求椭圆离心率范围的常见题型及解析

1、求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式.、利用曲线的范围，建立不等关系2 x2 a2例1 ：已知椭圆y21(a b 0)右顶为A,点P在椭圆上，o为坐标原点，且 op垂b直于PA,求椭圆的离心率 e的取值范围-W* ,克尸在以为旦径前圆上.U AO为百径的圆方握为x2 卜-m = 0 .7电'1 消去舶电b EJ -|- y2 - az = 0(tr - aJ i x1 + trx -= 0-(/m + 口 = 申 mil = J,IK m < n.,-, > < < o t即卩屹o2乩可得用 PvF垢冷< 2

2、卢貝.* (0.1),二勵園的厘心率的駛怕范圄対Fi( c,0), F2(c,0)若椭圆上存在2 2x y例2:已知椭圆-1(a b 0)的左、右焦点分别为a b一点P使asin PF1F2csin PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为.2 1,1由正弦定理得：smZPFi J*1? sin则由已知得：丄_ = 屮为I®Fd即：a|PF）| = Pfi|设点（乂0、附）由焦点半径公式fl： IFiI = ex0,|PFi| = a- ej0K!l o(a+ eo) c(a exa)由椭圆的几何性质知:Xq > a则 fl (c 1)* A a i(£+ 1)整理得

3、e2 + 2e-l>0,解得：eV - 0 1或 e > v-1,又 e (0,1) f故椭圆的离心率：ee (y/2-1,1)a(c a)e(c + a)a(e - 1)IB 十 1)故答案为：（V烷 IJLsSB二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例3 :已知R、F2是椭圆的两个焦点，满足一的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）三、利用点与 椭圆的位置关系，建立不等关系例4 :已知ABC的顶点B为椭圆2x2a2y-1(a b 0)短轴的一个端点，另两个顶点也在b椭圆上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F (c,0),求椭圆离心率的范围四、利用函数的值域，建立不等

4、关系2y例5 :椭圆1 (a b 0)与直线x y 10相交于a、b两点，且OA OB 0( Ob为原点)，若椭圆长轴长的取值范围为-5,6，求椭圆离心率的范围怙京现=0.灯凯宀7%化盘宀純人五、利用均值不等式，建立不等关系例6：已知Fl、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ F1PF2 = 60。.求椭圆离心率的范围;2 2解 设椭圆方程为 2+ 2= 1(a>b>0)，|PFi|= m，|PF2|= n,贝U m+n = 2a.a b在厶PF1F2中，由余弦定理可知，4c2 = m2+ n2 2mn cos 60 = (m + n )2 3mn22 m I n 2222=4

5、a2 3mn>4a2 3 -= 4a2 3a2 = a2(当且仅当m= n时取等号).訂4,即1又0<e<1， e的取值范围是 ，121(a b 0)的两个焦点，椭圆上一点Px 【例7 ：已知F1、F2是椭圆r aF1PF290，求椭圆离心率e的取值范围.解析1 ：令pF14e2PF2n，则m4e2 m2 nn 2a 由 PF1PF22a2即e2六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2:不妨设短轴一端点为 B则 S f,PF22b tan45rbf22cbeb2 < e22 e2 a七、利用实数性质，建立不等关系解析3 :设 P x, yPF!PF2得x2，代入2x2a2e2eb2x20b2即 c2a2 c2， e -2 又 e 1 二 e 1a 22八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4 :PFiPF2P点在以FiF2为直径的圆上又P在椭圆上，九、利用P为圆2x2a的公共点.由图可知b2说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长f1pf2最大位置，建立不等关系2 2解析4：椭圆冷1 (a b