图形如下： 初一数学周末练习8（三角形与多边形及镶嵌）周末练习：基础练习：1如图，己知ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分BEF，若l=50°，则2的度数 为（ ）（A）50° （B）60

10、6; （C）65° （D）70°2若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角 B是150°,第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C是（ ） （A）120° （B）130° （C）140° （D）150°4如图，在RtABC中，B=90°，A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的点, 折痕为BE，则的长

11、是_ 5如图，ABE和ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的若1：2：3：=28：5：3， 则的度数为_ 6如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点, 请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法）7判断下列三条线段能否构成三角形（1）3k，4k，5k（k>0）（2）m+1，2m，m+1（m>0）（3）a，b，a+b+1（a>0，b>0）8（1）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长 （2）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为

12、6cm，求其它两边的长9已知：如图2，ABC中，D是AB上除顶点外的一点 求证：AB+AC>DB+DC10已知：如图3，点P为ABC内任一点求证：11已知：如图4，D、E是ABC内的两点求证：AB+AC>BD+DE+EC12已知：如图5，在ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求ABC各边的长。13下列四个图中能说明1>2的图是（ ）14已知：如图7，直线ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，试说明：P=90°。 15如图8，在锐角三角形ABC中，CD、BE分

13、别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若A=50°，求BPC的度数。16如图9，D是ABC内任一点，试说明：ADB=1+2+C17如图10，若P为B、C平分线的交点，求的值。18如图11，ABC的两条外角平分线交于点D，则下列等式成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）19如图，ABC中，ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，试探求D与A之间的大小关系。 20已知：如图12，在ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F求：C+1+2+3 21已知：如图13，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，A与l+2之间有什么关系，请猜想并证明2

14、2把一副三角板按如图14方式放置，则两条斜边所形成的钝角=_度 23某零件的形状如图15所示，图纸上要求A=90°，B=32°，C=21°，当检验员量得BDC=145°就断定这个零件不合格。请你解释一下，这是为什么? 24已知：如图16，ABC中，ABC=C=BDC，A=ABD，求A 25如图17，在ABC中，AEBC于E，AD为BAC的平分线，B=50°，C=70°，求DAE的度数。基础练习参考答案：1C 2B 3D4580°6有2个 作图：连结AB，作AB的垂直平分线，以AB为直径作圆， 该圆与AB的中垂线的交点就是所求

15、作的点。7（1）能 （2）能 （3）不能8（1）20 cm或22 cm （2）12cm，12 cm9证明略10证明略11. 提示：延长BD、CE，交于F 12. 6cm，6cm，4cm或，13C14略15130°16证明略1790°18C1920180°212A=1+222165°23BDC=143°2436°2510°中考链接：1如图，直线ABCD，EFCD，F为垂足如果GEF=20°，那么l的度数是_度。 2如图1，已知ABC为直角三角形，C=90°，若沿图中虚线剪去C，则1+2等于_ 3已知一个三角

16、形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（ ）A60° B75° C90° D120°4如图3所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点）， 在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是_ 5三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为_cm26八边形的内角和为_度7在下列四组多边形地板砖中，正三角形与正方形；正三角形与正六边形；正六边形与正方 形；正八边形与正方形将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）A B C D8拼图与设计： 如

17、图22-1，四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形，为了节省材料，他准备在剩余的六块砖中（如图22-2所示）挑选若干块进行铺设，请你在下列网格纸上帮他设计3种不同的铺法示意图 9（辽宁大连旅顺）如图，ABC为等边三角形，面积为S，分别是ABC三边上的点，且，连结，可得（1）用S表示的面积_，的面积_；（2）当，分别是等边ABC三边上的点，且时，如图，求 的面积和的面积是；（3）按照上述思路探索下去，当，分别是等边ABC三边上的点，且 时（n为正整数），的面积 _。 的面积 _ 10若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）A5 B6 C7 D81

18、1一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是_12如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2图a、图b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图b、图c的方格纸上。要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方