2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.理)含答案

1、2020年最新2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.祝考试顺利注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 .2 .选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3 .将填空题和解答题用 0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内.答在试题卷上无效.4 .考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共 10小

2、题，每小题 有一项是符合题目要求的.5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只2020年最新nc 2 1.如果3x2二 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）xA. 3 B. 5 C. 62 .将y 2cos x -的图象按向量 a3 6( )D. 102平移，则平移后所得图象的解析式为 4Acx兀cA. y 2cos 23 4C. y 2cos 23 12-cx 兀B. y 2cos 23 4D. y 2cos - -23 123.设P和Q是两个集合，定义集合PQ x| x P,且 xQ,如果 Px|log2x 1 ,Q x| x 2 1 ,那么P Q等于（）A. x |0 x

3、 1C . x |1 < x 2B .x|0 x< 1D, x|2< x 3内的射影分别是 m和n ,给出下列4 .平面 外有两条直线 m和n ,如果m和n在平面 四个命题：m n mm n mm与n相交m与n平行n;n ;m与n相交或重合;m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是（）A. 1B . 2 C. 3 D. 45 .已知p和q是两个不相等的正整数，且pp1A. 0B. 1C.D.-qq16.若数列an满足2an 12 anP （ P为正常数,n N ）,则称an为“等方比数歹甲：数列an是等方比数列;乙：数列an是等比数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

4、B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2x7 .双曲线Ci : aA 1(a b0, b 0）的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为Fi和F2;川区/4F1F2MFi抛物线C2的准线为l ,焦点为F2； Ci与C2的一个交点为M ,则:7等于（）MFiMF2A.1B. 1D.8 .已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn ,且ABn7n 45n 3,则使得包 bn为整数的正整数n的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 59 .连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a = （m, n）与向量b （1, 1）的夹角为，则0,

5、一的概率是（）5A.一121B. 一27C12D.10.已知直线工、1（ a, b是非零常数）与圆a bx2 y2 100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（A. 60 条B. 66 条C. 72 条D. 78 条二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11 .已知函数y 2x a的反函数是 y bx 3,则a ; b .212 .复数z a bi, a, b R,且b 0,右z 4bz是实数，则有序实数对 （a, b）可以是.（写出一个有序实数对即可）x y> 0,_,一一，八 ，13 .设变量x, y满足约束条件则目

6、标函数2x y的取小值为2< x<3.14.某篮运动员在三分线投球的命中率是1一，他投球10次，恰文?投进3个球的概率2.（用数值作答）15 .为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为t a1 ，一 ，一一 一y （a为常数），如图所示.据图中提供的信息，回答16下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药

7、物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 .（本小题满分12分）已知 ABC的面积为3 ,且满足0 <（I）求的取值范围;（II）求函数 f（ ） 2sin2 -x/3cos2 的最大4值与最小值.17 .（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在 1.381.50）中的概率及纤度小于18 40的概率是多少？AC的夹角为分组频数1.30

8、1.34)41.34,1.38)251.381.42)301.42 1.46)291.46 1.50)101.50 1.54)2合计100（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表.据此，估计纤度的期望.18.(本小题满分 如图，在三棱锥12分）V ABC 中，VC,底面 ABC ,AC ± BC , D是AB的中点，且AC BCa,VDC(I)求证:(II)当解平面VAB ±VCD;变化时，求直线 BC与平面VAB所成的角的取值范围.19 .(本小题满分12分)在平面直角坐标系 xOy中，过定点C(0,

9、 p)作直线与抛物线 x2 2py ( p 0)相交于A B两点.(I)若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求 4ANB面积的最小值;(II)是否存在垂直于y轴的直线l ,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)20 .(本小题满分13分)1 OO已知te义在正头数集上的函数f(x) -x 2ax , g(x) 3a In x b ,其中a 0 .设两曲线y f (x) , y g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(I)用a表示b,并求b的最大值;(II )求证：f (x) A g(x) ( x 0).21 .(本小

10、题满分14分)已知m, n为正整数，(I)用数学归纳法证明：当 x 1时，(1 x)m>1 mx；m一一 一 1(II)对于n>6,已知1 求证1n 3m 1,2,|,(III)求出满足等式3n4n川(n 2)n(n 3)m的所有正整数n .2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)试题参考答案、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1. B2. A3. B4. D5. C6. B7. A8. D9. C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题10. A5分，满分25分.1一一 11. 6;112. (2,1)(或满足a 2b的任

11、一组非零实数对(a, b)213.14. -15-15. y12810t,0< t<11011610110三、解答题：本大题共 6小题，共75分.16.本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：(I)设4ABC中角A, B, C的对边分别为a, b, c,则由】bcsin 3 , 0 < bccos 0 6 ,可得 0 & cot < 1, 24 2(n) f ( ) 2sin2 . 3 cos 21 cos 2. 3 cos242(1 sin 2 ) 73 cos2sin 26 cos21 2si

12、n 21 .3，一 2 0 2sin 21 < 3.3冗 冗冗 冗2 7t一，一，2，即当12时，f()max 3；当17.本小题主要考查频率分布直方图、4 236 34 时，"2概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计 方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.解：(I)分组频数频率1.30,1.3440.041.34,1.38250.251.3& 1.42300.301.42,1.46290.291.46,1.50100.101.50,1.5420.02合计1001.00(n)纤度落在1.38,1.50中的概率约为0.30 0.29 0.10 0.69,纤

13、度小于1.40的概率，1约为 0.04 0.25 0.30 0.44 . 2(出)总体数据的期望约为1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.考查空间想象能力和推理运解法1： CD又AB(n)(i) v AC BC a ,ACB是等腰三角形，又AB,又 VC 底面 ABC. VC AB .于 平面VAB，.二平面VAB 平面VCD .是ABD是AB的中点, 平面VCD .过点C在平面VCD内作CH VD于

14、H ,则由(I)知CD 平面VAB.连接BH ,于CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在 RtACHD 中,CH 立asin ;2设 CBH在 RtBHC 中，CH asin2 .sin2sin0 sinIT又0W <27t即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为花0,一4z轴，建立如图所示的空间解法2： (I)以CA, CB, CV所在的直线分别为 x轴、y轴、直角坐标系，则 C(0,0,0) A(a,0,0)B(0,a,0) D0,0, a tan,2是,VDCD葭0a,a,0).从而ABcda,a ,0),a a一，一,02 2AB CD .同理ABVda,a ,0),2 ta

15、 tan2即 AB VD .又CD，VD D, .AB平面VCD .又AB 平面VAB .平面VAB(n)设直线则由n ABBC与平面VAB所成的角为ax得a x2ay0,2 +Aaztan0.2可取(1,1, "cot ),又BC (0, a,0),sinsin2花, . 0 sin 1, 0 sin2,22又0W即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为花0,一4解法3： (I)以点D为原点，以DC,DB所在的直线分别为 x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0) A0,旦,0B 0,旦,022、2V a,0,a tan,于是更a,0,迎atan ,DCa, 0,

16、0 ，2AB (0, V2a,0).(0,72a,0) 0,即AB DC .同理(0,5a,0)ZJtan又 DC。DV平面VCD .又AB 平面VAB ,平面VAB(n)设直线BC与平面VAB所成的角为 ，平面VAB的一个法向量为(x, y, z),则由n AB0, n-0,Llztan 022可取(tan ,0,1),又 BC 旦, 2sinnn*an 2a、1 tan3in1, 0sin又0W冗c2,一。即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为花0,1 4解法4：以CA, CB, CV所在直线分别为x轴、y轴、标系，则 C(0Q,0) A(a,0,0) B(0, a,0)a a八D -,

17、-,0设V(0,0, t)(t 0).(D CV (0,0, t),a,a,0 ，(a,a, a,。)©。,t)即 AB CV 熄cd (即 AB CD又 CVp|CDC，.二 AB 平面 VCD .又AB 平面VAB ,平面VAB(n)设直线BC与平面VAB所成的角为设 n (x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量,(x, y, z)-( a, a,0)axay0,可取n (t,(x, y, z),( a,0, t) t, a),又 CB (0,axtz0,a,0)，z轴，建立如图所示的空间直角坐a,0)0,202sintat2t2 a12a(0,°°), s

18、in关于t递增.sin花0,一4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为花0,一4考查综合运用数学知识19 .本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,进行推理运算的能力和解决问题的能力.B%, y2),解法1： (I)依题意，点 N的坐标为N(0, p),可设A(x1，y1),直线AB的方程为y2py联立得x 2py消去y得 y kx p.x2 2 pkx 2p2由韦达定理得Xix2 2 pkS*A BCNSX ACNp x1 x2p. (x1 x2)2 4x1x2pj4p2k2 8p2 2p2Jk2 2,X1X2;当 k 0 时，S ABN )min2&p2.(n )

19、假设满足条件的直线 l存在，其方程为yAC的中点为O ,P,Q,PQ的中点为H ,则OH2acl与AC为直径的圆相交于点PQ , Qa y12POPi z 24(yi2 i2p) 4(2a yi p)yi a(pa)(2 PH )2yia(p a) PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y -2即抛物线的通径所在的直线.解法2： (I)前同解法i,再由弦长公式得AB Ji k2xi x2k2 , (xi x2)2 4xix2. ik2- 4p2k2 8p22p i k2 k2 2又由点到直线的距离公式得2p从而S»A abn. 2pk22p2 , k2 2.当 k 0 时，(

20、SA ABN )min2&p2.(n)假设满足条件的直线l存在，其方程为a,则以 AC为直径的圆的方程为(x 0)(xxi) (y p)(yyi)0,将直线方程y a代入得x2x1x(ap)(ayi)0,贝必xi24(a p)(a y，2 yia(pa) 设直线l与以AC为直径的圆的交点为ya), Q(x+ yj,则有PQx3x47p yi a(p a) 2p /、a - yi a(p a) 2令a 0,得a ,此时22PQ p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y即抛物线的通径所在的直线.20 .本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解

21、：(I)设y f(x)与y g(x)(x 0)在公共点(x°, y°)处的切线相同.f (x) x 2a , g (x)3a2r,由题息f (Xo) g(Xo), xf (Xo)g(Xo) .122 ,2a曳得：xo a xo3a (舍去).x0 2ax0 3a In x0 b,2.即2由天c 3a xo 2a ,xo即有 b - a2 2a2 3a2 In a - a2 3a2 In a .225 2. 2.令 h(t) -t 3t lnt(t o),则 h(t) 2t(1 3ln t) .于是1当 t(1 3ln t) o,即 o te3 时，h (t) o；1当 t(

22、1 3ln t) o,即 t e3时，h(t) o.11故h(t)在o, e3为增函数，在e3, oo为减函数,于是h(t)在(o, 8)的最大值为h e3(n)设 F(x)f(x) g(x)1 2 -x 22 .2ax 3a In x b(x o),则 F (x)x 2a x3a2(xa)(x 3a)-(x o).故F(x)在(。，a)为减函数，在(a, 00)为增函数,于是函数F(x)在(。，8)上的最小值是F(a) F(xo)f (xo) g(x0) o .故当 x o时，有 f(x) g(x)>o,即当 x o时，f(x)> g(x).21.本小题主要考查数学归纳法、数列求

23、和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.解法1: (I)证：用数学归纳法证明：(i)当m 1时，原不等式成立；当 m 2时，左边 1 2x x2,右边 1 2x,因为x2 2 o ,所以左边 > 右边，原不等式成立；(ii)假设当m k时，不等式成立，即(1 x)k > 1 kx ,则当m k 1时, . x 1, ；1 x o,于是在不等式(1 x)k > 1 kx两边同乘以1 x得(1 x)k-(1 x) > (1 kx)(1 x) 1 (k 1)x kx2 > 1 (k 1)x ,所以(1 x)k 1 > 1 (k 1)x .即