数学必修2选修2-1知识点含试卷和例题

1、第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1 、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、 棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱'''''表示：用各顶点字母，如五棱锥P ABCDE几何特征

2、：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，面距离与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD A'B'C'D'几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形4 、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂一个矩形。5 、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一

3、6 、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、1.3 空间几何体的表面积与体积（1 ）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。'（ 2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h 为斜高， l 为母线）S正棱锥侧面积1SchS圆柱侧2 rhch 'S2直棱柱侧面积圆锥侧S1 (cc )h 'S圆台侧面积

4、(rR)l正棱台侧面积1222S2r rlS圆锥表rrlSr圆台表rl Rl圆柱表（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式柱V圆柱Shr 2 hV锥1Sh12ShV圆锥r hV33V台1 (S'S ' S S)hV圆台1''122( SS S S) h( rrR R ) h334332R； S球面 =4（ 4）球体的表面积和体积公式：V球=3R第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系平面：公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平

5、面有一个公共点，那么它们有且只有一条过改点的公线线关系： 1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平.强调 ：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。作用：判断空间线面位置关系（ 1）直线在平面内 有无数个公共点（ 2）（ 2 ）直线与平面相交 有且只有一个公共点（ 3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示2、面面垂直（ 1） 定理 ：一个平面过另一个平面的垂

6、线，则这两个平面垂直（ 2）作用：证面面垂直（ 2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的叫做二面角的面。（ 3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射成的角叫二面角的平面角。（ 4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角（ 5）求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面3、垂直关系的性质定

7、理线面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率（ 1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0° 180 ° （ 2）直线的斜率定义：倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当0,90时， k0 ；当90,180时， k0；当90ky2y1 ( x1x

8、2 )过两点的直线的斜率公式：x2x1注意： (1)当 x1x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与 P1、 P2 的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 3.2 直线的方程点斜式：y y1k ( x x1 ) 直线斜率 k，且过点x1, y1注意 ：当直线的斜率为0 °时， k=0 ，直线的方程是y=y1 。当直线的斜率为90（二）过定点的直线系（）斜率为k 的直线系：yy0k xx 0 ，直线过定点x0 , y0 ；（）过两条直线l1 : A1xB1yC10 ， l 2

9、 : A2 xB2 yC20 的交点A1 x B1 y C1A2 x B2 y C20（为参数），其中直线l2不在直线系（ 6）两直线平行与垂直当 l1 : yk1 xb1 ， l 2 : yk2 xb2 时， l1 / l 2k1k 2 , b1b2 ； l1注意 ：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。3.3 直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点l1 : A1 x B1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C20 相交A1 xB1 yC10交点坐标即方程组A2 xB 2 yC 20 的一组解。方程组无解l1/ l 2 ； 方2、两点间距离公式：设A( x1 ,

10、 y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则到直线 l 1 : Axd3、点到直线距离公式：一点Px0 , y 0ByC0 的距离4、两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。第四章 圆与方程4.1 圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径222a, b ，半径为2、圆的方程（1）标准方程x ay br ，圆心r ；2 2（ 2）一般方程 xyDx Ey F 022DE1E0,r当 D4 F时，方程表示圆，此时圆心为22，半径为22E20当 D224 F0 时，方程不当 D4 F时，表示一个

11、点；E（ 3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若程，需求出a， b ， r；若利用一般方程，需要求出D ， E， F ；另外要注意多利用圆经过原点，以此来确定圆心的位置。4.2 直线、圆的位置关系2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比22222设圆 C1 : x a1y b1r ， C 2: x a 2y b 2R 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确当 dR r 时两圆外离，此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 Rrd

12、 Rr 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 dRr 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 dRr 时，两圆内含；当 d0 时，为同心圆。4.3 空间直角坐标系OBCDD, A,B,C ,（ 1）定义：如图，是单位正方体.以 A 为原点，分别以OD,条数轴 x 轴 .y 轴 .z 轴 。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1） O 叫做坐标原点；2） x 轴， y 轴， z 轴叫做坐标轴；3 ）过每两个坐标轴的平（ 2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向指向为 y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置

13、。（ 3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组( x, y, z) 来表示，空间直角坐标系中的坐标，记作M ( x, y, z) （ x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点标）d222（ 4）空间两点距离坐标公式：( x 2 x 1 ) ( y2 y1 )( z2 z1 )高二数学选修2 1 知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题中一个命题称为原命题，

14、另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ” .5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，用联结词“或”把命题p和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作pq 当 p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当 p、 q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，

15、记作p若 p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x， px”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“含有存在量词的命题称为特称命题”表特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x， px”10 、全称命题p：x， px，它的否定p：x，p x全称命题的否定是特称命题11 、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12 、椭圆的几何性质：焦点的位

16、置焦点在x 轴上焦点在y 轴图形222x2标准方程xy1 ab0y1 a222b2aba范围ax a 且b y bb x b 且 a顶点1a,0、2a,010,a、0, b0,bb,01、21、轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点Fc,0、 Fc,0F0,c、 F15 、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴图形22y22xya0, b0x1a标准方程221a22abb范围xa 或 xa， y Rya 或 y a顶点1a,0、2 a,010,a、轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点F1c,0、 F2c,0F10,c、 F焦距F1F22c c2a 2b2对称性关于 x 轴、 y 轴对称，

17、关于原点中心对称cb2离心率e12 e1aa22准线方程xayacc渐近线方程ybyaxba16 、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17 、设是双曲线上任一点，点到 F1 对应准线的距离为d1 ，点到 F2 对F1F2e d1d 218、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点线 l 称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称21 、抛物线的几何性质：22 px22 px22 py2yyxx标准方程0p0p0p图形顶点对称轴焦点准线方程离心率范围0,0x 轴y轴Fp , 0Fp , 0F0, pF222xpxpyp222e1x

18、0x0y0解析几何的题型及其解法：中点弦问题（点差法）、直线与圆锥曲线的位置关系问题、面积问题、求特定对象的值、求变量的取值范围or 最值、不等关系的判定2.1.1 曲线与方程对应关系： （ 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。求方程的曲线：直接法( 建系，设点，表示，化简，下结论)(例题课本p361，弦长公式：对圆锥曲线221 与 ykx b 相交弦长为1 k2aybxx12，焦点三角形：（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利22xy1、 F2<（）椭圆2·131 的焦点为 F，

19、点 P 为椭圆上的动点，当PFPF943535（答： (,) ）；55（ 4） 双曲线的虚轴长为4 ，离心率e6F， F1 、 F2 是它的左右焦点，若过2点，且AB 是 AF2与 BF2等差中项，则AB _ （答： 82 ）；（ 5） 已知双曲线的离心率为2， F1、 F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且22S PF1 F212 3 求该双曲线的标准方程（答：xy1 ）；3直线与圆锥曲线的位置关系412：（ 1）相交 ：0直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有

20、0 ，线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是如（ 1）若直线 y=kx+2与双曲线22k 的取值范围x-y =6 的右支有两个不同的交点，则22（ 2） 直线 y kx 1=0与椭圆xy1 恒有公共点，则m 的取值范围是 _5m2 2x y（ 3） 过双曲线21 的右焦点直线交双曲线于A 、 B 两点，若 AB 41（ 2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；特别提醒 ：（ 1 ）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛

21、物线的轴平行时22xy点；（2）过双曲线22ab 1 外一点P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线22xyl ，设某直线m 交其左（ 6）设双曲线1的右焦点为 F ，右准线为169则PFR 和QFR 的大小关系为_( 填大于、小于或等于)（答：等于）（7）求椭圆 7x 24 y 228上的点到直线3x 2 y16 0的最短距离（答：8 12213（ 8） 直线 yax 1 与双曲线 3xy1交于 A、

22、 B 两点。 当 a 为何值时，a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3,3； a1 ）17解： S表面S下底面S台侧面S 锥侧面 ×52 ×( 2 5) ×5 ×2×22(604 2) VV台V 锥 1( r1318(1) 证明： PD平面 ABCD ，BC平面 ABCD ， PD BC由 BCD 90°，得 CD BC又 PDDCD， PD，DC平面 PCD ， BC平面 PCD PC平面 PCD ，故 PC BC(2) 解： (方法一 )分别取 AB，PC 的中点 E，F，连 DE ，DF ，则易证 DE CB ，

23、DE 平面 PBC ，点 D ， E 到平面 PBC 的距离相等又点 A 到平面 PBC 的距离等于点E 到平面 PBC 的距离的2 倍，由 ( 1) 知， BC 平面 PCD ， 平面 PBC 平面 PCD PD DC，PFFC ， DF PC又 平面PBC 平面PCD PC ， DF 平面PBC 于 F2易知DF 2，故点A 到平面PBC 的距离等于2 ( 方法二 ) ：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h AB DC ， BCD 90°， ABC 90°由 AB 2， BC 1，得 ABC 的面积S ABC 1由 PD 平面 ABCD ，及 PD 1，得三棱锥P- ABC 的体积V 1S ABC·PD 1 PD 平面 ABCD ，DC平面 ABCD ， PD D33222 由 PCBC，BC1，得又 PDDC 1， PC PDDC11故所求的切线方程为7x y 15 0 ，或 x y 1 0( 2