二重积分的计算

1、 2二重积分的计算【目的要求】1、熟练掌握先x后y和先y后x的二次积分方法；2、会熟练交换积分次序；会利用积分区域对称与被积函数的奇偶性简化二重积 分的求解；3、熟练掌握先r后9的二次积分方法；4、会熟练地进行直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化.【重点难点】1、二重积分计算方法的建立；2、二重积分化为二次积分时积分限的配置；3、直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化.【教学内容】根据二重积分的定义来计算二重积分，对于一下特别简单的被积函数和积分 区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的因此，需要 我们探求新的简便可行的计算方法本节我们将介绍把二重积分化为累次积分(即两次定积分

2、)的方法.一、利用直角坐标系计算二重积分下面我们将利用二重积分的几何意义讨论.f(x,y)d匚的计算问题，以下假D定f(x, y) 0 在直角坐标系中，二重积分的面积元素 d-可表示为dxdy，即f (x,y)df (x,y)dxdy .DD图7-4如图7-4所示，其中：i(x) , - 2(x)在区间la,b 上连续这种区域的特点是: 若穿过D内部的一点与y轴平行的直线，则该直线与区域的边界相交不超过两 点，我们称之为X型区域.按二重积分的几何意义，iif(x,y)d；的值等于以D为底，以曲面z=f(x,y)D为顶的曲顶柱体的体积.我们可以应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的 方法计算这

3、个曲顶柱体的体积.先计算截面积为此，在区间la,b 上任意取定一点xo，作平行于yOz面的平面x=x 这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间 ：i(x0), 2(x0)为底、曲线z = f (xo, y)为曲边的曲边梯形(图7-5中阴影部分)，yozz 二f(x,y)ax b图7-5所以这截面的面积为2 (x0)A(xo)=.阳 f(xo,y)dy .一般地，过区间la,b 1上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为$(x)A(x)二.,(x) f (x, y)dy -于是，应用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法，得曲顶柱体的体积为ba_ $(x)IV = A(x)dx

4、=(闵(X)f (x, y)dy dx .这个体积就是所求的二重积分的值，从而有等式.f(x,y)d二D卩p(x)f(x,y)dy(1)上式右端的积分叫做先对y后对x的二次积分，即先把x看作常数，f (x, y) 只看作是y的函数，并对y计算从：!(x)到：:2(x)的定积分，然后把计算结果(是 关于x的函数)对x计算在区间l.a,b 1上的定积分这个二次积分也可以记作b2(x)Jdx f(x,y)dy a - -i (x)因此，(1)式也可写成b(x)f(x, y)d；二 adxx)f (x, y)dy，(2)D这就是把二重积分化为先对y后对x的二次积分的公式.在上述讨论中，我们假定f(x,

5、y)_0，但实际上公式(1)的成立并不受此条件 的限制.类似地，如果积分区域D可表示为不等式，- i(y- 2(y) 如图7-6所示，其中(y)、2(y)在区间l-c,d 1上连续，那么就有f (x, y)d 二=y -2 ( 屮Q IT=Jf(x, y)dx)(3)D2(y)o7-6图式右端的积分叫做先对dx再对y的二次积分，该积分区域的特点是穿过D内部的一点作与x轴平行的直线.则该直线于区域的边界相交不超过两点，我们称之为Y型区域这个二次积分也可以记作d Sy)cdy .仙 f(x,y)dx - 因此，(3)式也可写成dV2 (y)f (x,y)d ：； - .c dy , (y) f (

6、x, y)dx .D一般地，对于二重积分f(x,y)d二，根据积分区域D的特点，若既是X型D又是Y型，则公式 、(3)均可用，且这两个不同次序的二次积分相等，因为它 们都等于同一个二重积分f(x,y)d匚；若既不是X型又不是丫型，则我们要利D用分割把区域分成几部分，使每个部分或是X型或是丫型.在图7-7中，把D分 成三部分，它们都是X型区域，从而在三部分上的二重积分都可应用公式(2)，再根据二重积分的性质2,它们的和就是在D上的二重积分.图 7-7dd下面我们通过例子来说明.例1计算xydb，其中D是有直线y =1 , x = 2及y = x所围成的闭区域.D解首先画出积分区域D (如图7-8

7、)所示，D既是X型又是Y型，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式，即有两种解法，如下：解法2 x212.xyd；丁 = 1 dx 1 xyd 1 ( x y D21dxy-1解法2 2 2 1 2 xydb = ( dx Jy xydy = ( (-x y) nZ；dy1 2 x图7-8例2 计算.xyd匚，其中D是由抛物线y及直线y =x-2所围成的闭242区域.x解 首先画出积分区域D如图7-9所示， D既是X型又是Y型的，因此既可以利用公式 (2)也可以利用公式 ，即有两种解法，如下：解法一将它看成X型区域，则由于在区间0,1及1,4上表示l(x)的式子不同，需要 分成两个小区域，我们

8、分别记为 D,和D2，其中Di - l(x, y) - x _ y _ x,0 _x -1，D2 - (x, y) | x - 2 _ y _、x,0 _ x _ 1J.因此，根据二重积分的性质2,有1 伐4-/xxyd；- xyd-亠 nxydc - odxxydx 订 dx xxydy DDD2一訂 x(y2)性 dx+fx(1y2)| 已dx45-8 .解法二将它看成丫型区域，则D =(x,y) _1 兰 y 兰2,y2 兰 x 兰 y+ 2，于是11xyd D2y -2jdyxydx =2 x2y 2y245由此可见，利用公式(2)来计算比较麻烦.例3 计算 y 1 x2 -y2d匚，

9、其中D是由直线y二x、x=-1和y = 1所围 D成的闭区域.解画出积分区域D (如图7-10所示)，D既是X型的，又是Y型的.若利用公式(2)，得.y -1 x2 -y2 界=:dxD；”1 X2 -y2dy1)1 1 2 2-3.,(1 x -y )Xdx1 13一3 *(|x|31)dx2 131(x -1)dx 二 32若利用公式(4),得图 7-10x2y2d；二dy 1 x2y2dx ,其中关于x的积分计算比较麻烦所以这里用公式（2）计算较为方便.例4 计算Sin-y，其中D是由抛物线y2 =x及直线y = x所围成的闭D y原函数，因此计算无法继续下去.如果将它看成丫型区域，D=

10、（x,y）O兰yy2 S兰y，则sin yyy sin ydxsin yy(y - y2)dy恰当的二次积分的次序.这时，不仅需要考虑积分区域D的形状，还要考虑被积函数f (x, y)的特性.aya例 5 试证：dy eb2)f(x)dx (a - x)ebz)f (x)dx，其中 a,b均为常数，且a 0 .证分析：等式左边是个先对x再对y的二次积分，等式右边是个关于x的定积分，而 被积函数是关于x的函数，所以不妨交换积分 次序，即换成先对y再对x的二次积分，如图7-12所示.等式左边=0 dx L e f(x)dy = (a -x)e (x f (x)dx .例6 求两个底圆半径都等于R的

11、直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为X2 y2 二 R2 及 X2 Z2 二 R2 .利用立体关于坐标平面的对称性，只要计算它在第一卦限部分(图 7-13(a)的 体积V,，然后再乘以8就是所求立体的体积.所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为D = (x, y)OxR,Oy Jr2 _x2 ，图7-13(b)所示.它的顶是柱面z, R2 -x2 .于是图 7-13 (a)图 7-13 (b)利用公式(2),得V1R -x deDRR2 _x20血0R2x2dyC R2-x2y)ofjZdxR3 从而所求立体的体积为V =8V16R3.3二、利用极坐标计算

12、二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，而且被 积函数用极坐标变量r，二表示比较简单.这时，我们可以考虑利用极坐标来计 算二重积分iif(x, y)d二.D我们知道平面上任意一点的极坐标rj与它的直角坐标x,y之间的变换公式为x = r cost， y = r sin .n按二重积分的定义 f(x,y)d；-lim a f ( )，下面我们来研究这个和 的极限在极坐标系中的形式.O图 7-14假定从极点0出发且穿过闭区域 D 内部的射线与D的边界曲线相交不多于 两点.我们用以极点为中心的一族同心圆： r二常数以及从极点出发的一族射线：二二 常数，把D分成n个小闭区域

13、(图 7-14).除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积=6可计算如下:1 2 1 21 - j(r - r,) r,.丫珂1=；(2斤：rj r, 2(“) rw T冃,其中rf表示相邻两圆弧的半径的平均值.在这小闭区域内取圆周r壬 上的一点(GT)，该点的直角坐标设为i, i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有i = r cosn， i 二 r sin =.于是nnlim f( , i).：G =lim fWcosEJiSinR)* 笛.心,50 i4刃 y即 11 f (x, y)d；-f(rcosr,rsin r)rdrdv .DD这里我们把点(r,R看做是在同一平面上的点(x,

14、y)的极坐标表示，所以上式右端的积分区域仍然记作D .由于在直角坐标系中 f (x, y)d二也常记作Df (x, y) dxdy所以上式又可写成D11 f (x, y)dxdy 11 f (r cosy r sin Rrdrd n .(5)DD这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdr就是极坐标系中的面积元素.公式(5)表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x， y分别换成rcos， r si nr，并把直角坐标系中的面积元素dxdy 换成极坐标系中的面积元素rdrd 即可.同样，在极坐标系下计算二重积分也要将它化为二次积分，我们根据极

15、点与积分区域的关系分三种情况介绍.(1)极点0在区域D之外，如图7-15所示，这时区域D在-:与v - -两条射线之间，这两条射线与区域D的边界的交点把区域边界分为两部分，r =几(旳，r二.这时区域D可以表示为D(r,R： v - 山(巧乞r 乞2(旳？， 于是图 7-15f(rcosyrs in Rrdrdx dr f(rcosyrsi nRrdr .D_ 极点0在区域D的边界上，如图7-16所示，这时*9)=0,区域D可以表示为D J(r,R ： r ： -，0 乞r mr(?，于是11 f (r cost, rsin v)rdrd vDPd v f (r cosv,r sin v)rd

16、r . a极点O在区域D的内部，如图7-17所示，这时区域D可表示为D=(r,日)0 兰日 W2.0 WrWr(B)，于是iif(rcosdrsin )rdrd =d2二.心 心。 f(rcos,rs in )rdr .计算二重积分d性，其中D是由x1 2 y2玄1所确定的圆域.在极坐标中，积分区域D可以表示为D (rj) 0 心 2- ,0 r .于是,2 二.10 - -0dHX d 普=0 叽2S，nr2dr8_3例8 计算二重积分11. x2 y2d二，其中D是圆x2 y2 = 2y围成的闭区D域.解 圆x2 y2y的极坐标方程是r =2si nr ,如图7-18所示，积分区域D可以表

17、示为D - (r，对 0 ： v :二，0 乞 r 乞 2sin v /.于是x2 y2d _r2drd r _ d-:D兀 38 兀2.sin(1cos Rd cos)一8(CO$_Eos。今仝 2339x2 y2 乞 R2 ?.计算二重积分lie y )dxdy，其中D(x, y)D在极坐标中，积分区域D可以表示为D =(rj)O_r - 2 ,Q R .2 丄” 22 Ie4x y )dxdy dr e0 - 0 Drdr =2二 Je)2RR2、o (1 一e ).例10计算二重积分I二1z f如，其中D是直线y = x、x = 2及d ,(x2 y2)3上半圆周y = 2xx2所围成的闭区域.解 画出积分区域D，如图7-19所示, 它在极坐标下可表示为D科(。统辽生沁新兰cos寸于是21n .IJ冒吉rdr 。耳如12cos -图 7-19于是_1(sinr In |secr tan州)JI40八1吟-In( & 1) 2 2三、广义二重积分若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函数，我们可以先在有界区 域内积分，然后通过取极限求此积分这类积分在概率统计中有广泛的应用.2例11计算定积分1= e dx J-Q02解本题如果用定积分计算，由于e的原函数不能用初等函数表示，