二项式分布及其应用(教师版)

1、考点梳理1. 条件概率及其性质(1) 对于任何两个事件 A和B,在已知事件 A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号 RBA来表示，其公式为P(B|A)=在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(2) 条件概率具有的性质: Ow F(B A) w 1; 如果B和C是两互斥事件，贝yP(BU C A = R B| A) + P( q A).2. 相互独立事件(1)对于事件 A B,若A的发生与B的发生互不影响，则称 A B是相互独立事件.若A与B相互独立，则P( B| A) = PLB),F(AB = RB|A) P(A) = RA) RD 若A与B相互独立，则 A与

2、B , A与B, A与B也都相互独立.若R AB = A)P(B)，则A与B相互独立.3. 独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2) 二项分布在n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为k,在每次试验中事件 A发生的概率为 p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X= k) = Cnpk(1 p)n_k(k=0,1,2 ,，n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记作 XB(n, p),并称p为成功概率

3、.考点自测1甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再 赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为().3A.3B.C.D.解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢,其概率1P1=2第二类，需比赛2局,1 1 1第一局甲负，第二局甲赢，其概率R=2= 4.3故甲队获得冠军的概率为R+ P2= 4.答案 A2.小王通过英语听力测试的概率是13,他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的3概率是().4A.4B.解析所求概率答案A29p= C 丄 1.1-13C.427D._227区一3如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统，当 K正常工作

4、且 A、A至少有 一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A、A正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8 ，则系统正常工作的概率为（）.A. 0.960 B . 0.864 C . 0.720 D . 0.576 解析p= 0.9 X 1 (1 0.8) 2 = 0.864.答案 B4. 如果XB 15, 1，则使P（X= k）取最大值的k值为（）.A. 3B. 4C. 5D解析米取特殊值法. RX= 3) = C35 4 3 3 12, P(X= 4)=讨冷 11, P(X= 5)=亍。, 从而易知 P(X= 3) = RX= 4) P(X= 5).答案 D5.把一枚硬币连续抛两次，记第一

5、次出现正面”为事件 A “第二次出现正面”为事件B,则P（ B| A）等于（）.1A.2B.C.D.解析法PAB=4P(A) 12法二 A包括的基本事件为正，正 , 正，反, AB包括的基本事件为正，正，因此RBIA! =1答案 A考向一条件概率【例1】从1,2,3,4,5 中任取2个不同的数，事件A= “取到的2个数之和为偶数事件B=“取到的2个数均为偶数”，贝U P（ B| A）等于（）.1121AB.-C.D.8452C + C 42C 1解析P(A)=C = 10= 5,RAQ B) = C2=币丄由条件概率计算公式，得 P（ B A） =）= =10答案 B【训练1】如图，EFGH是

6、以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地 扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形 OHE阴影部分)内”，则 P(A =； (2) P(B| A =.n 解析 圆的面积是n,正方形的面积是2,扇形的面积是-,根据几何概型的概率计算公1式得p(a)=n,根据条件概率的公式得nP B| A)=PAB 二PA2 -7t答案考向二独立事件的概率【例2】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地的

7、3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解(1)设“购买甲种保险”事件为A,“购买乙种保险”事件为B由已知条件 RA = 0.5 , F(BA) = 0.3 ,1-P( A B) = 1-P(A)P(B)-P(B)P(A) = 0.3 , P(E)=窝=0.6因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为=1-(1 0.5)(1 0.6)=0.8.(2) 一位车主两种保险都不购买的概率为P= P7 B) = 0.2 ,因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 dx 0.2 X 0.8 2 = 0.384.【训练2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋

8、比赛，甲对 A、乙对B,丙对C各一盘.已知甲胜 A、乙胜B丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5 ，假设各盘比赛结 果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的分布列和数学期望 E( 3 .解(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F, 则D , 1, F分别表示甲不胜 A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为 RD) = 0.6 , P(E) = 0.5 , PF) = 0.5丄_由对立事件的概率公式知P(D =_0.4P E) = 0.5 , P(F) = 0.5.红队至少两人获胜的事件有：de3, def, def, def

9、由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P = RDEF) + RDEF) + P( DEF + P(DEF = 0.6 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5 + 0.4 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5 = 0.55.(2)由题意知_ 3可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DE3, DEF, DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此R片0)=P(DEF = 0.4 X 05 X 0.5 = 0.1 ,_H 3= 1) = RD耳)+ P(DEF) + PDEF)=0.4 X 0.5 X 0

10、.5 + 0.4 X 0.5 X 0.5 + 0.6 X 0.5 X 0.5 = 0.35 ,R = 3) = RDEF = 0.6 X 0.5 X 0.5 = 0.15.由对立事件的概率公式得R = 2) = 1 P( = 0) P( = 1) P( = 3) = 0.4.所以3的分布列为：30123P0.10.35：0.40.15因此 E( 3 = OX 0.1 + 1 X 0.35 + 2X 0.4 + 3X 0.15 = 16考向三独立重复试验与二项分布【例3】?一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)

11、 设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2) 设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.1解(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为-,且每次试验结果是相 互独立的，故XB6, 1 .RX= k)=胡 36 ，所以X的分布列为k= 0,1,2,3,4,5,6.Y是随机变量，其取值为(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然 0,1,2,3,4,5,6.k+1个路口遇其中：Y= k( k= 0,1,2,3,4,5) 表示前k个路口没有遇上红灯，但在第 上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.RY

12、= k) = I k(k = 0,123,4,5)而Y= 6表示一路没有遇上红灯.故其概率为p(Y= 6) = )，因此Y的分布列为:Y0123P11 2133 33他丿3丿Y456P3 13；3 I3 .丿(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为X 1 = X= 1 或 X= 2 或或 X= 6, 所以其概率为6F(X 1) =、 F(X= k) = 1-F(X= 0)k= 12 6 665=任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； 任选3名下岗人员，记 X为3人中参加过培训的人数，求 X的分布列.- 3 = 729.【训练3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员

13、的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%参加过计算机培训的有 75%假设每个人对培训项目的选择是相互独立的， 且各人的选择相互之间没有影响.解(1)任选1名下岗人员，记该人参加过财会培训”为事件A该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知，事件A与B相互独立，且 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P A B) = PA) P(B) = (1 0.6)(1 0.75) = 0.1.该人参加过培训的概率为1 0.1 = 0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的

14、人数X服从二项分布X巳3,0.9),F(X= k) = C30.9k x 0.1 3 k, k= 0,1,2,3 ,X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729 :课堂练习、选择题2 31 .两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和玄，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为1511A.2 B.乜 C. 4 D. 62解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,贝U P(A)二P(A) + P(A) -3X 4+1353X 4= 12.答案 B2. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，

15、两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为().A. 0.12 B . 0.42 C . 0.46 D . 0.88解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1 0.6)(1 0.7) = 0.12.至少有一人被录取的概率为1 0.12 = 0.88.答案 D3. 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是().A. 0.4,1 B. (0,0.4C. (0,0.6 D. 0.6,1解析 设事件A发生的概率为P,贝U C4p(1 p)30.4，故 选A.答案 A4 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中

16、各掺入了一枚劣币，国王怀疑大 臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为pi和p2.则().A. Pi= p2 B . P1VP2C. pip2 D .以上三种情况都有可能解析Pi= 1 Xi0= 110099 101009 801 510 000 ，P2= 1 C9 .98 5C100 二1莎则 P1_n? F i|ih3答案 C7个电路如图所示，A、B、C D、E、F一 1 一为6个开关，其闭合的概率都是2,且是相互独立的,则灯亮的概率是().1A.64 B.55641C.8 D. 16解析

17、设A与B中至少有一个不闭合的事件为 T，E与F至少有一个不闭合的事件为 R,113则 P(T) = P(R) = 1-2 2= 4，所以灯亮的概率 P= 1-P(T)P(F)P(C)P(D) = 64答案 B二、填空题8.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次16的概率为25,则该队员每次罚球的命中率为解析 由题意得该篮球运动员两次罚球都命中的概率为16 _925= 25,该队员每3次罚球的命中率为5.3答案359有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随 机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 .解析 设种子发芽为事件A,种子成长

18、为幼苗为事件B(发芽，又成活为幼苗)出 芽后的幼苗成活率为：P(BA) = 0.8，P(A) = 0.9.根据条件概率公式P(AB|二P(B|A) P(A)二0.9 X 0.8二0.72，即这粒种子能成长为 幼苗的概率为0.72.答案 0.7210. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为 0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则 两个闹钟至少有一个准时响的概率是.解析设A= “两个闹钟至少有一个准时响”. P(A) = 1-P( A) = 1-(1 0.80)(1 0.90)=1 0.2 X 0.1 = 0.98.答案 0.98

19、11. 将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为解析 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率1 + 6+ 15 _ 1164_ 32.12. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回 答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率 都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A,则P(A) _ 0.8，P= p AU A AAA=(1 P(A) P(A) P(A) = 0.128.答案 0.

20、128三、解答题13. 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮1球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是3.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了 3场的概率;求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.”(仁214解卩巳3二27.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427；6场胜3场的情况有止种,二 p= C6 - I1 & 20X 丄 X-8 =型327 27 729所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729；由于3服从二项分布，即3B6, 1)目 3 = 6X3= 2, D 3 = 6X

21、3x 1 4所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为3.14. 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人 都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投1一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 3,他们的投票相互没有影响,规定：若投票结果中至少有两张 “同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃 对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率；中立”票的概率.(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张 解(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=时3 + C3!3=27-(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立票，有以下四种情形：“同意”