江苏高考导数专题复习

1、江苏高考与数专题复习一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值 和最小值。二、热点题型分析【题型一】利用导数研究函数的极值、最值。34 21 . f(x) x 3x 2在区间1,1上的最大值是2 .已知函数y f(x) x(x c)2在x 2处有极大值，则常数 c=；3 .函数y 1 3x x3有极小值 , 极大值【题型二】利用导数几何意义求切线方程1 .曲线y 4x x3在点1, 3处的切线方程是y x 242 .若曲线f(x) x x在p点处的切线平行于直线 3x y 0,则p点的坐标为(1,0)

2、43 .若曲线y x的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为4x y 3 04 .求下列直线的方程：32,(1)曲线y x x 1在p(-1,1)处的切线；2(2)曲线y x过点P(3,5)的切线；【题型三】利用导数研究函数的单调性，极值、最值321 .已知函数f(x) x ax bx c,过曲线yf (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(i)的条件下，求函数 yf(x)在3, 1上的最大值；(出)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解.(1)由 f(x) x3 ax2

3、bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b.过y f(x)上点P(1, f)的切线方程为： y f(1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过yf (x)上P1,f(1)的切线方程为y 3x 1.3 2a b 3故a c 3即 2ab 0a c 3 . y f (x)Ex2时有极值，故f ( 2) 0, 4a12由得a=2b=-4, c=5.f(x) x32x24x5.22 2) f (x) 3x4x4 (3x2)(x 2).3 x2时，f (x)0；当22 一， 一x 一时，f (x)30；f(x)极大f( 2) 13又f(1)4,f(x

4、)在3, 1上最大值是13。b，由知2a+b=0。2(3)y=f(x)在-2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2ax依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0,即 3x2 bx b 0.bx 1 时，f (x)min f (1) 3 b b 0,b 6当 6;x b2日t f (x)minf ( 2)12 2bb0,b当 6;2 61 时，f(x)min12b b 0,则0b6.当 b12综上所述，参数 b的取值范围是0,)3 22,已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4求函数y f(x)的表达式；(2) 求函数 y f (x) 的单调区间

5、和极值； 若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3,n上的值域为4,16,试求m、n应 满足的条件2解： (1) f (x) 3x 2ax b ，2由题意得， 1, 1 是 3x 2ax b 0 的两个根，解得， a 0, b 3 3再由 f ( 2)4 可得 c 2. f(x) x 3x 22(3) f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1) ，当 x 1 时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0 ；当 1 x 1 时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0 ；当x 1时，f (x) 0 .，函数f(x)在区间(，1上是增函数；在区间1，1上是

6、减函数；在区间1，)上是增函数.函数 f (x) 的极大值是f ( 1) 0 ，极小值是f (1)4 (4) 函数 g(x) 的图象是由 f(x) 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 4m 个单位得到的，所以，函数f(x) 在区间 3, n m 上的值域为 4 4m,16 4m ( m 0 ) 而 f ( 3)20 ,4 4m 20 ,即 m 4于是，函数f (x) 在区间 3, n 4 上的值域为 20, 0 令f(x)0得x1或x 2 .由f(x)的单调性知，1颁4 2,即3麴1n6.综上所述，m、n应满足的条件是：m 4 ,且3麴1n6 .3设函数 f (x)x(x a)(x b) (

7、1)若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2 ,且f(x)在x 1处取极值，求实数a,b 的值；(2)当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数f (x) 总有两个不同的极值点2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f (2)5, f0,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)当b=1 时，令f (x) 0得方程 3x2 2(a 1)x a 0. 2因 4(a a 1) 0,故万程有两个不同实根x1, x2.不妨设x1 x2,由f (x) 3(x x1)(x x2)可判断f (x)的符号如下：当 x x1 时，f(x)0；当 x1 x x2时，f(x

8、)0；当 x x2时，f(x)0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不 同的极值点。【题型四】利用导数研究函数的图象1.如右图：是f (x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则f (x)的图象只可能是(y 1 x3 4x 1的图像为2 .函数 3()3 方程2x3 6x2 7 0在(0,2)内根的个数为A、 0 B 、 1 C 、 2【题型五】利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围-13_2_2_f(x) x 2ax 3a x b,0 a 1.1 .设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值.(2)若当x a 1，a 2时，恒有1f

9、(x)| a ,试确定a的取值范围.2 2解.(i)f (x) x 4ax 3a = (x 3a)(x a) 令 f (x) 0得 X a,x2 3a列表如下：. f (x)在3a)上单调递增，在(-0, a)和(3a, +)上单调递减x a时,f极小(x)b 4 a33,x 3a时，f极小(x) f (x)2-/4ax 3a 0 a 1, 对称轴x 2a a 1. f (x)在a+1,a+2上单调递减fMax (a21) 4a(a 1)-23a 2a 1f min_ 2-(a 2) 4a(a 2)23a 4a 4依题1f (x)| fmin 1a 即 12a1| a,14a 4| a4 a解

10、得51，又0 a 1，a的取值范围是4,1)x(-8, a)a(a, 3a)3a(3a, +0)f (x)-0+0-f(x)极小Z极大22.已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x = 3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f (x)的单调区间(2)若对x 1, 2，不等式f (x)c2恒成立，求c的取值范围。解：(1) f (x) = x3+ax2 + bx+c, f(x) = 3x2 + 2ax+ b2123)=94,八a+ b = 031(1) = 3+2a+b=0得a=2 , b = 2f(x) =3x2 x 2= (3x+2) (x 1),函数f (x)的单

11、调区间如下表:x2(一 ,3)232(-3 ,1)1(1, +)f(x)十0一0十f (x)极大值极小值22所以函数f (x)的递增区间是(一 ，一3)与(1,+ )，递减区间是(一 3,1)1222(2) f (x) =x3 2x2 2x + c, x 一1, 2，当 x= 3 时，f (x) = 27 + c为极大值，而f (2) = 2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f(x) c2 (x 一 1, 2)恒成立，只需 c2 f(2)=2+c,解得 c 1 或c 2【题型六】利用导数研究方程的根v _v1 2或k1, f (x) 1,且 f ( f (xo) x0,求证:f(X

12、o) xo2解：(1) y f (x) 3x a,若 f(x)在 1,上是单调递减函数，则须2y 0,即a3x ,这样的实数a不存在.故f(X)在1,上不可能是单调递减函数若f (X)在1，上是单调递增函数，则aw 3X2,2由于x 1，故3X 3.从而01u122X0xu u 3,又 0 a 322X0x0uu 1 a 0f (x) (x2 3)(x a)2.已知a为实数，函数2(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围f( 1) 0(I)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的x1、x2( 1，0) ,不等式|f(Xi)5f ( *2 ) |16恒成立一 3Q f (

13、x) x3解：2 33.ax - x af (x)22 ,3x22ax 3 2函数f (x)的图象有与x轴平行的切线,f(x)0有实数解4a292 ,所以a的取值范围是f( 1) 0f(x) 0,x2af(X)3x213(x 2)(x 1)f(x)0,f (x)的单调递增区间是1),(;单调减区间为易知f(x)的最大值为f (1)253,f(x)f(的极小值为4916,27 f(0) 又8f(x)在1上的最大值M27849m 一,最小值 16对任意x1, x2( 1，0)，恒有| f(x1) f(x2)| M m27849165161)22。到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积【题型八】导

14、数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的 正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点最大？解：设 OOx m，则 1 x 4由题设可得正六棱锥底面边长为： 32 (x故底面正六边形的面积为:帐篷的体积为:V (x).34 ( 8 2x x2)332二2(8 2xx2),(单位：m2)3 3c 1. 333(8 2x x2)1(x 1) 1(16 12x x3)232(单位:V(x)(12 3x2)求导得2令V(x)0,解得x 2 (不合题意，舍去)，x 2,当1 x 2时，V(x) 0, V (x)为增函数；当2 x 4时，V(x) 0,

15、 V (x)为减函数。.当x 2时，V (x)最大。答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为1603 m3。2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 x (千133yx x 8(0 x 120).米/小时)的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距 100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(I)当x 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100402.5小时,1Q 3(40340 8) 2.5 17.5要耗没12800

16、080(升)。升,(II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)h(x)依题意得(x31280003x8012x128080015/c(0 x4120),xh(x)64033800 x 80640x2(0x 120).令 h(x) 0,得 x80.当 x (0,80)时,h(x) 0，h(x)是减函数;当 x (80,120)时，h(x) 0,h(x)是增函数。当x 80时，h(x)取到极小值h(80) 11.25.因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值。80千答：当7车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油升。当汽车以 米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升。【题型九】导数与向量的结合r a1.设平面向量1 r ，2),b1 _3(2 2 ).若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,a (t2 k)b, ysatb,且 xy,(1)求函数关系式Sf(t)(2)若函数s f(t)在 1,上是单调函数，求k的取值范围。a解：(1)2