7-4一阶线性微分方程ppt课件

1、)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分

2、方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐方程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .本质本质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数

3、作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsi

4、n Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如下图，平行与如下图，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, , 求曲线求曲线 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 解解,uyx 令令, 1

5、 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为1;dydxxy例例3:三、小结三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微