高中数学第一章分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用讲

1、1. 1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用课前自主预习宗知识导学知识点匚 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.其区别在于：分类加法计数原理针对的是口 01分类问题,其中各种方法口 02相互独立,用其 中任何一种方法都可以做完这件事.分步乘法计数原理针对的是口03分步问题,各个步骤中的方法04互相依存,只有各个步骤都完成之后才算做完这件事.示知识拓展对较复杂的计数问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分 类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序.s

2、d自诊小测1.判一判(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)分类就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”.()(2)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数有 12个.()(3)分类时，各类之间是互相独立且排斥的，分步时各步之间是互相依存，互相联系 的.()答案(1)， (2) X (3) V2.做一做(1) 一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有 种不同走法.(2)如图从 ZC有 种不同走法.(3) 一位顾客去买书，发现 4本好书，决定至少买其中的2本，则这位顾客购书的方案共有 种.答案 (1)16(2)6(3)11解析(1)4X4= 16 种.(2)分为两类，不过 B有

3、2种方法，过B有2X2= 4种方法，共有2 + 4=6种方法.分三类：购买2本有6种，购买3本有4种，购买4本有1种，共有6 + 4+1=11种万案.课堂互动探究探究1数字排列问题例1用0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被 2整除的无重复数字的三位数？解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有 5种排法，共有5X5X5= 53= 125个三位数字的电话号码.(2)三位数的首位不能为 0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0外共有4种 方法，第二、三位可以排 0,因此，共有4

4、X5X5= 100个三位数.(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4 ,因此，可以分两类，一类是末位数字是0,则有4X3= 12种排法；一类是末位数字不是 0,则末位有2种排法，即2或4,再排首位， 因0不能在首位，所以有 3种排法，十位有 3种排法，因此有 2X3X3= 18种排法.因而有 12+18=30种排法.即可以排成 30个能被2整除的无重复数字的三位数.拓展提升数字问题的解题策略(1)对于组数问题，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或 特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些

5、条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要 注意特殊位置、特殊元素优先的原则.跟踪训练1 如果一个三位正整数如“ 21%&”满足awa2,且8<a2,则称这样的三位数 为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数是多少？解 分8类，当中间数为2时，百位只能选1,个位可选1,0,由分步乘法计数原理，凸 数的个数为1X2=2;当中间数为3时，百位可选1,2,个位可选0,1,2 ,由分步乘法计数原理，凸数的个数为2X3=6;同理可得：当中间数为4时，凸数的个数为 3X4=12;当中间数为5时，凸数的个数为 4X5=20;当中间数为6时，凸数的个数为 5X6=30;当中间数为7时，凸数

6、的个数为 6X7=42;当中间数为8时，凸数的个数为 7X8=56;当中间数为9时，凸数的个数为 8X9=72.故所有凸数的个数为2+6+ 12+20+30+42+56+ 72= 240.探究 2 选取问题例 2 在 7 名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2 名既会下象棋又会下围棋， 现从这 7 人中选 2 人同时参加象棋比赛和围棋比赛， 共有多少种不同的选法？ 解(1) 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从2 名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有 3X2=6种选法；(2) 从 3 名只会下象棋的学生中选1 名参加象棋比赛，同时从2

7、 名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3X2= 6种选法；(3) 从 2 名只会下围棋的学生中选1 名参加围棋比赛，同时从2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2X2= 4种选法；(4) 从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2X1= 2种选法.根据分类加法计数原理，一共有 6+6+4+ 2= 18种不同选法.拓展提升对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树图法、框图法及表格法进行枚举；当数目较大符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步

8、计数原理计数，但一般根据选 ( 抽)顺序分步或根据选 ( 抽 ) 元素特点分类 跟踪训练 2 甲、乙、丙、丁4 个人各写 1 张贺卡，放在一起，再各取1 张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？解 解法一： ( 枚举法 )(1) 甲取得乙卡，此时乙有甲、丙、丁3 种取法若乙取甲，则丙取丁、丁取丙；若乙取丙，则丙取丁，丁取甲；若乙取丁，则丙取甲，丁取丙，故有3 种分配方案(2) 甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4 人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲(3) 甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4 人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲由分类加法计数原理，共有 3 +

9、3+3=9种.解法二： ( 间接法 )(4) 个人各取 1 张贺卡甲先取 1 张贺卡有 4 种方法，乙再取1 张贺卡有 3 种方法，然后丙取 1 张贺卡有 2 种方法，最后丁仅有1 种方法由分步乘法计数原理， 4 个人各取 1 张贺卡共有 4X3X2X 1= 24 种.4 个人都取自己写的贺卡有1 种方法；6种（即从4个人中选出取自2个人取自己写白贺卡，另 2个人不取自己所写贺卡方法有己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 ）；1个人取自己写白贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种（从4个人中选出自己写贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法）.因此

10、，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24（1 + 6+8） =9 种.解法三：（分步法）第一步，甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步，由甲取的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两个中任 1个人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法.由分步乘法计数原理，共有 3X 3X1X1= 9种.探究3涂色问题例3如图，要给地图 A, B, C, D四个区域分别涂上 4种不同颜色中的某一种，允许同 一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？解 解法一：按 Z B- Cf D的顺序分步涂色.第一步，涂A区域，有4种不同的涂法；第二步，涂B

11、区域，从剩下的三种颜色中任选一种颜色，有 3种不同的涂法；第三步，涂C区域，再从剩下的2种不同颜色中任选一种颜色，有2种不同的涂法；第四步，涂 D区域，可分两类，一类 D区域与A区域同色；另一类 D区域与A区域不同 色，共有1+1 =2种涂法.根据分步乘法计数原理共有 4X3X2X2= 48种不同的涂法.解法二：按所用颜色的多少分类涂色.第一类，用三种颜色，有 4X（3X2X1X1）= 24种不同涂法;第二类，用四种颜色，有 4X 3X2X1= 24种不同涂法；根据分类加法计数原理，共有24+ 24= 48种不同涂法.拓展提升求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1

12、)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.跟踪训练3如图所示，花坛内有 5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花 池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有()A. 180 种B. 240 种C. 360 种D. 420 种答案 D解析 区域2,3,4,5 地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1, 有5种种法，再种区域 2,有4种种法，接着种区域 3,有3种种法，种区域4时应注意：

13、区 域2与区域4同色时区域4有1种种法，此时区域 5有3种种法，区域2与区域4不同色时 区域4有2种种法，此时区域 5有2种种法，故共有 5X4X3X(1 X 3+2X2)= 420种栽种方 案，故选D.跟踪训练4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有 种.答案 42解析 从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共有 3X2X2X2X2= 48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3X2X 1X1X1= 6种方法，所以有 486= 42种不同的种植方法.L分类加法计数原理与分序乘法计数原理是两个最福 本、

14、也是最重要的原理.是解答排列、蛆合问题，尤其是 较复杂的排列、纲合问题的菇曲，工应用分类加法计黝原理要求分量的每一种方法都能把 事件独上完成：应用仆步来法计数原理要求轩生均是完成用件必就然过的若干彼此独立的生骁，工一段是先分类再分步，分非时吭设计好标掂.设计好分 美方方.防止篁复和遗谓.L菁正面分类.种类比较窸.而问题的反面种类比较少 时.则使用间接法会耐电一些.随堂达标自测1 在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中，能被5 整除的有 （）A 512 个 B 192 个 C 240 个 D 108 个答案D解析能被5 整除的四位数，可分为两类一类是末位为0,由分步乘法计数

15、原理，共有5X4X3= 60（个）.二类是末位为5,由分步乘法计数原理共有4X4X3= 48（个）.由分类加法计数原理得60+ 48=108（个）.2.从集合1,2,3,4,5 中任取2个不同的数，作为直线Ax+ By= 0的系数，则最多形成不同的直线的条数为 （）A 18 B 20 C 25 D 10答案 A解析 第一步，给 A赋值有5种选择，第二步，给 B赋有4种选择，由分步乘法计数原 理可得：5X4= 20（种）.又因为A= 1, B= 2,与A= 2, B= 4表不'同一"直线.A= 2, B= 1与A= 4, B= 2,也表不' 同一直线，形成不同的直线最多

16、的条数为20 2= 18.3某运动会上， 8名男运动员参加100 米决赛 其中甲、 乙、 丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有 种答案2880解析分两步安排这8 名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7 四条跑道可安排，所以共有4X3X2=24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，共有5X4X3X2X1= 120（种）.所以安排这8人的方式共有24X 120= 2880（种）.4 .将三个1、三个2、三个3填入3X3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则 不同的填写方法共有 种答案 12解析 先填第一行，有3X2X1= 6种填法，再填第二行第一列，有2种填法，该位置确定后，其余位置也就唯一确定了，故共有