武汉理工大学数值分析报告考试精彩试题及问题详解

1、实用标准1、工程中数值方法的主要思想答：工程总，把理论与实际情况相结合，用数值方法直接求解较少简化的模型，及忽略一些无关的因素求出近似值，又使得到的景近似解满足程变得要求数值方法中误差产生的原因答：当数值模型不能得到精确解释， 通常要用数值方法求接触他的近似解， 七近似解与精确 解之间的误差称为截断误差。 当用计算机做数值计算时， 由于计算机的字长有限， 原始数据 在计算机上表示会产生误差，计算过程总中有产生误差，这种误差称为舍入误差。数值方法应用对象由数学模型给出的数值计算方法，以及根据计算方法编制的法程序一一、一1 ,2、取x=1、2、2时f (x) =2、0、1,计算f(x)在x=处得近

2、似解2xi123f (xi)201解：二次拉格朗日插值多项式为2L (x) =£ yklk(x) k 01 / 、 (x -x1)(x -x2)(x -2)(x -3)1 /10 (x) = =- =- (x-2) (x-3)(xo -x1)(xo -x2)(1 -2)(1 -3)2,/、 (x -xo)(x - x2)(x -1)(x -3)11 (x) =- = -=- (x-1 ) (x-3)(x1 -xo)(x1 -x2)(2 -1)(2 -3),/、 (x -xo)(x x1) (x -1)(x -2) 1 ,12 (x) = = -= = - (x-1) (x-2)(x2

3、 -xo)(x2-x1)(3 -1)(3-2) 22贝U L (x) =£ yk1k(x)=1o (x) +11 (x) +12 (x) k =0=1 (x-2) (x-3) + (x-1 ) (x-3) +1 (x-1) (x-2)22=葭-2+722所以 L ( 1) =3 X (1) 2-里 X ( 1) +722222=3381 - 一 . .33即f(x)在x=1处得景近似解为332 83、f (x) = (x-1 )4,在匚1,1】上计算范数忏匚网1与2解 f (x) =(x-1) 4, xw Ll,ll 则f' (x)=4 (x-1 ) 3 = 0所以f (x)

4、 = (x-1 ) 4在L1,1上单调递减maxf ：:= r二f (x)=max讦(一1), f(1)文案大全= max 16,0 .16f 1 = af (x) dX - 1(x _1) dX1(x 5)5 53211f2 = ，(x-1)4dx12=心(x-1)8dx124、对权函数P(x)=1x2,区间1,1,试求首项系数为1的正交多项式 Q(x),n = 0,1,2,3.解：若P(x)=1x2,则区间1,1上内积为 1(f ,g)=,f(x)g(x)：(x)dx定义中o(x) =1 ,则:n 1(x) =(x - :，):(x) - ：n ；n 4(x)其中二 n 二(X ;(X),

5、 (X)/( (X), (X)=(：n(X), (X)/( n,(X), (X). ：0=(X,1)/(1,1)12二x(1 x )dX二 2J1 X2)dX二01 (x) = X2二 1 Kx ,x)/(x,x)13 一 2.X (1 x )dx= 1 122x (1 x )dx=0：1 =(x,x)/(1,1)122x (1 x )dx二 12(1 x )dx168532(x) =x2 _25二 2 二(X322 22 2 2 2-x,x -一)/(x -, x -)55551322221(x -x)(x -)(1 x )dx,551 2 22 22(x -)(x -)(1 x )dx55

6、22222 =(x -,x -)/(x,x)551 2.,(x2-2)(x2 -)(1 x2)dx 55122x (1 x )dx136525 _1716 70153(x)32 2173=x x 一 x=x5709一x145、求f(x) =ex10,11在0,1上的最佳一次逼近多项式。解：7 f(x) = ex,x 0,11f (x) =ex,f (x) =ex 0f(b)-f(a)a1=FT-=e-1x2 =ln(eT)f (x2)=ex2 = e7a = f (a) + f 的)_ f (b) - f (aa + x21 (e-1)-(e-1)b -a 1n(e -1)1=31n(e -1

7、)于是得f (x)的最佳一次逼近多项式为e1P(x)=二 十(e1)x -1n(e-1) 221二 (e-1)x e-(e-1)1n(e-1)26、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(3) :Xdx,n =4;H 06 V4 -sin2 d ,n =6;解:1 - x0十复化梯形公式为h7T8 = f (a) 2 f(xk) f(b) =0.111402 km复化辛普森公式为h77& =_ f(a)4% f(x 1)2% f (Xk) f (b) =0.111576kz0k 2«11(1 -eY2(2)n =10,a =0,b =1,h, f (x) = (e10x复化

8、梯形公式为T10 =hf(a) 2： f(xk) f(b) =1.39148 2y复化辛普森公式为99§0=hf(a) 4% f (x 1) 2% f (xk) - f (b) -1.454716kz0k 2 心(3)n =4,a =1,b =9,h =2, f (x) = .x,复化梯形公式为h;T4 =-f(a) 2V f(xj f(b) =17.227742k 1复化辛普森公式为h33S4 =hf(a) 4% f(x 1) 2% f(x。 f(b) =17.322226k=0k 2 k 17T7T(4)n =6,a =0,b =,h =, f (x) =、；4-sin2 :63

9、6复化梯形公式为h一T6 = f(a) 2， f (xk)f(b) =1.035622k4复化辛普森公式为h55S6= f(a) 4% f(x i) 2% f (Xk) f(b)=1.035776k且k 2 k418.628283 父10 工21-4.446923 父10因此I 032(3)I = 0 xjl+x dxkT0(k)T1(k)丁(k) 1 2T3(k)丁(k)T4丁(k) 1 5014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.20766

10、91410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此 I 10.20759227、对 f(x),g(x)=C1a,b,定义b(1)(f，g) = a f (x)g(x)dxab(2)( f,g) = a f (x)g (x)dx f(a)g(a)a问它们是否构成内积。解：(1)令f (x)三C (C为常数，且C #0)则 f (x) =0b而(f, f) = f (x) f (x)dx a这与当且仅当f三0时，(f,

11、f)=0矛盾二不能成C1a,b上的内积。 b若(f,g) = L f(x)g'(x)dx + f(a)g(a),贝 Ub(g,f) = a g (x) f (x)dx g(a)f (a) =(f ,g)二 K ab(:f ,g) = : f (x) g(x)dx af (a)g(a) ab=a £ f (x)g(x)dx+ f (a)g(a)=二(f,g)Vh wCa,b,则b(f g,h) = ：a f (x) g(x) h(x)dx f(a)g(a)h(a)bb= f (x)h (x)dx f(a)h(a)» I f (x)h (x)dx g(a)h(a) aa

12、= (f,h) (h,g)-一 b _ .2- 2(f, f) = f (x) dx f _0 a若(f, f) =0,则jf (x)2dx=0,且 f2(a)=0.f (x)三 0, f (a) =0.f(x)三04：0, 0 = '、Wi =6i=0；即当且仅当f=0时，(f,f)=0.故可以构成C1a,b上的内积。8、已知一组实验数据如表，求它的拟合曲线。xi12345f (xi)43542w11211解：设拟合曲线平 p (x)=%+用这里取 %(x) =1 , Q(x) = x ,故440, 1 Wi o(x) i(x) =、Wixi =18i =0i =044；,1 Wi

13、；(x) ；(x)f Wi =64 i Wi W44(%,f )=£ Wif(Xi) =23 ;(叼力)=£ WiXif(xJ=66i 0i 0 n由法方程 工(%,%)aj =dj,k =0,1得线性方程组j =071 ao =6ao +18ai =23115,3318a0 +64al =66a1=,工 10于是所求拟合曲线C /、713P (x)=x15 109、求解 X2 -X -1 ,(1)牛顿法，(2)二分法 解：牛顿法： 设f (x) =x2 -X -1 ,牛顿迭代格式为:xk 1 = x k一 f(Xk) ,k =1,2,3取x0 - -1,f'(x) =2x -1 f'(Xk)1f(x0) d 12 x2 豆一”X1 =X0-1x2X1则10 f'(x0)-33；f'(x1)3 _72131X3 = X2fM) = 13441 二 610f'(x2) - 21 -26 . 一 -987一 一 121此方法算得的f(xk)越来越趋近于零。二分法：f (x) =x2 X 1 ,则 f (-1 ) =1, f ( 1) =-1 ,f (-1) f (1) <0的实根在 匚1,1】之内设a=-1,b=1,取a,b的中点*0=0,而