二重极限与二次极限与一次极限的比较

1、重极限与二次极限与一次极限的比较lim f仅M x->alim lim ffx.y) = lim g(x)如果二重极限是 9b,二次极限分别为 F 户匕 E ,和lim lim f(xfy) = lim h(y) g(x) = lim f(xfy) h(y) = lim f(xPy)yTbxTa xTa .其中，, a, b 是常数。则二lim f(xM重极限2b 存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b) lirn f(xfy)时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限V" 存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，

2、f(x,y)的极限都存在。lim lim f(xTy) = lim g(x)二次极限白"b *T3 存在，表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X逼近(X,b)也就是(x,y)->(x,b), 然后再沿直线y=b逼近(a,b)时也就是 (x,b)->(a,b), f(x,y)的极限存在。lim lim f(x.y) = lim g(x)换句话说，若二次极限x-b *T白 存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于 x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点 (a,b)时，f(x,y)的极限存在。lim lim f(xfy) = Hm h(y)二次

3、极限yTbxTa K以 存在，表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y逼近(a,Y)也就是(x,y)->(a,y), 然后再沿直线x=a逼近(a,b)时也就是(a,y)->(a,b), f(x,y)的极限存在。lim lim f(Kyy); lim h(y)换句话说，若二次极限X" 存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定 点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，lim f(K,y) x->alim lim f(x,y)1),若二重极限¥Tb存在且等于A,则二次极限ayTb 和li

4、m lim f(x,y)定都存在且都等于A.比如,lim xy = 0¥今0而且,Hm lim (xy) 显然MT。lim lim (xy)和5 1。 也都存在，且都等于00lim lim f(xTy lim lim f(x,y)2),若二次极限"心?"或者YTS以中至少有1个不存在，则，若二limf(xN)重极限定不存在。lim lim (j = 0 比如，xOyOlim lim,但yDxTO ''不存在。则limX )cTOM->0定不存在。lim lim3),若二次极限短白?小lim lim f(x,y)和"bx-都存在但不等

5、于，则，若二重极限l<m f(xry) x->ay今b定不存在。再如,9+1) lim lim - x-oy-?o * y州 X + 1) lim lim 777 ,yTOxTOlim I x->0Y->0v(>t + ih)=0定不存在。lim lim f(x,y) lim lim4),即使二次极限乂49b都存在且等于，也不能保证，二重定存在。lim lim 比如，*今。"。J =Q*嘈y Flim lim I vT。x->0lim x->0 但¥今。不存在。因为，如果lim xT。 y今口存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径

6、逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于00而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，M ”)恒等于1/2,lim不等于0o所以，定不存在。其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像 1元函数的极限和左右 极限的关系。比较一：二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重 极限。一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。比较二：二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不 存在。一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存 在。本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次

7、极限.首先二重极限显然是存在的,(x,y)->(0,0)时，该函数是无穷小与有界函数的乘积，结果为0.但是若先求y的累次极限limy->0 xsin(1/xy)极限不存在，先求x的累次极 限 limx->0 xsin(1/xy)是存在的.比较三：二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存 在。一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。 比较四：二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一 定存在。一元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左 右极限。只有最后一条不同，因为在1维的时候，

8、1维动点的所有可能的逼近路径只 有2个，从左边逼近左极限和从右边逼近右极限。所以只要左右极限都存在 且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面 逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼 近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以， 在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式(只要判断左右 极限)来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限