第1届全国周培源大学生力学竞赛试题及答案

1.图1-1所示平衡系统中，物体I、Ⅱ、Ⅲ、V之间分别通过光滑铰链A、B、C连接。0、E为固定支座，D、F、G、H处为杆约束。尺寸如图所示，b/a=1.5。物体Ⅱ受大小为M的力偶作用。假定全部力均在图示平面内，且不计所有构件的自重，杆O₃G的内力不为零，则杆O₄H与杆O₅H所受内力之比2.V形槽中放置一个半径为r的匀质圆柱，如图1-2所示，槽边与水平夹角为α,接触处的摩擦因数μ=tanpm,圆柱重G。设转动圆柱所需的最3.如图1-3所示，曲柄摇杆机构中，曲柄OA长5cm,以匀角速度w=10rad/s转动，带动连杆AD及摇杆O₁C运动，AD=20cm,B为AD的中点。在图示位置时，OA与水平线垂直，0₁C与水平线成60°角。则在此瞬时摇杆0₁C的角速度为,角加速度为_;滑块D的速度大小为 ,加速度大小为-04.设一动点在平面内运动，其切向和法向加速度都是非零的常量，求图1-25.如图1-4所示，质量为m的杆AB斜靠在铅垂墙上，A端有一小虫，其质量也为m。墙和地面都是光滑的。原系统静止，今小虫突然以相对速度u(常量)沿杆向B爬动。试写出杆与地面夹角α所满足的6.如图1-5所示，一质量为m',半径为b的空心薄圆柱0₁在光滑水平面上运动。另一质量为m,半径为a(a<b)的空心薄圆柱O₂在圆柱0₁的内表面做纯滚动。令θ角为0₁O(3)求A到B的最短时间及最优隧道的形状。10.内半径R=30cm的空心圆柱0,水平固定放置。质量为m',半径为r=10cm的均匀圆环0₁,可以在圆柱内做纯滚动。质量为m的质点A固连在圆环0₁的边缘上。当圆环0₁处于圆柱0的最低位置时，质点A处于圆环的最高位置。设00₁与向下铅垂线的夹角为θ(图1-8)。则：当m'=2m时，圆环的稳定的1.试证明图1-9a所示等截面均质薄圆环在其平面内承受任意自相平衡力系时，其弯矩图的总面积必为零，此结论对于图1-9b所示的带铰圆环是否正确?2.如图1-10所示，直径为d的均质圆盘，沿直径两端承受一对大小相等，方向相反的集中力F作用，材料的弹性模量为E,泊松比为v,试求圆盘变形后的面积改变率△A/A。3.相互平行的I及Ⅱ两轴长度均为1,B端固定，A端刚性固结于刚性平板上，今在刚性平板上施加一力偶，其力偶矩为M₀,投影图如图1-11所示，已知两轴的抗扭刚度分别为GIp及GIp2,抗弯刚度分别为EI₁及El₂,在小变形条件下刚性板位移保持在铅垂面内，自重可以略去，试求刚性板的扭转角φ的表达式。4.已知某位移传感器的测量原理如图1-12所示，试绘出应变片全桥接线图，并建立输出应变与位移的关系(即e仪-δ关系)式。已知线性受拉弹簧AB的端点A处位移为待测位移，弹簧刚度系数为k;悬臂梁BC(弹性元件)长度为l,宽度为b,厚度为t,材料的弹性模量为E,泊松比为v;应变片标距中心距固定端C端的距离为L₁。(应变片标距与L、I₁比较很小，可忽略不计)BA全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版5.矩形截面混凝土简支梁(不加钢筋)如图1-13a所示，截面高为h,宽为1。设材料的简化拉伸曲线如图1-13b所示，已知α=e/e=3.5。试求：(1)当此梁最大弯矩截面的最大拉应变e,超过e时，弯矩的表达式(即求M=f(σ,η,θ))。其中(2)当η为多大时，截面弯矩将达到极限值?此时极限弯矩比按材料力学线弹性公式所得数值增大多少倍?说明：①变形的平面假定仍然适用；②材料受压区为线弹性，不考虑可能出现的塑性状态；③不考虑剪力的影响。6.图1-14所示结构由两个完全相同的等边直角刚架所组成，A、C、E为位于同一水平线上的三个铰链，B、D为刚结点。现于中间铰链C处作用一铅垂力F,若已知材料为线弹性，各杆抗弯刚度均相同，其值EI=常数。试计算：(1)C点的铅垂位移。(2)结构的应变能表达式。说明：计算刚架的应变能时，略去轴力及剪切的影响。7.图1-15所示的两根悬臂梁，长均为l,初始间隙为8=dl。上梁的抗弯刚度为E₁I₁,下梁的抗弯刚度为E₂I₂=kE₁I₁。在离上梁固定端b=tl处作用一集中力F,当F从零开始增加后，开始两梁只在一点接触，随后两梁将在一段区域内接触。设将F表示成无量纲形式,试求下列问题(以上d、k、t均为比例因子):(1)求F₁及F₂,当F₁≤F≤F₂时，两梁只在一点接触。(2)当F>F₂后两梁将有一段长为ξ的接触区，求出ξ与F的关系。(3)证明接触区内无分布约束力，而只在接触区与非接触区交界处有一集中约束力,试给8.等截面直杆AB,长为l,两端自由，截面为开口8字形薄壁截面，其截面中心线如图1-16b中ND-CD'N'所示，缺口处F与F'相距为无限小，因而截面中线可视为由两个开口整圆周(半径为R)在C处相第1章1988年第一届全国青年力学竞赛接而成，壁厚为t(t<<R<<l)。在杆的两端截面上C点处各作用有轴向集中力F,试求杆中间截面M(1)试求失稳时特征方程的形式及临界载荷值。(2)若B端改为固定铰支座时，如图1-17b所示，其失稳模式与图1-17a有何不同?其临界载荷值可b)图b)1.杆O₄H与杆O₅H所受内力之比为0.5。3.此瞬时摇杆O₁C的角速度为w₂=7.50rad/s,角加速度为e₂=65.0rad/s²;滑块D的速度大小为vD=50cm/s,加速度大小为ap=764cm/s²。若初始时6.运动过程中θ与θ的关系式为全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(2)当隧道为ACB折线时，A到B的最短时间为,最优折线的夹角∠BAC8.质点组做周期运动的必要条件是它们的速度比为有理数(m、n为整数),包括比值为(v₁=0)和0(v₂=0),与质点组的初始位置无关。9.动球受非完整约束，用卡尔丹角α、β描述动球质心C的位置。运动微分方程为7(a+b)(acosβ-2aβsinβ)+2aw7(a+b)(β+α²sinßcosβ)-2awsacosβ-5其中，w₃是动球角速度沿动系z方向的分量，经分析为常量。动球在最高点自转运动的稳定条件为w²≥10.(1)当m'=2m>m时，圆环的稳定的平衡位置为θ=0rad。微振动周期为1.解：如图1-18所示，从物体I着手，由二力平衡条件，I受力在0A方向上。以Ⅱ为研究对象，在A点受力FA,方向沿A0方向。Ⅱ受两个力和一个力偶的作用，平衡时B点受力以Ⅲ为研究对象，受五个力作用，但由于B、D、E、F四点受力均汇交于E,故C点的力Fc沿CE以IV为研究对象，受三个力作用。因杆O₃G的内力F₆第1章1988年第一届全国青年力学竞赛过K点作KT⊥GC(图1-19)。由几何关系，有即杆O₄H与杆O₅H所受内力之比为0.5。2.解：如图1-20所示，临界状态时平衡方程为ZF=0,μ(F₁+FN₂)cosα-(FN,-F₂)∑Fy=0,μ(FN₁-Fx₂)sinc+(F₁+F₂)注：并非摩擦因数μ越大(4m越大),M就越大。当摩擦角φ大于α时，M保持常值。Mm与φm的关系如图1-21所示。3.解：设AD、O₁C杆的角速度分别为w₁、w₂,角加速度分别为8₁、&₂,方向如图1-22所示。由几何 AB=AD/2=10cm,∠ABO=30°,O₁D=10取AD为研究对象，显然在图示位置有vᴀ=vg,故有全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版b)以O₁C杆为动参考系(图1-22a),即有以A为基点，则B点的加速度为由此得8₁=(100//3)rad/s²=57.7rad/s²。分别以A为基点和O₁C为动参考系，D点加速度表达式为第1章1988年第一届全国青年力学竞赛将上式在O₁C的垂直方向投影，有设k=c₁/c₂,(c₂≠0),积分上式，得v=v₀e-0),从而有又适当选取坐标系，总可使c₃=c₄=0。选取极坐标系(图1-23),极角φ=θ-α,极轴就有r=Ae²,即动点的轨迹为对数螺线。5.解：(1)初始时为冲击过程(图1-24a)。(a)设I₁≠0,I₂≠0,水平方向和铅垂方向的动量方其中l为杆长。相对于“固定点”(与A端重合的点)A的动量矩方程w=3usinαcosα/[l(1+3cov₁=3usin²acosa/[2(1+3cov₂=3usinacos²α/[2(1+3coI₁=musinα(3cos²α-2)/[2(1+I₂=mucosa(9cos²α-1)/[2(1+w=6usinacosα/[l(8-3cos v₁=3usin²αcosα/(8-3cov₂=usinα(4-3cos²α)/(8-3c第1章1988年第一届全国青年力学竞赛I₁=I₂=0,当且仅当时才会发生，这已包含在(b)中。I₁≠0,I₂=0,因u>0,且沿AB方向，这种情况是不可能发生的。(2)根据前面的分析，可分两种情形讨论。(a)初始时设系统质心C的坐标为(xc,yc)(图1-24c),则F₁=2mxc(b)初始时,可得F₁=2mxc-2mg=2myc(此方程可用来检查B端是否碰地)6.解：设O₁(x₁,b),O₂(x₂,y₂),则动能全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版系统有三个自由度，取广义坐标为x₁,θ,φ(图1-25)。mb(b-a)φ0+m(b-a)²o²-mg[b-(b-a)cosθ]β,得所以将x₁,φ的表达式代入即得7.解：(1)设O₁为坐标原点，0₁B为x轴，质点距O₁点x(图1-26),则F=-mgx/R=mx解得 用(1)的结果及对称性，在AC段有设质点由A到C的时间为tc,则有又AC=AO₂-CO₂=Rsin(θa+0)-Rcos(θa+第1章1988年第一届全国青年力学竞赛所以因θA≠0,故最大倾角(即最优折线的夹角∠BAC)质点通过最优折线的时间(最短时间)为(3)势能V(r)=mgr²/(2R),由能量守恒有这是经典的泛函极值问题，Φ满足欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程因φ不显含θ,故存在初积分在rmm=p处，r'=0,可确定积分常数C,由此可得由对称性，可只考虑r'>0(θ>0),得积分后这是圆内旋轮线方程，当r=R、θ=θg时，可得全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版质点由A经旋轮线到B的时间(最短时间)为下面说明方程(*)是圆内旋轮线方程(略)。8.解：以质点P₁、P₂在Ox轴上的坐标x₁、x₂作为平面x₁Ox₂中一点P的坐标(x₁,x₂),这样，质点组P₁、P₂的位置和速度可由点P在坐标系中的位置和速度表示(图1-27)。因0≤x₂≤x₁≤l,故P点限制在△OAB中运动。点P与OA边、AB边和OB边的碰撞，实际上分别是质点P₂与左壁、质点P₁与右壁以及两质点之间的碰撞。因碰撞是完全弹性的，故质点与壁碰撞时速度反向，P₁与P₂碰撞后交换速度。所以，对应的P点的碰撞是相对0A、OB和AB的完全弹性反射。没有碰撞时，v₁和v₂为常数，对应于P点轨迹为直线。以点P与AB边碰撞为例(即质点P₁与右壁碰撞),若将碰撞后的△OAB与点P的位形相对碰撞壁AB做镜面反射(图1-28),则点P碰撞前后的轨迹仍连接成一直线，速度保持不变。图1-29中有阴影的三角形表示经反射后和原来的△OAB一致的三角形。点P运动到阴影三角形中相同位置的P'时，表示两质点P₁、P₂回到了初始状态，此时两者的坐标差为由图1-27可得，两质点的速度比为这表明质点组做周期运动的必要条件是它们的速度比为有理数(m,n为整数),包括比值为(v₁=0)和0(v₂=0),与质点组的初始位置无关。不难说明这一条件也是充分的。9.解：本题中动球受非完整约束，故不能应用第二类拉格朗日方程；又因要求动球在最高点处转动的稳定条件，所以也不能用球坐标描述球心的位置。如图1-30所示，用卡尔丹角α、β描述动球质心C的位置；建立动坐标系Oxyz,它相对定坐标系的方位由α、β确定，其角速度为Ω。坐标系[C,e₁,e₂,e₃]过动球质心C,且与坐标系Oxyz相平行。动球质心C的速度为0c,动球绝对角速度为w。动球所受之力为由质心运动定理向动坐标系Oxyz各轴的投影式得m(vc₁-Q₃vc₂+Q₂vc₃)=F₁+mgcosαsinβ第1章1988年第一届全国青年力学竞赛m(vc₂-2vc₃+Q₃vc₁)=F₂-mgsinαm(vc₃-Ω₂vc₁+O₁vc₂)=FN-mgcos由相对质心的动量矩定理在动坐标系[C,e₁,e₂,es]各轴的投全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版0c₁=(a+b)β,vc₂=-(a+b)α所以将式(1-7)、式(1-9)代人式(1-6)得到关于自转角速度w的特性将式(1-7)、式(1-9)代入式(1-1)、式(1-2)、式(1-4)、式(1-5),得m(a+b)(β+a²cosβsinβ)=F₁+mgcom(a+b)(-αcosβ+2aβsinβ)=F₂-m从上面四式中消去F₁、F₂,即得动球的运动微分方7(a+b)(acosβ-2aßsinβ)+2aw7(a+b)(β+d²sinBcosB)-2ao₃acosβ-5此方程有特解α=0,B°=0,代表动球在固定球的最高点处以ws自旋的运动。为研究此运动的稳定性，将α、β看成小量，并在式(1-15)、式(1-16)中略去二阶以上的小量，得到线性化的受扰运动方程或49(a+b)²x⁴+[4a²w²-70(a+b)g]+[4a²w³-70(a+b)g]²-4×25×这就是动球在最高点自转运动的稳定条件(严格地讲，这样求得的10.解：设圆环的绝对转角为φ(图1-31)。由纯滚动条件由题意，R=3r=30cm,故有φ=20。系统动能第1章1988年第一届全国青年力学竞赛V"=2gr[(m'+m)cosθ-2mco情形1:θ=θ₁=0,由,当m'≥m时，θ=0为稳定的平衡位置，当m'<m时，θ=0为不稳定的平衡位置。情形2:,因cosθ≤1,故只有当m'≤m时才会出现这个平衡位置。由(1)当m'=2m>m时，圆环的稳定的平衡位置为θ=0rad。此时，f(0)=8(m'+2m)r²=32m²,V"(0)=2grm,所以微振动周期此时1.4材料力学试题参考答案及详细解答9.(1)特征方程形式为klcoshl+3sinkl=0,故(2)特征方程形式为6-(6+k²P²)coskl-2klsinkl=0,故2.解：如图1-32a所示，取一与原圆盘(图1-32b)尺寸相同的圆盘，使它承受均匀法向压力q,直径变化。由方程(1-22)得b)第1章1988年第一届全国青年力学竞赛)(均匀应力状态)由于,于是有将式(1-24)代入式(1-23)得3.解：设刚性板绕C点旋转，转角为φ,如图1-33所示。扭转角φ₁=φ2=φ;设相应于弯曲线性位移的力为F₁及F₂,相应于弯曲转角的弯矩为M₁及M₂,相应于扭转角的扭矩为注意到b₁+b₂=b,于是可解得全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版将b₁、b₂代入即可。4.解：设弹簧承受拉力为F,A点相应位移为8,δ由弹簧伸长量8和悬臂梁B端挠度20组成。于是有按图1-34所示全桥接入应变片。若应变仪与应变片的灵敏系数分别K仪E仪=4c,K片当K仪=K片时有代入F值表达式后5.解：首先求梁中央截面的极限弯矩。根据平面假设，截面上各点应图变沿高度的分布如图1-35b所示。设当受拉区距中性轴为l处的应力到达σ,应变到达e矩到达极限弯矩M,应力分布如图1-35c所示。受压区压应力的合力为时，截面上的弯第1章1988年第一届全国青年力学竞赛由图1-35d有设设则将式(1-25)及式(1-26)代入平衡条件F=F₁,得由图1-35b有代入式(1-28)可得设则上式为因b<h,上式取负号，故全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版式中利用式(1-26)、式(1-27)、式(1-31)可得当α=3.5时，注：利用计算机，根据η=c₁/e的不同数值计算M,找出当8/e₁=1.96时M=Mm,此时代入数据,β=0.65,θ=0.5536得6.解：如图1-36所示，此体系为一瞬时几何可变体系，受静力载荷F作用后，由于杆系的变形使C结点铅垂向下移动δ,(至C'),杆系才处于稳定平衡状态。故本题为一几何非线弹性问题。(1)在稳定平衡状态下，设C下移至C',此时折杆ABC在铰链A和C'的约束力应共线，并大小相等方向相反(折杆CDE也如此),故杆件AB、BC、CD、DE为受力相同的弯曲杆件。杆内任一点的应变能密度为 第1章1988年第一届全国青年力学竞赛所以此处为杆BC的长度。设C'铰链处的约束力为FNca,此时BC杆任一截面所受的弯矩为代入式(1-33)取结点C'平衡，并设处于稳定平衡状态时力F的值为F₁,其受力情况如图1-37所示，于是有代入式(1-34)有由几何条件，有全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版略去高阶微量(△L)²,于是有将代回式(1-35),即得体系应变能(2)对结果进行校核V。=W(外力做功)得得即7.解：如图1-38所示，未接触前，上梁挠度为仅一点接触时，在x=0处有接触约束力Fn。上梁挠度为第1章1988年第一届全国青年力学竞赛引进量纲为一的约束力,可解得一点接触只能维持到由此可解出设F>F₂后接触区为0≤x≤{,则必须满足：如果接触区有分布压力时，则式(1-37)是无法满足的；只允许在x=ξ(1-37)和式(1-38)是满足的，有处有一集中约束力Fn,此时式将其代人式(1-38)得将其代入式(1-37)得坐标。图1-39所示为截面的上半部分，先取C为极点，也取C为零点，则对任意点K(相对圆心角为△COK=θ)w°=2·弓形CHK=2(扇形OKC-△OKC)由于整个截面图形对于C点是中心对称，故上下对称点有相同的w而其y、z坐标则等值反号，故有截面面积A=4mR,故扇形坐标的平均值为全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版注意到θ=π时w=0,故图中D点即为主零点(D'也是)。Wc=-R²[(π-θ)+sinθ]。令θ-π=φ,则B"-α²B=m=0(无分布力偶载荷)(μ为泊松比)边界条件：x=0或l时，均有B=Foc=-FπR²。解得当当9.解：(1)如图1-40a所示，从刚结点C处切开，CB段可看作在C端受弯曲力偶M。的简支梁第1章1988年第一届全国青年力学竞赛b)研究压杆AC:或边值条件全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版特征根所以(2)图1-40a所示为侧移形式失稳，而图1-40b所示为无侧移形式失稳，分析如下：AC压杆或边值条件特征根Elw"=M。-FNo(l-x)-Fw6-(6+k²l²)coskl-2klsinkl首届竞赛由武际可教授任理论力学和流体力学命题组组长，徐秉业教授任材料力学和弹性力学命题组组长。经过向全国力学专家、学者征题，收到58份回函，140余道题，精选整编出28道题，其中理论力学10道，材料力学9道，刊登于《力学与实践》,要求参赛者在约一个半月内寄回答案。竞第1章1988年第一届全国青年力学竞赛赛题经过精心设计，对教学与学习很有参考价值。由于是开卷竞赛，故题目很难，部分超出了本科教学大纲。作为第一次力学竞赛，试题的总体难度很大，根据作者的评估，试卷难度系数为5.94(具体见附录A),并且很多内容超出了教学基本要求。试卷的题目可以分为两类，一类是比较常规的题目，包括第1、2、3、6、10题，这些题目基本上是常规的作业题，即使复杂些也没有什么特别需要注意的地方。另一类是很难的题目，包括第4、5、7、8、9题。这些题目中，第4、7题需要较多的数学知识和技巧；第5、9题作为力学问题列写公式并不困难，但是如果不考虑题目的特点，往往这些公式所需要的前提条件并不成立，而这正是学生们最不注意的地方，因此这类问题需要了解问题的特点，考虑公式成立的条件；第8题需要变换思路，把无法处理的问题，变为可以处理的问题，这需要了解多种处理问题的方法，第1题考查刚体系统的受力分析及平衡问题。难度不大，但是需要进行一些分析。有不同的处理方法，一种方法是像原题解答一样，拆开各物体进行受力分析。另一种方法是利用虚位移方法进行整体分析，解除H点的约束，加上约束力。如图1-41所示，利用各刚体虚位移的特点，可以很快看出刚体AB做平动，力偶M将在方程中不起作用。假设E点有虚位移80,因此有δrp=a80,8rp=2a80。对刚体CDEF利用速度投影定理，有对刚体CHG利用速度投影定理，有δy=2a80,因此可以求出刚体,同时有,因此δx=a80。因为这两个虚位移之比为δyn:8xn=2:1,所以它们对应的力之比为1:2。虚位移的方法可以不必求出那些不需要出现的约束力，虽然看上去也有很多篇幅，但是在实际处理时不必写这么多，只要虚位移图画出来了，结论就出来了。第2题考查摩擦问题，并不复杂，但是结论也不是与通常所想象的那样：摩擦因数μ越大(4m越大),M就越大。当摩擦角φm小于α时，Mm保持常值。从这里可以得出两个结论：一是很多想象的结论并不正确；二是即使想象的结论错误，其中也有正确的部分。这也是在研究未知问题中直觉很重要的原因。第3题是运动学的内容，比较像常规的作业题，难度中等。本题的关键是两个自由度，需要两次运用运动学的有关公式。例如，解答中分别以A为基点和O₁C为动参考系，两次考虑D点的加速度，然后联立起来向某方向投影，就可以得到结果。第4题是点的运动学问题。在目前的理论力学中，刚体的运动是运动学分析的重点，强调运动的合成与分解，在分析过程中物理含义很清楚。点的运动学中更多利用求导进行分析，偏重数学技巧。本题的难度较大，需要对求导和数学变换很熟悉。第5题是动力学问题，难度较大。在解本题时，第一步要考虑系统在不同的初始条件下，约束力是否为零将导致不同的运动状态；第二步再利用刚体平面运动方程列出动力学方程。应该说第二步没有什么难度，但是在第一步中需考虑不同的状态，这很不容易。学生很可能列出了方程，但不全面，也不知道初始条件如何得到。第6题是动力学问题，难度不大。用拉格朗日方程求解，关键步骤是如何用题目中的参数表示纯滚动条件。第7题是质点动力学问题。第一问很简单；第二问有些难度；第三问很难，涉及泛函极值问题，需要较多的数学知识，按照目前的教学要求，这部分内容超出了学生的能力范围。第8题是质点动力学问题，难度很大，不是直接用动力学的方程求解，而是把问题转化为镜面反射问题，处理问题的方法和结论都很出人意料。这种问题不是常规的力学问题，没有一定之规，全凭对问题的独到理解。有能力的学生可以借鉴这种处理问题的方法，把某些看似无法处理的问题，变换成自己可以处理的问题。第9题涉及刚体的一般运动，但是动球受非完整约束，故不能应用第二类拉格朗日方程；又动球在最高点附近运动，所以也不能用球坐标描述球心的位置(在最高点时，球坐标的经度角没有定义),这是本题的难点之一。另外多自由度系统的稳定性条件也是难点。真正列动力学方程并不难。因此本题的陷阱包括：学生可能不注意前提条件，上来就列写方程，而根本没注意方程是否能成立；或是做了一半发现出现奇点要重做。即使排除这些难点，本题的计算量也很大。从目前的教学要求看，刚体的一般运动超出了基本要求。第10题是刚体动力学问题，涉及振动和稳定问题。属于常规的作业类型。需要注意的地方是纯滚动条件如何表示，另外是A点的速度如何表示。本题需要较多的计算，但难度不大。材料力学以理论力学知识为基础，两门课程密切相关。另一方面，理论力学主要研究刚体，材料力学研究变形体，两门课程在力学模型与分析方法方面都有所不同。在学习材料力学时，应当仔细研究和了解两门课程在理论、模型与方法方面的联系与区别。一般来说，理论力学中对作用于刚体的力系简化方法用于变形体将改变变形体内力。但是由截面法将弹性杆件截开后，我们就可以根据刚化原理，利用刚体力学力系简化与平衡理论求内力。因此有教材将材料力学的内力(轴力、扭矩、剪力、弯矩)计算的内容放在理论力学中讲授。理论力学定义对非自由体某些位移起限制作用的周围物体为约束。材料力学对约束的概念做了推广，用截面法假想将构件切开，截掉的部分就是保留部分的约束。例如，第五届竞赛的第1题第(1)小题以建立两个在力学上完全等价的模型，但求解的难易程度大不相同。注意这个模型的固定端不是牢固嵌入刚性墙体的杆端，铰支端也不是圆孔套销钉的结构。材料力学进一步要求从位移与力的边界条件的提法来确定或选定约束。实际构件的内力与变形往往十分复杂，为了简化分析，材料力学对变形做了合理假设。这就需要抓住主要矛盾，在计算精度和计算工作量方面取得平衡。例如，首届竞赛第7题第(1)小题，采用材料力学经典梁模型计算两梁开始接触的力F₁时应当有足够的精度。但是第(3)小题证明接触区内无分布约束力，只在接触与非接触区交界处有集中约束力的结论是经典梁的理论结果，并不符合实际情况。在实际工程分析中，接触问题应当采用考虑横向剪切变形和横向拉压变形的梁的模型或更进一步采用完全的三维分析。材料力学的模型常常不是正误之别，而只是精度高低之分。例如，第五届竞赛第6题(详见第5章),参赛