高等数学第六章答案

1、第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用1 .求图中各阴影部分的面积0)132(3)lr32(4)§2 .求由下列各曲线所围成的图形的面积C 4(1) 6 二3(2)-1 n 2 .21(3)e 2 .e(4)b _ a93 .414 . ( 1)21 ( 2) 435 . (1) F a2.(2) .82(3)18 二 a .5二 4(3):二, 2 Sin 二及；2 二 cos2 一117.求下列已知曲线所围成的图形.按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1) y=Xz和X轴、向所围图形，绕X轴及y轴。y =X2和y2=8x,绕X及y轴。2 2 Xy-5二 16,绕 X(4)

2、熟1 和 y=4xx x=2v y=0，绕。(5)摆线 x二a t-sint , y =a 1 -cost 的一拱，y=0,绕 X 轴。4824(1;(2) , ; (3)160(4)5 2558.由y=x3 x=2 y=0所围成的图形.分别绕X轴及y轴旋转.计算所得两个旋转体的体积Vx7128n64- n9 把星形线X2/3 . y2/3/3所围成的图形.绕X轴旋转.计算所得旋转体的体积105323 a10 . (1)证明由平面图形0空WXW%.0Wy雪(X)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为bV =2 兀xf (x)dx 证明略。利用题结论.计算曲线y=sin 乂(0%/2和*轴所围成的图形绕

3、y轴旋转所得旋转体的体积，2 - 211 .计算底面是半径为R的圆.而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积4,3 R3 .3231 2 计算曲线P上相应于3八8的一段弧的弧长o22313.计算曲线y = m(i - X3上相应于。空x乞；的一段弧的弧长3 .X a CoS t ,14.求星型线3的全长。6ay - asin t15.求曲线- a 1 -COST的周长。8a第三节定积分的应用第四节1 .由实验知道.弹簧在拉伸过程中.需要的力F (单位：N)与伸长量s (单位：Cm)成正比.即厂s (k 为比例常数)，如果把弹簧由原长拉伸6cm .计算所作的功,18 k (牛

4、厘米)解将弹簧一端固定于A.另一端在自由长度时的点0为坐标原点.建立坐标系.功元素为dW=ksds .所求功为W= OkSdS= qks2o =18 k (牛厘米).2 .直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cmz的蒸汽，设温度保持不变.要使蒸汽体积缩小一半.问需要作多少功？800 - In 2 (J) 解由玻-马定律知：PV =k=10 C 102 80)= 80000设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变.高度减小x厘米时压强为P (X)牛/厘米.则P(x) C 102) (80- X) =800008猊P(X)二功元素为 dW =(二 102) P (x) dx所求功为800

5、±dx=800 rln2 (j)102) - 8sf80000;80兀3. 设地球的质量为M，半径为R,现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功(设引力系数为G) ? GMh(R + h)4.滚动，试分别求圆心半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯 C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱体的速度瞬心，由式 (11-16 )知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩 擦力的功为零。图 11-13滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩hf R来计算所以它的元功为人 Fn /、W二一Md二-dsR如Fn及R均为

6、常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为W= '一旦 ds 二-迥 S0 RR可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W与圆柱半径成反比5. 设一锥形贮水池.深15m . 口径20m .盛满水.今以唧筒将水吸尽.问要作多少功?解在水深x处.水平截面半径为r=10 3X.功元素为所求功为dW=x , r2dxyx(10-2x)2dx 3/f=jx(1O_3x)2dxLC150 (1OOx- 40x2 V)dxM875(吨米)k77857(kJ).6 .有一闸门.它的形状和尺寸如图,水面超过门顶8(kN).解建立X轴.方向向下.原点在水面.水压力元素为dP =1 X 2dx =2xdx闸门上

7、所受的水压力为525P =2 I xdx=x 2 =21 (吨)=205, 8(kN),2m求闸门上所受的水压力QI21111Xrdx3m205Tin解建立坐标系如图.则椭圆的方程为.尺寸如图所示.当水箱装满水时.计算水箱7，洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体的一个端面所受的压力.17.3 （kN）,压力元素为8dP 二1 x 2y(x)dx 二2”4加所求压力为PJF 攵 3£)2w4)2dx*Sint)3cost3costdX9 （2C 0 S2tdX = "9兀（吨）w. 3 （kN） “4 0163 3 .（提示：积分中所作的变换为XSint）4 48 .有一等腰梯

8、形闸门.它的两条底边各长10m和6nl .高为20m .较长的底边与水面相齐 计算闸门 的一侧所受的水压力“14388 （千牛）解建立坐标系如图直线AB的方程为1压力元素为yuxdP = 1 x 2y (x)dx = X (10 - 1x)dx所求压力为520L x (10 £ x)dx = 1467 (吨)二14388(千牛)，°59 ,一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片.铅直地沉没在水中.顶在上.底在下且与水面平行.而顶离水面3cm .试求它每面所受的压力解建立坐标系如图.腰AC的方程为y = 3 X - 3dP=(x 3) 2 2x dx 3-XX. r- 1 、

9、r .压力兀素为说也一= 3)dx/Rtz C(6,4)P=4x(A3)dA4(1xx2)6=168(克)”牛).a单位处有质量为m的质点M .试求这细棒对质点M的引力.解 建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy .引力元素为dF=G 罟二霜 dydF在X轴方向和y轴方向上的分力分别为dH-adr db=ydi-. rr1a 畀)dy_aGmO(a2 y2).a2 y21 A= I匚M%m%dy = GmT 22 十y L°ray°(a2 y2), a2 y2总复习题六Gm)l " a J a21211 )dy=Gm(j a21 2)10，设有一长度为I、线密度为”

10、的均匀细直棒.在与棒的一端垂直距离为1.填空题：(1)曲线y=X?与y=2x-x?直线围成所界区域的面积为 13(2) 曲线 y2 =2x 6 与直线y=x7 所界区域的面积为 18(3) 曲线y二0 、s i ntdt上相应于0_x的一段弧长为4(4)圆盘X? y2 _ a?绕xb(b>a>0)旋转所成旋转体的体积 . 2a2b二2(5)一圆盘的半径为R ,而密度为其中为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量 MR 2- d(6)半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做 的功。2 .求抛物线y=3-2x-x2与0X轴所围成图形的面积。3 .求抛物线y2二X

11、与y2二-X 4所围成图形的面积。2 2 24 .求圆X y = r的面积、圆周长。5*求双纽线r2=a2cos2V的面积。6.求心脏线r=a (1 COST)绕极轴旋转所成旋转体体积。TW X =a (t _sint),乙求摆线：y”(1-cost),g>与x轴围成图形的面积，弧长，绕x轴旋转体体积。X X&求悬链线厂a (3 +e a； ach (-W a)下的曲边梯形的面积，弧长，绕X轴旋转体2a体积。9 .抛物线y2=2 px, (0乞Xma)绕X轴旋转所得旋转抛物面的体积。10 .证明曲线y二sin X的一个周期的弧长等于椭圆2x2 y八2的周长。2 2 211 .求椭

12、球体，-2 -Z2 =1的体积。 a b C112. 设有一半径为R，长度为I的圆柱体平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)。设 圆柱体的比重为T(T 1),现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？13. 一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄 板每面所受的压力。14-用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内1cm，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少Cm ?答案：2 .解：y = 3 - 2x -X?二(3 x) (1 一 x),令 y

13、二 0 得 X 二-3or1 0故抛物线与0X轴交点为(-3. 0)及(1,0),所求图形为0X轴上半部分。S二;f (x)dx = ; (3 2x x2) dx。3 .解：两条抛物线交点为(2, i-2), (2,.2)。V2 221 6 则 s 二(-y , 4)-y dy =2) (4 -2y )dy = 32 o4 .解：由对称性，只需考虑第一象限，S' o . r2-x2dxx=rs i nt "cost r COStdt "2;八；故圆面积为S二”：r2 oX = r cost由圆的参数方程J1,求周长只需考虑第一象限，B=T s i nt,h = ,

14、r2s i n2t r2Cos2tdt= J2 dtr ；圆周长I =41, =2r 01 nn7124 二 a。0x6 解：、日）cosG5* 解：S =4 £ o4r2 (Rdv - 2 04 a2 cos2rdv - a2s i n2 =rcosB = a(1 +cos y = rSinB = a(1 + cos 日)sin 0二a o (1 cosA) (1 2cosA)sin AdA3 1t =CoSxa 12(11)(17 解：S = oy(tx7t)dt = 02t)(1 t)dt a o2 二a(1 -cost)a(1 -cost)dt2 2：=a o(1 + cos

15、 t)dt = 3 兀 a ；o-x(t)2 y(t)2dt ro-.a2(1 cost)22 a2 Sin2 tdt = 2at sin - dt = 8a ;a (1 cosv) 2s i n”d (a (1 cosr) cosr)(1 - cost) dtV =7L oy (t)dx(t)二兀 oa (123#2 兀d (a (t 一 Si nt)二兀 a 工8解:a=2aaaS y (x) dx ach dxay(x) dx(sh-).adxa Xch-dx = 2ash1 ；J aV="aa2(x) dx aa a(Ch2dx3二二 a (112 Sh2) o9.解:a 2

16、V y dx 2pxdx =0 %apa。10. il：曲线y=sinx的一个周期的弧长为27rT 12 2对于椭圆2xy = 2 t由于其参数方程为x= costy = 2 s int故 1_2 = 0 Jx (t)2 y (t)2dt = 0 . (-S in t)2 (2 COSt)2 dtcoftdt=o 2lcos2Xdx ；11 .解：用垂直于X轴的平面截椭球，交X轴于x-所得截面为椭圆2丫 b2于是此椭圆的面积为S(X)=琴心 2 »2)，aa JrbAO 04从而椭球体的体积为V(a2 -x2)dx-r 2C12.解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高2R,所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到Ry高度提升力所做的功之和；水下部分提升力Fi=(T -1) 2xldy ,abc。所以 dwi =( -1)2x1 (R-y)dy,i > r ldi . L'T"C. "1dw2= f2xl(R y)dy5故 dw = dWi dw2 = 21. R2 - y2 (2-1)R ydy,Ri223因此 W 2I . R-y2(A -1)R ydy =此 丫 - 1)1 二 FP。 c13 .解：如图所