高数公式汇总

1、导数公式:(tgx)(ctgx) (secx) (cscx) (ax)2sec x2csc xsecx tgx cscx ctgxIn a(lOg a x)xlna基本积分表:tgxdxIn cosctgxdxIn sinxsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscxctgx高等数学公式(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)_1_1 x212,1 x1-2x11 x2dx2 xdx2 a-arctg Ca-1ln 2adx2- cos xdx_._2 sin xsecxcscxaxdxsec2 xdx2.csc xdxtgxdxsecxctgx

2、dxshxdxtgx Cctgx Ccscx Cx aln achxdx2a xdx22a x. x arcsin一 aIn2sin xdxo2_2_,x a dxdx三角函数的有理式积分: 2u sin x r, cosx1 u22幺2， ucosoxdxchxdxdx2 - xshx=ln( x xx2 a2) C a2In2 a ln( x22 a . 一In x.x2 a2) C22 a . x 一arcsin - Cdx2du1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切：thxx xe e2x xe e2shx exchx exxexelimx 0li

3、m (1 )x e 2.718281828459045arshx ln(xx2 1)archxarthxln(x x21)三角函数公式: ,诱导公式：和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()Mtg_1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctgsinsin2 sincos22sinsin2 cossin22和差化积公式:cos cos 2 coscos22cos cos 2 sinsin22工因数角 Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° - acos asin actg atg a90&#

4、176; + acos a-sin a-ctg。-tg a180° -asin a-cos a-tg a-ctg a180° + a-sin a-cos atg actg a270° -a-cos a-sin actg atg a270° + a-cos asin a-ctg。-tg a360° -a-sin acos a-tg a-ctg a360° + asin acos atg actg a倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos2cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg2半角公式:'

5、1 cossin 一 j212tq1cos1 cossintg 2',1cossin1cos正弦定理：abc2Rsin AsinBsinC2反三角函数性质:sin23sin3 3sin 4sinc，3ccos34cos3cosx c 3tg tg31tg3 3tg2cos2:1 cos22ctg J2'1 cos1 cossin1 cossin1 cos余弦定理：22c ab2 2ab cosC2 cosarcsinx一 arccosx 2arctgxarcctgx高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式：n (n)ck (n k) (k)(uv) Cnu v k 0 (

6、n) (n 1) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k)的u v nu v - u v -u v2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上-f-(a) fq F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds 1 丫,*,其中丫 tgs： MM弧长。平均曲率：K I一I :从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量;M点的曲率：K lim II II 广y s 01 s| |ds|.(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K -. a定积分的近似计算：b矩形法：

7、f(x)ab梯形法：f(x)ab抛物线法：f (x)aaz(y0 V1 nb a1/、-2(y0 yn)b a 、盂(义Yn)yn 1 )yi2(y2yn 1V4yn 2) 4(y1 y3yn 1 )定积分应用相关公式: 功：W F s水压力：F p A引力：Fkm粤,k为引力系数 r_ 1 b函数的平均值：y f(x)dx b a a均方根：1 f2(t)dt,b aa空间解析几何和向量代数:空间 2点的距离：d M 1M 2 （Xx2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）2 向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju（a a?） Prja Prj

8、a2a b cosaxbxa ybyazbz,是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbxaybyazbz22ax ay2. 2azbxby2bz2cabaxbxay byaz bza b sin例:线速度:w r.向量的混合积:abc （aaxayazbxbybzcxcyczb） cac cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x xo) B(y2、般方程：Ax ByCzy。）DC（z0zo）。，其中 n A,B,C, Mo（xo,yo,z。）3、截距世方程：x y a b平面外任意一点到该平面的距离:Axo By。Czo DA2 B2 C2空间直线的方程:x x

9、。my y。nz。Pxt,其中s m,n, p;参数方程：yxoy。mtntz。pt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x 2 a2 x2p2 y b22 y2qz,（p,q 同号）3、双曲面:2单叶双曲面：今a2双叶双曲面：与 a2 L b22 y b22 zc2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分： dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：, u . u . u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x, y) yrdzz fu,v瓦z fu(x,y),v(x,y)uz vtv tz u zx当 u u(x,y), v v(x

10、,y)时，, u . u .du dx dydvdxxdyy隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dy dxFx h' yd2y dx2Fx) dyFy，dx隐函数 F(x,y,z) 0,FzFy隐函数方程组：F(x,y,u,v)G(x, y,u,v)(F,G)(u,v)F,G1 J1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G)(u,x)(F,G)(u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: x x0 (t0)yo(t0)zz0(t0)在点M处的法平面方程:(t°)(x x°)(t&

11、#176;)(yy0)(to)(z zo)若空间曲线方程为："""0,则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x, y,z) 0上一点 M (x0,y0,zO),则：FzFxGz'GzGx'Gx1、过此点的法向量:2、过此点的切平面方程n Fx(x0, y0,z0), Fy(x0, y。,。), Fz(x0, y°,。):Fx(x0, y0,z°)(x x°) Fy(x0,y0,z0)(y y°)3、过此点的法线方程:x X0yy0z z0Fx(x0, y0,。) Fy(x0,y0,z0) Fz(x0, y

12、0,z°)方向导数与梯度:Fz(xo, yo, zo)(z zo) 0函数z f (x,y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：2cos sinl x y其中为x轴到方向l的转角。函数 z f (x,y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它与方向导数的关系是：-f gradf (x,y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的 单位向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(xo, yo)AC B2则：AC B22AC B2fy(xo,yo) 0,令：fxx(x0,y°) A, fxy

13、(x0,y°) B, fyy(x0,y°) CA 0,(x0, y。)为极大值0A 0,(x0,y0)为极小值0时，无极值0日t,不确定重积分及其应用:f(x,y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd曲面z f(x,y)的面积A2dxdy平面薄片的重心：x MxMx (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴I x(x,y)d ,y (x, y)dD(x,y)dD对于y轴I y2,、，x (x, y)dD平面薄片(位于 xoy平面)对殍由上质点M(0,0,a),(a0)的引力:Fx f D / 2(x(x,y)xd3，a2)2Fy f D /

14、2(x(x, y)ydFzfaDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd(x2柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z) dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,z z其中： F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)x rsin cos 球面坐标：y rsin sin ,dv rd rsin d dr r2 sin drd dz r cosf (x, y, z)dxdydz F (r,)r2sin drd d2r(,)d d F (r, , )r2sin dr000重心：x x dv,M11y dv, z z dv,其中 M xMMdv转动惯

15、量：Ix (y2 z2) dv,I y (x2 z2) dv,Iz (x2 y2) dv曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x ，(t)，则:y (t)f (x, y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt ()特殊情况:L第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)P(x,y)dx Q(x,y)dyLP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy (PcosLLL上积分起止点处切向量 的方向角。Qcos )ds 其中和分别为Q PQ P格林公式：(

16、一 一)dxdy - Pdx Qd册林公式：(一 一)dxdy . Pdx Qdyd x yld x yl当P y,Q x,即：-Q 2时，得到D的面积：A dxdy 10xdy ydx x yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！,且-Q = -P。注意奇点，如(0,0),应 x y二元函数的全微分求积：,Q P_ .在-Q=-P时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中: x y(x.y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 0

17、。(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:22 ,f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxRx, y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号;DxyPx(y,z), y,zdydzDyz取曲面的前侧时取正号;Qx, y(z,x),zdzdx>Dzx取曲面的右侧时取正号。Rcos )ds两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy

18、(Pcos Qcos高斯公式:PQ R八八(一一)dv二 PdydzQdzdxRdxdy 二(PcosQcosxy z高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divR,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 zRcos )dsdiv 0,则为消失通量： A ndsAnds(PcosQ cosRcos)ds,因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:RQPR(一 )dydz ( )dzdxyzzxQ ( x)dxdyyPdxQdy Rdz上式左端又可写成:空间曲线积分与路径无旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线常数项级数等比数列：1dydzdzdxdxdyc

19、oscoscos等差数列：1调和级数：1级数审敛法:关的条件:y QR x的环流量：Pdx Qdy Rdz - A tdsn (nn1 q1 q1)n21、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设： l/mn.U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： limUn则 1时，级数发散 n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;limsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理：un un 1如果交错级数满足limu 0,那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn| un1

20、 n n绝对收敛与条件收敛：u1 u2un,其中un为任意实数；（2）3 u2 u3un如果（2）收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而 收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数： 1发散，而 （_4敛； nn级数：乌收敛； n尔将1m i时发散p级数：pnp . p 1时收敛哥级数|x 1时，收敛于|x 1时，发散对于级数(3)aa1x2a?xnanx数轴上都收敛，则必存在R,求收敛半径的方法：设limnan 1an函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：RnXo,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散,其中R称为收敛半径。R时不定其中an,an 1是

21、(3)的系数,则f (x0)2f(x) f(x0)(x x0) M(x x0)f(n 1)()-一d(x x°)n 1, f(x)可以展开成泰勒级数的(n 1)!0时即为麦克劳林公式:f (0) 2f(0)x /些函数展开成骞级数:m(1 x)d m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!sinx x3 x3!5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxisinxf(t)Ao其中，a0An sin( nn 1aan0时,R时，R*2(x x°)n n!充要条件是：lim Rn0f(n)(0) nxn!(1x1)1)n1x(2n 1)!cosx或

22、sinxAn sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnxn 1An COs n，bn sin nx)正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 上的积分=0。傅立叶级数：t x。任意两个不同项的乘积 在af(x) - (an cosnx bn sin nx), 周期 22 n 11an 一 f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )其中,1bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3 )11211113T 52812T 3y 42358.234工工工21 ± 1 A22 42 622422 32 422正

23、弦级数：an 0, bn 一 f (x)sin nxdx02余弦级数：bn 0, an 一 f (x)cosnxdx02（相力口）62一（相减）12n 1,2,3 f (x)bnsinnx是奇函数n 0,1,2 f (x) a0ancosn娓偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数:a0n x n xf(x) (ancos bnsin), 周期2ln 1ll1 1n x- f (x) cos dx (n 0,1,2 )1 i1i1n xf (x)sindx (n 1,2,3 )1 11an其中bn微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f (x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可